中級統計学：復習テスト13

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト9〜13を順に重ねて左上でホチキス止めし，第2回中間試験実施日（11月14日の予定）に提出すること．

1. \{X_i\} は平均 \mu，分散 \sigma^2 の独立かつ同一な分布をもつ．

1. (X_1,\dots,X_n) の標本平均 \bar{X} を式で定義しなさい．

2. \bar{X} の平均（期待値）を求めなさい．

3. \bar{X} の分散を求めなさい．

4. \bar{X} の漸近分布を求めなさい．

解答例

\bar{X}:=\frac{X_1+\dots+X_n}{n}

2. 期待値の線形性より

\begin{align*} \operatorname{E}\left(\bar{X}\right) & =\operatorname{E}\left(\frac{X_1+\dots+X_n}{n}\right) \\ & =\frac{\operatorname{E}(X_1+\dots+X_n)}{n} \\ & =\frac{\operatorname{E}(X_1)+\dots+\operatorname{E}(X_n)}{n} \\ & =\frac{\mu+\dots+\mu}{n} \\ & =\mu \end{align*}

3. X_1,\dots,X_n は独立なので

\begin{align*} \operatorname{var}\left(\bar{X}\right) & =\operatorname{var}\left(\frac{X_1+\dots+X_n}{n}\right) \\ & =\frac{\operatorname{var}(X_1+\dots+X_n)}{n^2} \\ & =\frac{\operatorname{var}(X_1)+\dots+\operatorname{var}(X_n)}{n^2} \\ & =\frac{\sigma^2+\dots+\sigma^2}{n^2} \\ & =\frac{\sigma^2}{n} \end{align*}

4. 中心極限定理より

\bar{X} \stackrel{a}{\sim}\mathrm{N}\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)

2. \{U_i\} は独立に \mathrm{U}[0,1] にしたがう．(U_1,\dots,U_{12}) の標本平均を \bar{U} とする．

1. U_i の期待値を求めなさい（教科書 pp. 95–96〈例〉参照）．

2. U_i の2次の積率を求めなさい（教科書 p. 98〈例〉参照）．

3. U_i の分散を求めなさい．

4. \bar{U} の期待値を求めなさい．

5. \bar{U} の分散を求めなさい．

6. \bar{U} の漸近分布を求めなさい．（注：\mathrm{N}(0,1) ではない．）

解答例

\begin{align*} \operatorname{E}(U) & =\int_0^1u\mathrm{d}u \\ & =\left[\frac{u^2}{2}\right]_0^1 \\ & =\frac{1}{2} \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{E}\left(U^2\right) & =\int_0^1u^2\mathrm{d}u \\ & =\left[\frac{u^3}{3}\right]_0^1 \\ & =\frac{1}{3} \end{align*}

\begin{align*} \operatorname{var}(U) & =\operatorname{E}\left(U^2\right)-\operatorname{E}(U)^2 \\ & =\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{2}\right)^2 \\ & =\frac{1}{12} \end{align*}

4. 期待値の線形性より

\begin{align*} \operatorname{E}\left(\bar{U}\right) & =\operatorname{E}\left(\frac{U_1+\dots+U_{12}}{12}\right) \\ & =\frac{\operatorname{E}(U_1)+\dots+\operatorname{E}(U_{12})}{12} \\ & =\frac{1/2+\dots+1/2}{12} \\ & =\frac{1}{2} \end{align*}

5. U_1,\dots,U_{12} は独立なので

\begin{align*} \operatorname{var}\left(\bar{U}\right) & =\operatorname{var}\left(\frac{U_1+\dots+U_{12}}{12}\right) \\ & =\frac{\operatorname{var}(U_1+\dots+U_{12})}{12^2} \\ & =\frac{\operatorname{var}(U_1)+\dots+\operatorname{var}(U_{12})}{12^2} \\ & =\frac{1/12+\dots+1/12}{12^2} \\ & =\frac{1}{144} \end{align*}

5. 中心極限定理より

\bar{U} \stackrel{a}{\sim}\mathrm{N}\left(\frac{1}{2},\frac{1}{144}\right)