中級統計学：復習テスト12

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト9〜13を順に重ねて左上でホチキス止めし，第2回中間試験実施日（11月14日の予定）に提出すること．

1. (X,Y) を確率ベクトルとする．

1. （1変量分布の）mgf の定義を書きなさい．

2. X と Y が独立なら M_{X+Y}(t)=M_X(t)M_Y(t) となることを示しなさい．

解答例

1. X の mgf は M_X(t):=\operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{tX}\right)

2. X と Y が独立なら \begin{align*} M_{X+Y}(t) & :=\operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{t(X+Y)}\right) \\ & =\operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{tX+tY}\right) \\ & =\operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{tX}\mathrm{e}^{tY}\right) \\ & =\operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{tX}\right)\operatorname{E}\left(\mathrm{e}^{tY}\right) \\ & =M_X(t)M_Y(t) \end{align*}

2. X \sim \mathrm{N}\left(\mu_X,\sigma_X^2\right) と Y \sim \mathrm{N}\left(\mu_Y,\sigma_Y^2\right) は独立とする．

1. X,Y の mgf を書きなさい．

2. X+Y の mgf を求めなさい．

解答例

\begin{align*} M_X(t) & =\exp\left(\mu_Xt+\frac{\sigma_X^2t^2}{2}\right) \\ M_Y(t) & =\exp\left(\mu_Yt+\frac{\sigma_Y^2t^2}{2}\right) \end{align*}

2. X と Y は独立なので

\begin{align*} M_{X+Y}(t) & =M_X(t)M_Y(t) \\ & =\exp\left(\mu_Xt+\frac{\sigma_X^2t^2}{2}\right)\exp\left(\mu_Yt+\frac{\sigma_Y^2t^2}{2}\right) \\ & =\exp\left((\mu_X+\mu_Y)t+\frac{\left(\sigma_X^2+\sigma_Y^2\right)t^2}{2}\right) \end{align*}

3. \bm x\sim \mathrm{N}(\bm \mu,\bm \Sigma) とする．ただし \bm x:=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \end{pmatrix}, \quad \bm \mu:=\begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \end{pmatrix},\quad \bm \Sigma:=\begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12} \\ \sigma_{21} & \sigma_2^2 \\ \end{bmatrix}

1. \mathrm{N}(\bm \mu,\bm \Sigma) の同時 pdf を書きなさい．

2. \det(\bm \Sigma) と \bm \Sigma^{-1} を求めなさい．

3. \sigma_{12}=0 なら x_1 と x_2 は独立であることを示しなさい．（ヒント：同時 pdf＝周辺 pdf の積，すなわち f(x_1,x_2)=f_1(x_1)f_2(x_2) となることを示せばよい．）

解答例

f(\bm x) :=(2\pi)^{-n/2}\det(\bm \Sigma)^{-1/2}\exp\left(-\frac{1}{2}(\bm x-\bm \mu)'\bm \Sigma^{-1}(\bm x-\bm \mu)\right) ただし n:=2．

\begin{align*} \det(\bm \Sigma) & =\sigma_1^2\sigma_2^2-\sigma_{12}^2 \\ \bm \Sigma^{-1} & =\begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12} \\ \sigma_{12} & \sigma_2^2 \\ \end{bmatrix}^{-1} \\ & =\frac{1}{\sigma_1^2\sigma_2^2-\sigma_{12}^2}\begin{bmatrix} \sigma_2^2 & -\sigma_{12} \\ -\sigma_{12} & \sigma_1^2 \\ \end{bmatrix} \end{align*}

3. \sigma_{12}=0 なら

\begin{align*} \det(\bm \Sigma) & =\sigma_1^2\sigma_2^2 \\ \bm \Sigma^{-1} & =\frac{1}{\sigma_1^2\sigma_2^2}\begin{bmatrix} \sigma_2^2 & 0 \\ 0 & \sigma_1^2 \\ \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 1/\sigma_1^2 & 0 \\ 0 & 1/\sigma_2^2 \\ \end{bmatrix} \end{align*} したがって \begin{align*} f(\bm x) & :=(2\pi)^{-1}\left(\sigma_1^2\sigma_2^2\right)^{-1/2}\exp\left( -\frac{1}{2}\begin{pmatrix} x_1-\mu_1 \\ x_2-\mu_2 \\ \end{pmatrix}'\begin{bmatrix} 1/\sigma_1^2 & 0 \\ 0 & 1/\sigma_2^2 \\ \end{bmatrix}\begin{pmatrix} x_1-\mu_1 \\ x_2-\mu_2 \\ \end{pmatrix}\right) \\ & =(2\pi)^{-1}\left(\sigma_1^2\sigma_2^2\right)^{-1/2}\exp\left( -\frac{1}{2} \left[\frac{(x_1-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}+\frac{(x_2-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right] \right) \\ & =(2\pi)^{-1/2}\left(\sigma_1^2\right)^{-1/2} \exp\left(-\frac{(x_1-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\right) (2\pi)^{-1/2}\left(\sigma_2^2\right)^{-1/2} \exp\left(-\frac{(x_2-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\right) \\ & =f_1(x_1)f_2(x_2) \end{align*} ただし f_1(.), f_2(.) は x_1,x_2 の周辺 pdf．同時 pdf＝周辺 pdf の積なので x_1 と x_2 は独立．