Unidad 1 · Estimación de Parámetros

1. Conceptualización

En estadística inferencial buscamos obtener información sobre una población a partir de una muestra.
Como normalmente no podemos observar a toda la población, usamos estimadores — valores calculados con los datos muestrales — para aproximar los parámetros poblacionales desconocidos.

Conceptos clave

  • Población: conjunto completo de elementos con una característica de interés (por ejemplo, todos los estudiantes de una universidad).
  • Muestra: subconjunto representativo de la población.
  • Parámetro: medida numérica que describe una característica de la población (ejemplo: media poblacional μ, proporción poblacional p).
  • Estadístico: valor calculado a partir de la muestra (ejemplo: media muestral \(\bar{X}\), proporción muestral \(\hat{p}\)).
  • Estimador: regla o fórmula que asocia a cada muestra un valor que se utiliza para estimar el parámetro correspondiente.

2. Tipos de muestreo

La calidad del estimador depende fuertemente del tipo de muestreo utilizado.
Un muestreo correcto garantiza que los estimadores sean representativos e insesgados.

Muestreo

\[ n = \frac{N Z_{\alpha/2}^2 p q}{e^2 (N - 1) + Z_{\alpha/2}^2 p q}, \quad q = 1 - p \]

Donde:

  • N: tamaño de población
  • Zₐ/₂: cuantíl normal (1.96 para 95%)
  • e: margen de error admisible (en proporciones)
  • p: proporción esperada (si se desconoce, usar 0.5 para el caso más conservador)
# tamaño de muestra para proporción (población finita)
n_proporcion_finita <- function(N, e = 0.05, conf = 0.95, p = 0.5){
  z <- qnorm(1 - (1-conf)/2)
  q <- 1 - p
  num <- N * z^2 * p * q
  den <- e^2 * (N - 1) + z^2 * p * q
  ceiling(num / den)
}

# tamaño de muestra para media (población finita)
n_media_finita <- function(N, e, S, conf = 0.95){
  z <- qnorm(1 - (1-conf)/2)
  num <- N * z^2 * S^2
  den <- e^2 * (N - 1) + z^2 * S^2
  ceiling(num / den)
}

# Ejemplos
n_proporcion_finita(N = 10000, e = 0.05, conf = 0.95, p = 0.5)  # típico
## [1] 370
n_media_finita(N = 5000, e = 2, S = 15, conf = 0.95)
## [1] 208

Principales tipos de muestreo

  1. Muestreo aleatorio simple: todos los elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados.
    Ejemplo: seleccionar al azar 100 alumnos de un total de 1000.

Tamaño de muestra. Usa la fórmula general de arriba (población finita). No requiere ajuste extra.

set.seed(123)  # hace el muestreo reproducible
# Supón una población etiquetada 1..N
N <- 1000
n <- n_proporcion_finita(N, e = 0.05, conf = 0.95, p = 0.5)
muestra_ids <- sample(1:N, size = n, replace = FALSE)

# Si tienes un data.frame 'poblacion', usa:
# muestra <- poblacion[sample(1:nrow(poblacion), n), ]
muestra_ids
##   [1] 415 463 179 526 195 938 818 118 299 229 244  14 374 665 602 603 768 709
##  [19]  91 953 348 649 355 840  26 519 426 979 766 211 932 590 593 555 871 373
##  [37] 844 143 544 490 621 775 905 937 842  23 923 309 135 821 954 224 166 217
##  [55] 290 581  72 588 575 141 722 865 859 153 294 277 999  41 431  90 316 223
##  [73] 528 116 606 774 747 456 598 854  39 159 752 209 988 994  34 516  13  69
##  [91] 895 755 409 308 278  89 537 291 424 880 286 671 121 110 158  64 483 477
## [109] 480 711  67 663 847  85 165 648  51  74 178 362 236 610 330 726 127 212
## [127] 686 785 814 310 744 243 862 888 792 113 619 893 151 666 614 767 160 391
## [145] 155 974   5 326 784 280 800 789 567 843 238 764 339 920 822 137 455 738
## [163] 560 589  83 696 867 196 769 680 900 926 500 852 344 966 459  20 996 164
## [181]  52 534 177 554  84 523 633 392 302 597 706 864 837 430 710 761 712 428
## [199] 672 250 429 398 928 381 545  40 522 473 200 125 265 959 186 573 252 458
## [217] 152  54 538 235 289 185 765 413 627 794 981 783 205 904 564 857 908 727
## [235] 346 858 468 509  57 457 617 357 279 270 646 347 129 218 618 698 337 976
## [253] 539 975 861 553 724 390 498 222 899 657 421 762 660 163 846 673 578 913
## [271] 878 225 389 117 771 885  55 947
  1. Muestreo sistemático: se elige un punto de inicio aleatorio y luego se selecciona cada k-ésimo elemento. Se elige un arranque r∈{1,…,k} y se toma cada k-ésima unidad:

r,r+k,r+2k,… con k=⌊N/n⌋

Requiere un listado sin periodicidades que puedan sesgar.

Tamaño de muestra: Igual que Muestreo aleatorio simple.

Ejemplo: en una lista de empleados, tomar cada 10.º nombre.

Ejemplo

   N <- 1000
n <- 100
k <- floor(N / n)
r <- 3  # arranque "fijo" para que no cambie (o usa set.seed + sample(1:k,1))
idx <- seq(from = r, to = r + k*(n-1), by = k)
idx
##   [1]   3  13  23  33  43  53  63  73  83  93 103 113 123 133 143 153 163 173
##  [19] 183 193 203 213 223 233 243 253 263 273 283 293 303 313 323 333 343 353
##  [37] 363 373 383 393 403 413 423 433 443 453 463 473 483 493 503 513 523 533
##  [55] 543 553 563 573 583 593 603 613 623 633 643 653 663 673 683 693 703 713
##  [73] 723 733 743 753 763 773 783 793 803 813 823 833 843 853 863 873 883 893
##  [91] 903 913 923 933 943 953 963 973 983 993
# idx son las posiciones muestreadas
  1. Muestreo estratificado: la población se divide en estratos homogéneos y se seleccionan muestras aleatorias de cada estrato.

Se divide la población en estratos mutuamente excluyentes y exhaustivos.
Dentro de cada estrato se realiza un Muestreo Aleatorio Simple (MAS).

Asignación proporcional

\[ n_h = n \cdot \frac{N_h}{N} \]

Asignación de Neyman (óptima)

\[ n_h = n \cdot \frac{N_h S_h}{\sum_h N_h S_h} \]

Ejemplo: dividir a los estudiantes por facultad y luego seleccionar al azar dentro de cada una.

  1. Muestreo por conglomerados (clusters): la población se divide en grupos heterogéneos y se seleccionan algunos grupos completos al azar.

La población se agrupa en conglomerados (por ejemplo, escuelas, barrios).
Se seleccionan conglomerados completos (una etapa) o se muestrean unidades dentro (dos etapas).

Ajuste por efecto de diseño

\[ n_{\text{requerido}} = n_{\text{MAS}} \times deff, \quad deff \approx 1 + (m - 1)\rho \]

Donde:

  • \(n_{\text{MAS}}\): tamaño calculado como si fuera muestreo aleatorio simple (MAS)
  • \(m\): tamaño medio del conglomerado
  • \(\rho\): correlación intraclase (ICC) Ejemplo: elegir al azar 5 escuelas y encuestar a todos sus alumnos.
   # Población estructurada en 50 conglomerados de tamaño fijo 20 (1000 unidades)

poblacion_cl <- data.frame(
id = 1:1000,
cluster = rep(sprintf("G%02d", 1:50), each = 20)
)

# Supongamos que necesitamos n_MAS = 200 y sabemos m = 20, rho = 0.03

n_MAS <- 200
m <- 20
rho <- 0.03
deff <- 1 + (m - 1) * rho
n_req <- ceiling(n_MAS * deff)           # tamaño efectivo requerido

# Número de conglomerados a seleccionar (1 etapa: tomar clusters completos)

G_seleccionar <- ceiling(n_req / m)

set.seed(2024)  # reproducible
clusters_sel <- sample(unique(poblacion_cl$cluster), size = G_seleccionar)
muestra_cl_1etapa <- subset(poblacion_cl, cluster %in% clusters_sel)

table(muestra_cl_1etapa$cluster)
## 
## G02 G11 G14 G16 G17 G26 G29 G32 G34 G36 G37 G41 G42 G43 G45 G48 
##  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20  20
nrow(muestra_cl_1etapa)
## [1] 320
  1. Muestreo no probabilístico: depende del juicio del investigador (por conveniencia o cuota). No garantiza representatividad estadística.

Muestreo No Probabilístico

Definición técnica

La inclusión de las unidades no se basa en probabilidades conocidas, sino en el juicio del investigador, la conveniencia o la accesibilidad de los participantes.
Por esta razón, no se puede garantizar la representatividad estadística, ni calcular márgenes de error válidos o intervalos de confianza.

Tamaño de muestra

No existe una fórmula probabilística para determinar el tamaño de muestra.
Generalmente se define en función de:

  • Los recursos disponibles (tiempo, dinero, personal).
  • La facilidad de acceso a los participantes.
  • La precisión deseada en los resultados, estimada de forma empírica o mediante simulaciones.

Tipos de Muestreo No Probabilístico

1. Muestreo por Conveniencia

Selecciona las unidades más accesibles o disponibles para el investigador.
Es el tipo más común en estudios exploratorios o pilotos.

Ejemplo:
Encuestar a las primeras personas que salen de un supermercado.

2. Muestreo Intencional o por Juicio

El investigador elige los casos que considera más representativos o informativos.
Se usa en estudios cualitativos o en investigaciones donde se busca un perfil específico.

Ejemplo:
Seleccionar expertos en un área determinada para entrevistas.

3. Muestreo por Cuotas

Se divide la población en categorías (edad, sexo, ocupación, etc.) y se asignan cuotas que deben cumplirse, pero sin selección aleatoria dentro de las categorías.

Ejemplo:
Seleccionar 50 mujeres y 50 hombres, sin importar quiénes específicamente acepten participar.

4. Muestreo Bola de Nieve

Se utiliza cuando la población es difícil de acceder o no está claramente identificada.
Los primeros participantes recomiendan a otros, formando una “cadena”.

Ejemplo:
Estudiar redes de consumo de drogas o comunidades específicas.

5. Muestreo Autoseleccionado o Voluntario

Los sujetos deciden participar por iniciativa propia.
Es común en encuestas en línea, redes sociales o medios de comunicación.

Ejemplo:
Una encuesta en un sitio web donde las personas ingresan voluntariamente a responder.

Consideraciones

  • Estos métodos no permiten inferencia estadística formal, pero son útiles para:
    • Estudios exploratorios o descriptivos.
    • Pruebas piloto antes de aplicar diseños probabilísticos.
    • Investigaciones cualitativas o estudios de caso.

3. Estimadores y sus propiedades

Un estimador es una función de la muestra que busca aproximar un parámetro poblacional.
Al aplicarlo a una muestra concreta, obtenemos una estimación puntual.

Propiedades deseables de un buen estimador

  • Insesgado: su esperanza es igual al parámetro verdadero
    \(E[\hat{\theta}] = \theta\)
  • Consistente: a medida que n crece, \(\hat{\theta}\) se aproxima al valor real.
  • Eficiente: entre varios estimadores insesgados, el más eficiente es el que tiene menor varianza.
  • Suficiente: utiliza toda la información contenida en la muestra respecto al parámetro.

Ejemplo:

Muestra: tiempos (minutos): 8, 9, 10, 12, 11, 7, 9, 13, 10, 11
Media muestral = 10 min → estimador de μ.
Varianza muestral \(S^2\) → estimador de σ².

4. Estimación puntual

Una estimación puntual asigna un único valor al parámetro de interés:

  • Media: \(\hat{\mu} = \bar{X}\)
  • Varianza: \(\widehat{\sigma^2} = S^2 = \frac{1}{n-1}\sum (X_i - \bar{X})^2\)
  • Proporción: \(\hat{p} = \frac{x}{n}\)

Ejemplo:
En una encuesta de 200 personas, 112 prefieren la marca A.
\(\hat{p} = 112 / 200 = 0.56\) (estimación puntual de p).

. Estimación puntual con datos reales creados

En este ejemplo usaremos una pequeña población ficticia con 30 observaciones para cuatro variables.

# --------------------------------------
# Población 
# --------------------------------------
edad <- c(25, 30, 28, 32, 27, 31, 29, 26, 33, 28,
          30, 35, 26, 29, 34, 31, 27, 28, 30, 29,
          32, 33, 28, 26, 31, 30, 27, 29, 34, 32)

altura <- c(165, 170, 172, 168, 169, 175, 173, 167, 171, 170,
            172, 174, 168, 176, 169, 171, 170, 172, 173, 168,
            174, 175, 169, 170, 172, 173, 174, 175, 176, 177)

peso <- c(60, 70, 68, 72, 65, 80, 77, 66, 75, 70,
          73, 78, 69, 74, 82, 71, 68, 69, 70, 72,
          74, 75, 73, 67, 79, 81, 76, 77, 80, 78)

nota <- c(78, 85, 88, 90, 82, 91, 89, 87, 84, 86,
          92, 88, 83, 89, 94, 90, 85, 87, 86, 91,
          88, 89, 90, 84, 92, 93, 85, 87, 88, 90)

# Guardamos en un data frame
datos <- data.frame(edad, altura, peso, nota)
head(datos)

media_edad <- mean(edad)
media_altura <- mean(altura)
media_peso <- mean(peso)
media_nota <- mean(nota)

cat("Estimaciones puntuales (media):\n")
cat("Edad:", media_edad, "\nAltura:", media_altura, "\nPeso:", media_peso, "\nNota:", media_nota, "\n")

Evaluación de propiedades del estimador

Varianza y eficiencia del estimador:

n <- length(edad)

var_edad <- var(edad) / n
var_altura <- var(altura) / n
var_peso <- var(peso) / n
var_nota <- var(nota) / n

cat("Varianza del estimador (eficiencia):\n")
cat("Edad:", var_edad, "\nAltura:", var_altura, "\nPeso:", var_peso, "\nNota:", var_nota, "\n")

5. Estimación por intervalos de confianza

Un intervalo de confianza (IC) al nivel \((1 - \alpha)\) proporciona un rango de valores que probablemente contenga el parámetro poblacional.

Concepto de confianza

Si construimos muchos intervalos de confianza de la misma forma sobre diferentes muestras, aproximadamente un \((1 - \alpha)\times100\%\) de ellos contendrán el valor verdadero del parámetro.

Formas generales

  • Media (σ desconocida):
    \(\bar{X} \pm t_{1-\alpha/2, n-1}\dfrac{S}{\sqrt{n}}\)

  • Media (σ conocida):
    \(\bar{X} \pm z_{1-\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

  • Proporción:
    \(\hat{p} \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\)

  • Diferencia de medias (Welch):
    \((\bar{X}_1 - \bar{X}_2) \pm t_{\nu,1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}\)

  • Diferencia de proporciones:
    \((\hat{p}_1 - \hat{p}_2) \pm z_{1-\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\dfrac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}\)

6. Estimadores de Máxima Verosimilitud (MLE)

El estimador de máxima verosimilitud elige el valor del parámetro que maximiza la probabilidad de obtener la muestra observada.

Ejemplos

  • Para una normal \(N(\mu, \sigma^2)\):
    • \(\hat{\mu}_{MLE} = \bar{X}\)
    • \(\hat{\sigma}^2_{MLE} = \dfrac{1}{n}\sum (X_i - \bar{X})^2\)
  • Para una distribución Bernoulli(p):
    • \(\hat{p}_{MLE} = x/n\)

Ventajas: consistentes, eficientes asintóticamente y con distribución aproximadamente normal para muestras grandes.

Unidad 2 · Nivel de Confianza y Métodos de Estimación

1. Nivel de confianza y significancia

  • Nivel de confianza \((1 - \alpha)\): probabilidad de que un IC contenga el valor verdadero del parámetro.
  • Nivel de significancia \((\alpha)\): probabilidad de cometer un error tipo I (rechazar \(H_0\) siendo verdadera).

Ejemplo: un IC al 95% implica \(\alpha = 0.05\).

Relación directa: un IC del 95% para μ equivale a una prueba bilateral con α = 0.05.

2. Métodos de estimación

a) Método de los momentos

Consiste en igualar momentos muestrales con los teóricos para resolver los parámetros desconocidos.

b) Máxima verosimilitud

Maximiza la función \(L(\theta | x)\), es decir, el valor del parámetro que hace más probable la muestra observada.

c) Método Bayesiano

Integra información previa (prior) con la evidencia observada (verosimilitud) para obtener una distribución posterior del parámetro.

d) Mínimos cuadrados

Minimiza la suma de los errores cuadrados entre valores observados y estimados. Se usa especialmente en regresión lineal.

Unidad 3 · Prueba de Hipótesis

1. Concepto general

Una prueba de hipótesis evalúa una afirmación sobre un parámetro poblacional basándose en la evidencia muestral.

Pasos del proceso

  1. Formular \(H_0\) y \(H_1\).
  2. Elegir el estadístico apropiado (t, z, χ², etc.).
  3. Seleccionar el nivel de significancia \(\alpha\).
  4. Calcular el estadístico y el p-valor.
  5. Tomar una decisión:
    • Si \(p \le \alpha\) → rechazar \(H_0\).
    • Si \(p > \alpha\) → no rechazar \(H_0\).

2. Tipos de hipótesis

  • Hipótesis nula (\(H_0\)): representa el estado actual o la ausencia de efecto.
  • Hipótesis alternativa (\(H_1\)): representa el cambio o efecto que se quiere detectar.

Según la dirección del contraste

Tipo Forma Región crítica
Bilateral \(H_1:\theta \neq \theta_0\) Dos colas
Unilateral derecha \(H_1:\theta > \theta_0\) Cola derecha
Unilateral izquierda \(H_1:\theta < \theta_0\) Cola izquierda

3. Pruebas para la media y la proporción

  • Media (σ desconocida): prueba t de una muestra.
  • Dos medias independientes: prueba t de Welch (sin asumir varianzas iguales).
  • Proporción: prueba z de una muestra.
  • Dos proporciones: prueba z o chi-cuadrado de homogeneidad.

4. Errores y potencia

  • Error Tipo I (α): rechazar \(H_0\) siendo verdadera.
  • Error Tipo II (β): no rechazar \(H_0\) siendo falsa.
  • Potencia: \(1 - β\), probabilidad de detectar un efecto real.

La potencia aumenta con: - tamaño de muestra n grande, - menor variabilidad, - efecto verdadero más grande, - nivel de significancia más alto.

Ejercicio Integrador en R

# -----------------------------
# Simulación de datos
# -----------------------------
set.seed(123)
tiempos <- round(rnorm(40, mean = 9.2, sd = 2.1), 1)
maniana <- round(rnorm(22, mean = 8.7, sd = 1.8), 1)
tarde   <- round(rnorm(24, mean = 9.8, sd = 2.3), 1)
exitos_A <- 112; n_A <- 200
exitos_B <- 124; n_B <- 220