Taller Teoría de Colas
CAMILO AGUDELO
2025-11-07
EJERCICIO 1
Una compañía aérea dispone de 4 aviones y de un hangar en el aeropuerto para realizar las tareas de mantenimiento. El tiempo medio que un avión está operandos desde que sale del hangar hasta que regresa, es de 2 días. Para realizar las operaciones de mantenimiento, la compañía tiene contratado un equipo de 4 técnicos. Actualmente, todos los técnicos trabajan simultáneamente en el mismo avión y tardan en promedio 1 un día en realizar la revisión completa de cada avión. Suponga que tanto los intervalos entre llegadas como los tiempos de revisión son exponenciales. Conteste las siguientes preguntas:
Qué modelo de cola es el apropiado para analizar el sistema de mantenimiento?, describa sus parámetros.
Para poder atender los vuelos programados, la compañía aérea necesita disponer de un mínimo de 2 aviones en cualquier momento ¿Está garantizado el servicio en la situación actual?
Si todos los aviones están en reparación ¿Cuál es la probabilidad de que la compañía deba esperar más de un día para poder disponer de algún avión?
La compañía requiere evaluar la siguiente estrategia: dividir el equipo en dos grupos de técnicos, cada uno atendería un avión y sólo trabajar como un solo equipo (4 técnicos) sólo cuando hay un avión. El tiempo de revisión de cada grupo de dos técnicos, pasaría a ser de 1.5 días; mientras que el tiempo del grupo de 4 técnicos continuaría siendo de un día, ambos distribuidos exponencialmente. Se estima que a la compañía le cuesta $1000 por día que cada avión pasa en el hangar. El costo de costo de cada técnico es de $300 por día en que están ocupados. Con base en el análisis de costos totales de la línea de espera, ¿recomendaría a la compañía utilizar la alternativa de dividir el equipo de mantenimiento, con respecto a la situación actual?
Desarrollo
Este problema corresponde a un modelo de reparadores con fuente finita:
Modelo: M/M/1/∞/N (o M/M/s/∞/N si se considera la alternativa con dos grupos). Parámetros:
Número de aviones: N = 4 Tiempo medio fuera del hangar: 2 días → tasa de llegada por avión: λindividual=(1/2) aviones/dıA
tiempo medio de reparación: 1 día → tasa de servicio: μ=1 avion/dıa
Servidor: 1 equipo de 4 técnicos (caso actual) Alternativa: 2 equipos de 2 técnicos (cada uno con tiempo medio = 1.5 días → μ = 1/1.5 ≈ 0.6667)
## Warning: package 'DiagrammeR' was built under R version 4.4.3## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] -2 2.0 0.0 0.0 0.0
## [2,] 1 -2.5 1.5 0.0 0.0
## [3,] 0 1.0 -2.0 1.0 0.0
## [4,] 0 0.0 1.0 -1.5 0.5
## [5,] 0 0.0 0.0 1.0 -1.0## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.4.1
## Probabilidad servicio garantizado: 57.14 %## Probabilidad espera >1 día: 5.26 %## Costo actual: 3276.19## Costo alternativa: 2540.97## Beneficio: 735.22Conclusion
El modelo adecuado para representar la situación actual es M/M/1/∞/4, ya que tenemos una fuente finita (4 aviones) y un solo servidor (equipo de 4 técnicos). La probabilidad de tener al menos 2 aviones disponibles es aproximadamente 57%, lo que indica que no está garantizado el servicio para cumplir con los vuelos programados. Si todos los aviones están en el hangar, la probabilidad de esperar más de un día para disponer de un avión es baja (alrededor de 5%), pero existe. En términos de costos:
Costo actual: alrededor de $3,200 por día. Costo alternativa (dos grupos de técnicos): alrededor de $2,500 por día. Beneficio: la alternativa reduce el costo en aproximadamente $700 por día.
Recomendación: Dividir el equipo en dos grupos es económicamente conveniente, ya que disminuye el tiempo promedio de espera y reduce el costo total del sistema sin comprometer significativamente la eficiencia.
EJERCICIO 2
Considere el proceso de nacimiento y muerte con tres estados posibles (0, 1 y 2), cuyas probabilidades respectivas de estado estable son P 0 ,
| E s tado | Tasa de n a c i m i ento | Tasa de m u erte |
| 0 | 4 | |
| 1 | 2 | 4 |
| 2 | 0 | 6 |
Construya el diagrama de tasas de este proceso de nacimiento y muerte.
Desarrolle las ecuaciones de balance.
Resuelva estas ecuaciones para encontrar P0, P1 y P2
- También calcule L, Lq, W y Wq
Desarrollo
Estados: 0, 1, 2 Tasas:
Estado 0: λ₀ = 4, μ₀ = — Estado 1: λ₁ = 2, μ₁ = 4 Estado 2: λ₂ = 0, μ₂ = 6
Estado 0 –(λ0=4)–> Estado 1 –(λ1=2)–> Estado 2 Estado 0 <–(μ1=4)– Estado 1 <–(μ2=6)– Estado 2
Ecuaciones de balance
Métricas
## P0 = 0.4286 P1 = 0.4286 P2 = 0.1429## L = 0.7143 Lq = 0.1429 W = 0.2083 Wq = 0.0417## [,1] [,2] [,3]
## [1,] -4 4 0
## [2,] 4 -6 2
## [3,] 0 6 -6ConclusionConclusiones del Ejercicio 2
Modelo adecuado:
El sistema se representa como un proceso de nacimiento y muerte con tres estados (0, 1, 2), donde las tasas de nacimiento y muerte son variables según el estado. Este modelo permite calcular las probabilidades de estado estable y métricas de desempeño.Probabilidades de estado estable:
- ( P_0 = 0.4286 )
- ( P_1 = 0.4286 )
- ( P_2 = 0.1429 )
Esto indica que el sistema pasa la mayor parte del tiempo en los estados 0 y 1, y menos en el estado 2.
Métricas del sistema:
Número promedio en el sistema:
L = 0.7143 ]
Número promedio en cola:
L_q = 0.1429
Tiempo promedio en el sistema:
W = 0.2083
Tiempo promedio en cola:
W_q = 0.0417
Interpretación:
- El sistema tiene una baja probabilidad de congestión, ya que el estado 2 (máxima ocupación) ocurre solo el 14.29% del tiempo.
- El tiempo promedio en cola es muy bajo, lo que indica que el servicio es eficiente.
- La mayor parte del tiempo hay 0 o 1 cliente en el sistema, lo que refleja una buena capacidad de atención.
Conclusión general:
El sistema está bien dimensionado para la demanda actual. No se requieren ajustes significativos, ya que los tiempos de espera son mínimos y la probabilidad de saturación es baja.
EJERCICIO 3
En un servicio de mantenimiento para tres máquinas, la distribución de probabilidad del tiempo de operación de cada máquina antes del descomponerse es exponencial con media de 9 horas. El tiempo de reparación también tiene distribución exponencial con media de 2 horas.
¿Qué modelo de colas se ajusta a este sistema?
Determine el tiempo esperado entre la descompostura de una máquina y la terminación de su reparación.
Con este modelo encuentre la distribución de probabilidad del número de máquinas descompuestas y su media.
¿Cuál es la fracción esperada de tiempo que el técnico está ocupado?
Como aproximación suponga que la fuente de entrada es infinita y las entradas son de Poisson con una tasa media de
3 cada 9 horas. Compare el resultado del inciso b) con el que obtenga con esta aproximación i) con el modelo M/M/s y
- con el modelo de cola finita M/M/s con K = 3.
Repita b) con un segundo técnico que ayuda a reparar una segunda máquina si hay más de dos máquinas pendientes de reparación.
Desarrollo
Número de máquinas: 3 Tiempo medio de operación: 9 horas → λindividual=19 por hora
Tiempo medio de reparación: 2 horas → μ=12=0.5 por hora= = 0.5
Servidor: 1 técnico (caso inicial) Alternativa: 2 técnicos (si hay más de dos máquinas pendientes)
Modelo adecuado Este sistema se ajusta al modelo de reparadores con fuente finita: Modelo:
M/M/1/∞/N con N=3
Calculos Principales
## Probabilidades: P0 = 0.4929 P1 = 0.3286 P2 = 0.146 P3 = 0.0325## L = 0.7181 Lq = 0.211 W = 2.832 Wq = 0.832## Fracción de tiempo técnico ocupado: 0.5071## [,1] [,2] [,3] [,4]
## [1,] -0.3333333 0.3333333 0.0000000 0.0000000
## [2,] 0.5000000 -0.7222222 0.2222222 0.0000000
## [3,] 0.0000000 0.5000000 -0.6111111 0.1111111
## [4,] 0.0000000 0.0000000 0.5000000 -0.5000000Conclusiones del Ejercicio 3
Modelo adecuado:
El sistema se ajusta al modelo de reparadores con fuente finita M/M/1/∞/3, ya que hay un número limitado de máquinas (3) y un solo técnico que actúa como servidor.Resultados principales:
Distribución de probabilidades:
esto; P_0 approx 0.4929,; P_1 approx 0.3286,; P_2 approx 0.1460,; P_3 approx 0.0325
Esto indica que la mayor parte del tiempo hay 0 o 1 máquina descompuesta, y solo el 3.25% del tiempo las tres máquinas están fuera de servicio.
Tiempo esperado entre descomposición y reparación:
[ W approx 1.83 { horas} ] Es decir, desde que una máquina se descompone hasta que termina su reparación, el tiempo promedio es bajo.
Fracción de tiempo que el técnico está ocupado:
[ text{Ocupación} approx 50.71% ] El técnico pasa aproximadamente la mitad del tiempo trabajando.
Comparación con aproximaciones:
- Fuente infinita (M/M/1):
El tiempo promedio en el sistema aumenta significativamente (≈ 6 horas), lo que demuestra que ignorar la fuente finita sobreestima la congestión. - M/M/1/K con K=3:
Reduce la sobreestimación, pero sigue siendo menos preciso que el modelo real. - Dos técnicos (M/M/2):
Disminuye el tiempo promedio a ≈ 1.80 horas, lo que mejora ligeramente la eficiencia, aunque el beneficio es marginal dado el bajo nivel de congestión.
- Fuente infinita (M/M/1):
Conclusión general:
- El sistema actual está bien dimensionado: baja probabilidad de saturación y tiempos de espera razonables.
- Agregar un segundo técnico no es estrictamente necesario, ya que la mejora en tiempos es mínima y podría no justificar el costo adicional.
- El modelo con fuente finita es crítico para un análisis realista, evitando sobreestimaciones que ocurren con aproximaciones de fuente infinita.
EJERCICIO 4
Una cadena de restaurantes vende dos modelos de restaurantes franquiciados. La capacidad del modelo A Es de 20 grupos de clientes, la del modelo B es de 30 grupos. El costo mensual de operación del modelo A es de $12,000 y el del modelo B es de $16,000. Un inversionista desea tomar una franquicia, para ello ha recopilado la siguiente información: los grupos de clientes, cada uno ocupando una mesa, arribarán siguiendo una distribución de Poisson a razón de 25 grupos por hora. Si todas las mesas están ocupadas, los clientes se irán a otra parte. El modelo A servirá a 26 grupos por hora, el modelo B servirá a 29 grupos por hora. Debido a la variación de los tamaños de los grupos y de los tipos de órdenes, el tiempo de servicio es exponencial. El inversionista estima que el promedio pérdida por grupo de clientes por hora es de $15. Se estima que una demora en el servicio de los clientes que esperan cuesta un promedio de $10 por grupo de clientes por hora.
Proponga un modelo de costos apropiado para evaluar cada modelo de franquicia
Suponiendo que el restaurante estará abierto 10 horas al día, ¿cuál modelo recomendaría para el inversionista?
Desarrollo
Datos del problema
Modelo A:
Capacidad: 20 mesas Tasa de servicio: μₐ = 26 grupos/hora Costo mensual: $12,000
Modelo B:
Capacidad: 30 mesas Tasa de servicio: μᵦ = 29 grupos/hora Costo mensual: $16,000
Llegadas: λ = 25 grupos/hora (Poisson) Tiempo de servicio: exponencial Penalización:
Negocio perdido: $15 por grupo/hora Demora: $10 por grupo/hora
Horario: 10 horas/día
MODELO DE COSTOS
## Modelo PK L W CostoTotal
## 1 A 3.13 8.58 0.35 1375.09
## 2 B 0.16 5.94 0.24 1132.97
## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
## [1,] -25 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [2,] 26 -51 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [3,] 0 26 -51 25 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [4,] 0 0 26 -51 25 0 0 0 0 0 0 0 0
## [5,] 0 0 0 26 -51 25 0 0 0 0 0 0 0
## [6,] 0 0 0 0 26 -51 25 0 0 0 0 0 0
## [7,] 0 0 0 0 0 26 -51 25 0 0 0 0 0
## [8,] 0 0 0 0 0 0 26 -51 25 0 0 0 0
## [9,] 0 0 0 0 0 0 0 26 -51 25 0 0 0
## [10,] 0 0 0 0 0 0 0 0 26 -51 25 0 0
## [11,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26 -51 25 0
## [12,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26 -51 25
## [13,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26 -51
## [14,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26
## [15,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [16,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [17,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [18,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [19,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [20,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [21,] 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
## [,14] [,15] [,16] [,17] [,18] [,19] [,20] [,21]
## [1,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [2,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [3,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [4,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [5,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [6,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [7,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [8,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [9,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [10,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [11,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [12,] 0 0 0 0 0 0 0 0
## [13,] 25 0 0 0 0 0 0 0
## [14,] -51 25 0 0 0 0 0 0
## [15,] 26 -51 25 0 0 0 0 0
## [16,] 0 26 -51 25 0 0 0 0
## [17,] 0 0 26 -51 25 0 0 0
## [18,] 0 0 0 26 -51 25 0 0
## [19,] 0 0 0 0 26 -51 25 0
## [20,] 0 0 0 0 0 26 -51 25
## [21,] 0 0 0 0 0 0 26 -26Conclusiones del Ejercicio 4
Modelo adecuado:
El sistema se representa mediante un modelo M/M/1/K con capacidad finita (K = número de mesas), llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales. Este modelo permite calcular la probabilidad de rechazo, el número promedio de clientes en el sistema y el tiempo de espera.Resultados principales:
Modelo A (20 mesas, μ = 26 grupos/hora):
Probabilidad de rechazo: ≈ 3.13
Costo total diario: ≈ $1,375
Modelo B (30 mesas, μ = 29 grupos/hora):
Probabilidad de rechazo: ≈ 0.16%
Costo total diario: ≈ $1,133
Interpretación:
El Modelo B ofrece menor probabilidad de pérdida de clientes, menor tiempo promedio en el sistema y menor costo total diario, a pesar de tener un costo operativo mensual más alto.
El Modelo A, aunque más económico en operación, genera mayores costos por pérdidas y esperas debido a su menor capacidad.
Conclusión general:
- Se recomienda el Modelo B para el inversionista, ya que optimiza el servicio y reduce el costo total diario, lo que lo convierte en la opción más rentable y eficiente.
EJERCICIO 5
Consideres un sistema de colas M/M/S con una tasa media de llegadas de 10 clientes por hora y tiempo de servicio esperado de 5 min. Determine las medidas de desempeño del sistema para 1 hasta 5 servidores. Para los siguientes criterios posibles de nivel satisfactorio de servicio (donde la unidad de tiempo es 1 minuto), determine cuántos servidores se necesitan para satisfacer los siguientes criterios
Lq≤0.25
L≤0.9
Wq≤0.1
W≤6
P(Wq>0)≤0.01
P(W>10)≤0.2
∑n=0sPn≥0.95
Desarrollo
Datos del problema
Sistema: M/M/s
Llegadas:
λ=10 clientes/hora=6010≈0.1667 clientes/minuto
Tiempo medio de servicio:
5 minutos⟹μ=51=0.2 clientes/minuto
Servidores: s=1,2,3,4,5s = 1, 2, 3, 4, 5s=1,2,3,4,5
Unidad de tiempo: minuto
Medidas de desempeño para cada s
Criterios a verificar
- Lq≤0.25L_q 0.25Lq≤0.25
- L≤0.9L 0.9L≤0.9
- Wq≤0.1W_q 0.1Wq≤0.1
- W≤6W 6W≤6
- P(Wq>0)≤0.01P(W_q > 0) 0.01P(Wq>0)≤0.01
- P(W>10)≤0.2P(W > 10) 0.2P(W>10)≤0.2
- ∑n=0sPn≥0.95_{n=0}^s P_n ∑n=0sPn≥0.95
## Cargando paquete requerido: igraph## Warning: package 'igraph' was built under R version 4.4.3##
## Adjuntando el paquete: 'igraph'## The following objects are masked from 'package:DiagrammeR':
##
## count_automorphisms, get_edge_ids## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## decompose, spectrum## The following object is masked from 'package:base':
##
## union## [1] "Medidas de desempeño:"## Servidores Lq L Wq W rho P0 Pwq_gt_0 Pw_gt_10
## 1 1 4.1667 5.0000 25.0000 30.0000 0.8333 0.1667 0.8333 1.0000
## 2 2 0.1751 1.0084 1.0504 6.0504 0.4167 0.4118 0.5882 0.1670
## 3 3 0.0222 0.8555 0.1332 5.1332 0.2778 0.4321 0.5679 0.1390
## 4 4 0.0029 0.8362 0.0174 5.0174 0.2083 0.4343 0.5657 0.1358
## 5 5 0.0003 0.8337 0.0021 5.0021 0.1667 0.4346 0.5654 0.1354
## Pn_sum
## 1 0.3056
## 2 0.8979
## 3 0.9840
## 4 0.9977
## 5 0.9997## [1] "Criterios y servidores que cumplen:"## $`Lq <= 0.25`
## [1] 2 3 4 5
##
## $`L <= 0.9`
## [1] 3 4 5
##
## $`Wq <= 0.1`
## [1] 4 5
##
## $`W <= 6`
## [1] 3 4 5
##
## $`P(Wq>0) <= 0.01`
## integer(0)
##
## $`P(W>10) <= 0.2`
## [1] 2 3 4 5
##
## $`Sum(Pn) >= 0.95`
## [1] 3 4 5## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.
## [1] "Matriz de transición Q para M/M/3:"Conclusiones del Ejercicio 5
El análisis del sistema de colas M/M/s con parámetros (= 0.1667) clientes/minuto y (= 0.2) clientes/minuto muestra lo siguiente:
- Impacto del número de servidores (s):
A medida que aumenta el número de servidores de 1 a 5:- La utilización (ρ) disminuye significativamente, reduciendo la congestión.
- Las medidas de desempeño Lq, Wq (longitud y tiempo de espera en la cola) caen de forma drástica, mejorando el servicio.
- El tiempo total en el sistema W se estabiliza cerca del tiempo de servicio (5 min) cuando s ≥ 3.
- Cumplimiento de criterios de servicio:
- Para criterios estrictos como Lq ≤ 0.25 y Wq ≤ 0.1, se requieren 4 o más servidores.
- Para criterios más flexibles como W ≤ 6 min, basta con 2 servidores.
- El criterio de confiabilidad ∑Pn ≥ 0.95 se logra con 3 servidores, lo que indica alta probabilidad de encontrar el sistema en estados bajos.
- Conclusión operativa:
- 1 servidor es insuficiente: genera tiempos de espera altos y baja calidad de servicio.
- 2 servidores mejoran notablemente, pero no cumplen todos los criterios.
- 3 servidores ofrecen un balance adecuado entre costo y nivel de servicio, cumpliendo la mayoría de los criterios.
- 4 o 5 servidores garantizan un servicio excelente, pero implican mayor costo operativo.
Recomendación:
Si el objetivo es minimizar tiempos de espera y garantizar alta
satisfacción, se recomienda instalar al menos 3
servidores, evaluando el costo adicional frente al beneficio de
reducir la espera.
EJERCICIO 6
Una oficina de proyectos actualmente está operando 5 proyectos al mismo tiempo, actualmente se tienen dos ingenieros para atender las solicitudes de auditoría y seguimiento para cada proyecto a una tasa de 5 requerimientos/semana (se distribuye como una Poisson). La tasa de atención por ingeniero es de 4 solicitudes por semana, (también con una distribución Poisson); por cada semana de retraso en la respuesta a las solicitudes, se genera un costo de $60.000. Se está contemplando asignar a otro ingeniero para que apoye el proceso, en caso de que las solicitudes abarquen tres proyectos, la asignación adicional, obliga a que el profesional tenga que aplazar sus asignaciones previas, lo que genera un costo de $50.000 por día. ¿Conviene la solución de agregar a otro ingeniero? Determine el modelo de colas que representa el sistema, con sus parámetros y describa el análisis desarrollado para soportar su respuesta.
Desarrollo
- Identificación del modelo El sistema corresponde a una cola M/M/s porque:
Llegadas: Poisson (5 solicitudes/semana por proyecto → 5 proyectos → λ = 25 solicitudes/semana). Servicio: Exponencial (cada ingeniero atiende μ = 4 solicitudes/semana). Servidores: inicialmente s = 2 ingenieros, posible aumento a s = 3. Capacidad: infinita (no se menciona límite de solicitudes). Disciplina: FIFO (implícita en auditorías).
. Parámetros
λ = 25 solicitudes/semana μ = 4 solicitudes/semana s = 2 (actual), s = 3 (propuesta) Costos:
Retraso: $60.000 por semana de espera. Ingeniero adicional: $50.000 por día → $250.000 por semana.
- Medidas de desempeño Para cada escenario (s = 2 y s = 3) calculamos:
ρ = λ / (s·μ) Lq, Wq, W usando fórmulas M/M/s:
- Costos
Costo por espera = Wq×λ×60,000W_q 000Wq×λ×60,000 Costo ingeniero adicional = $250.000/semana Decisión: agregar ingeniero si Costo espera con 2 ingenieros – Costo espera con 3 ingenieros > 250.000.
- Análisis esperado
- Para s = 2 ingenieros
ρ=3.125= 3.125ρ=3.125 (¡mayor a 1, sistema saturado!)
P0≈−0.5152P_0 -0.5152P0≈−0.5152 (inviable, indica que el modelo no converge porque ρ>1> 1ρ>1)
Lq≈−6.963L_q -6.963Lq≈−6.963 (no válido)
Interpretación: Con 2 ingenieros, el sistema no es estable (ρ > 1), por lo que las métricas no son aplicables. Esto confirma que 2 ingenieros son insuficientes.
Para s = 3 ingenieros
ρ=2.0833= 2.0833ρ=2.0833 (aún > 1, sigue saturado)
P0≈−0.0928P_0 -0.0928P0≈−0.0928 (modelo no converge)
Conclusión: Incluso con 3 ingenieros, el sistema sigue inestable porque la tasa de llegada excede la capacidad total (25>3×4=1225 > 3 = 1225>3×4=12).
Análisis económico
Ahorro estimado (aunque las métricas son negativas por inestabilidad):
Ahorro≈−$15.710 -$15.710Ahorro≈−$15.710Costo ingeniero adicional: $250.000
Beneficio neto: -$265.710
Decisión: No conviene agregar un ingeniero bajo este modelo, porque el sistema está mal dimensionado (la demanda supera la capacidad).
Con 2 ingenieros, la utilización será alta (ρ ≈ 3.125 → sistema saturado). Con 3 ingenieros, ρ ≈ 2.083 → sigue alta, pero mejora. El costo por espera con 2 ingenieros será muy elevado, por lo que agregar un ingeniero probablemente convenga.
El problema no es el costo, sino que el sistema no puede
operar con 2 ni con 3 ingenieros porque la tasa de llegada
(252525) es mucho mayor que la capacidad máxima (s⋅μs ⋅μ).
Para estabilizar el sistema (ρ<1< 1ρ<1), se necesita:
## [1] "Resultados del análisis:"## Servidores rho P0 Lq Wq W Costo_Espera
## 1 2 3.1250 NA NA NA NA NA
## 2 3 2.0833 NA NA NA NA NA
## 3 7 0.8929 0.001 5.8473 0.2339 0.4839 350837
## [1] "Matriz de transición Q para M/M/3:"## Estado_0 Estado_1 Estado_2 Estado_3 Estado_4 Estado_5 Estado_6
## Estado_0 -25 25 0 0 0 0 0
## Estado_1 4 -29 25 0 0 0 0
## Estado_2 0 8 -33 25 0 0 0
## Estado_3 0 0 12 -37 25 0 0
## Estado_4 0 0 0 12 -37 25 0
## Estado_5 0 0 0 0 12 -37 25
## Estado_6 0 0 0 0 0 12 -37
## Estado_7 0 0 0 0 0 0 12
## Estado_8 0 0 0 0 0 0 0
## Estado_9 0 0 0 0 0 0 0
## Estado_7 Estado_8 Estado_9
## Estado_0 0 0 0
## Estado_1 0 0 0
## Estado_2 0 0 0
## Estado_3 0 0 0
## Estado_4 0 0 0
## Estado_5 0 0 0
## Estado_6 25 0 0
## Estado_7 -37 25 0
## Estado_8 12 -37 25
## Estado_9 0 12 -12Conclusiones del Ejercicio 6
Identificación del problema
El sistema actual opera con 2 ingenieros para atender solicitudes de auditoría y seguimiento de 5 proyectos, con una tasa de llegada de 25 solicitudes/semana y una capacidad de servicio de 4 solicitudes/semana por ingeniero. Esto genera una utilización (ρ) superior a 1, lo que significa que el sistema está saturado e inestable.Evaluación del modelo M/M/s
Con 2 ingenieros, la capacidad total es ( 2 \times 4 = 8 ) solicitudes/semana, muy inferior a la demanda (25), por lo que el sistema no puede estabilizarse.
Con 3 ingenieros, la capacidad aumenta a 12 solicitudes/semana, pero sigue siendo insuficiente (ρ > 1).
Para que el sistema sea estable ((ρ < 1)), se requiere:
10
Impacto económico
El costo por espera con 2 y 3 ingenieros no puede calcularse de forma válida porque el sistema no converge.
Incluso si se agregara un tercer ingeniero, el ahorro sería mínimo frente al costo adicional ($250.000/semana), y el sistema seguiría saturado.
La única solución efectiva para reducir costos por espera y garantizar servicio es incrementar significativamente el número de ingenieros (≥ 7).
Conclusión operativa
Agregar solo un ingeniero NO es conveniente, ni técnica ni económicamente.
Se recomienda replantear la estrategia, ya sea:
Aumentar el número de ingenieros a por lo menos 7.
O redistribuir la carga de trabajo, tercerizar auditorías, o implementar herramientas que reduzcan la tasa de solicitudes.