Mathe I
Bakterienvermehrung
Gegeben ist ein Graph einer exponentiellen Bakterienvermehrung. Die folgenden x und y-Werte (\(f(x)\)) sind gegeben:
\[ f(0) = 1 \\ f(10) = 1.000.000 \]
Zum Zeitpunkt 0 war also ein Bakterium vorhanden, zum Zeitpunkt 10 waren es bereits eine Million.
Folgende Fragestellungen schließen sich an:
- Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn die Exponentialfuntion die Form \(y = c \cdot a^x\) hat?
- Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn die Exponentialfuntion die Basis 10 haben soll?
- Wie lautet die Funktionsgleichung, wenn die Exponentialfuntion die Basis
- 2 und (2) \(e\) haben soll?
a)
Schritt 1: Einsetzen von \(x=0\):
\[ \begin{split} y &= c \cdot a^x \\ 1 &= c \cdot a^0 \\ 1 &= c \cdot 1 \\ 1 &= c \\ c &= 1 \\ \end{split} \]
Schritt 2: Einsetzen von \(x=10\) und \(c=1\):
\[ \begin{split} y &= c \cdot a^x \\ 1.000.000 &= 1 \cdot a^{10} \\ 1.000.000 &= a^{10} \\ ^{10}\sqrt{1.000.000} &= a \\ \end{split} \]
1,000,000 kann auch als Zehnerpotenz dargestellt werden:
\[ 1,000,000=10^6⇒a=(10^6)^{1/10} = 10^{0.6} ≈3.9811 \\ \]
Demnach folgt:
\[ \begin{split} 10^{0.6} &= a \\ a &= 10^{0.6} \\ \end{split} \]
Lösung:
\[ f(x) = y = 1 \cdot 10^{0.6x} \\ f(x) = 10^{0.6x} \]
b)
Aus der vorangegangenen Berechnung erfolgt bereits eine Formel zur Basis 10.
c)
Wir wissen bereits aus Teil (a): Die ursprüngliche Wachstumsfunktion lautet
\[ f(x) = 10^{0.6x} \]
und soll jetzt in zwei anderen Basisformen angegeben werden:
(1) Basis 2
Allgemeine Form:
\[ f(x) = c \cdot 2^{k x} \]
Da \(f(0) = 1\), folgt wieder \(c = 1\). Also gilt:
\[ 10^{0.6x} = 2^{k x} \]
Vergleiche die Exponenten (da \(x\) auf beiden Seiten gleich ist) und löse nach \(k\) auf:
Info
Hat man eine Form \(b^x\) so kann man diese mit dem Logarithmus zur Basis \(b\) (\(=> log_b\)) nach \(x\) auflösen!
\[ \begin{split} 10^{0.6} &= 2^k \\ log_2(10^{0.6}) &= k \\ k &= 1.993157 \end{split} \]
Ergebnis:
\[ \boxed{f(x) = 2^{1.99x}} \]
(2) Basis (e)
Allgemeine Form: \[ f(x) = c \cdot e^{r x} \]
Wieder (c = 1), also:
\[ 10^{0.6x} = e^{r x} \]
Vergleiche die Exponenten (da \(x\) auf beiden Seiten gleich ist) und löse nach \(r\) auf:
Info
Der Logarithmus zur Basis \(e\) ist \(ln\) - der natürliche Logarithmus. Nichts anderes als \(log_e\).
\[ \begin{split} \Rightarrow 10^{0.6} &= e^r \\ 10^{0.6} &= e^r \end{split} \] Berechne (ungefähr):
\[ \Rightarrow r = \ln(10^{0.6}) = 0.6 \ln(10) \approx 0.6 \times 2.3026 = 1.3816 \]
Ergebnis:
\[ \boxed{f(x) = e^{1.3816x}} \]