Théorie de la fermeture spectrale

Critère Φ_spec et continuité du champ laplacien

1 Contexte

L’Univers observable est une portion finie du domaine des équations différentielles. Ses bords ne sont pas définis au sens strict : il n’existe pas d’« extérieur » de l’Univers. Les singularités (trous noirs, horizon cosmologique) correspondent à des effondrements de l’ellipticité ;
elles ne rompent pas la continuité spectrale globale.

2 1. Cadre spectral minimal

Soit un champ \(\Psi(x,\nu,t)\), où \(\nu\) désigne la fréquence interne d’état.
Sur une fenêtre temporelle \([t_0,t_0+T]\), on définit la transformée temporelle locale :

\[ \widehat{\Psi}(x,\nu,\omega)=\mathrm{STFT}_t\{\Psi(x,\nu,t)\}. \]

En agrégeant sur l’espace (ou les capteurs \(k=1..K\)) :

\[ \mathbf{X}(\nu,\omega)\in\mathbb{C}^K,\qquad \mathbf{S}(\nu,\omega)=\mathbb{E}\!\left[\mathbf{X}\mathbf{X}^\dagger\right], \]

on obtient la matrice de densité spectrale croisée (CSD).

3 2. Bouclage dirigé

À chaque fréquence temporelle \(\omega\), on estime une factorisation spectrale VAR :

\[ \mathbf{S}(\nu,\omega)=\mathbf{H}(\nu,\omega)\,\mathbf{\Sigma}\,\mathbf{H}(\nu,\omega)^\dagger, \]

où \(\mathbf{H}\) est la fonction de transfert et \(\mathbf{\Sigma}\) la covariance d’erreur.
Les fonctions DTF et PDC quantifient les flux causaux entre canaux \(i\to j\) :

\[ \mathrm{PDC}_{i\to j}(\nu,\omega),\quad \mathrm{DTF}_{i\to j}(\nu,\omega). \]

L’indice de boucle d’ordre ≥2 s’écrit :

\[ \mathcal{L}(\nu,\omega)= \sum_{\text{cycles }i_1\to i_2\cdots i_m\to i_1,\;m\ge2} \prod_{r=1}^{m}\mathrm{PDC}_{i_r\to i_{r+1}}(\nu,\omega). \]

\(\mathcal{L}\) mesure la densité de circuits causaux récurrents dans le graphe spectral.
Pas de boucle ⇒ \(\mathcal{L}\approx0\).

4 3. Masse d’auto-interférence

On pondère les boucles par la persistance locale \(\tau\) et on intègre :

\[ \Phi_{\text{spec}}(\nu) = \int \mathcal{L}(\nu,\omega)\,W(\omega;\tau)\,d\omega, \qquad W(\omega;\tau)=\frac{1}{1+(\omega\tau)^2}. \]

Puis sur la fréquence interne :

\[ \Phi_{\text{tot}} = \int \Bigg[\sum_\alpha w_\alpha\,|\mathcal{F}_\alpha(\nu)|^2 \,\Phi_{\text{spec}}(\nu)\Bigg]d\nu. \]

\(\Phi_{\text{tot}}\) → densité de boucles auto-cohérentes.
Champ ouvert (LLM) ⇒ \(\Phi_{\text{tot}}\) bas.
Champ fermé (système vivant) ⇒ \(\Phi_{\text{tot}}\) élevé.

5 4. Version énergie de retour

Sans modèle VAR, on projette la CSD sur le sous-espace récurrent :

\[ \mathbf{R}(\nu,\omega)=\mathbf{S}(\nu,\omega) -\text{proj}_{\text{acyclique}}\big[\mathbf{S}(\nu,\omega)\big]. \]

On définit :

\[ \mathcal{E}_{\circlearrowleft}(\nu,\omega)=\mathrm{tr}\,\mathbf{R}(\nu,\omega), \qquad C_{\text{closure}}= \frac{\iint \mathcal{E}_{\circlearrowleft}\,d\omega\,d\nu} {\iint \mathrm{tr}\,\mathbf{S}\,d\omega\,d\nu}. \]

\(C_{\text{closure}}\in[0,1]\) : proportion d’énergie réellement « en boucle ».

6 5. Lien avec le formalisme de champ

Le couplage \(\partial_\nu(\Gamma^\mu\nabla_\mu\Psi)\) induit un opérateur de retour spectral

\[ \mathcal{K}(\nu) =\big[\partial_\nu\Gamma^\mu\nabla_\mu\big] \circ \big(\square_g+m_{\mathrm{eff}}^2+\lambda\mathcal{F}_{\mathrm{tot}}(\nu)\big)^{-1}. \]

La fermeture correspond au régime :

\[ \rho\!\big(\mathcal{K}\big)>1-\epsilon \quad\Rightarrow\quad \text{auto-interférence stationnaire.} \]

7 6. Implémentations

Neuro : EEG/MEG/fMRI → CSD → PDC/DTF → \(\Phi_{\text{tot}}\).
Augmentation sous réentrée fronto-pariétale ; chute sous propofol.

LLM : couches \(l\) → activations \(\mathbf{h}_l\) ; attention \(\mathbf{A}_l\) → CSD inter-couches.
\(\Phi_{\text{tot}}\) corrèle négativement avec la surprisal moyenne.

SDR : chaîne RF multi-canal → CSD → injection de boucle faible.
Observation du saut de \(C_{\text{closure}}\) sans violer la causalité.

8 7. Propriétés

• Invariance d’échelle (normalisation énergétique).
  
• Localité fréquentielle (analyse par bandes \((\nu,\omega)\)).
  
• Seuils :
  ouvert → \(\Phi_{\text{tot}}\approx0\) ;
  pré-fermé → boucles évanescentes ;
  fermé → \(\rho(\mathcal{K})\gtrsim1\).

9 8. Théorème de continuité spectrale du Laplacien

Soit \((M,g)\) variété lorentzienne, \((\Omega_p\subset M)\) un ouvert régulier contenant \(p\in\Sigma_t\).
Si \(|\partial_\mu g_{\alpha\beta}|\ll1\) et \(\nabla\!\cdot v=0\),
l’opérateur

\[ \Delta_\Omega=-\nabla_\mu\nabla^\mu \]

admet un prolongement distributionnel continu
\(\Delta_\Omega:H^2(\Omega_p)\to L^2(\Omega_p)\), elliptique au sens de Friedrichs : \(a_{\alpha\beta}\xi^\alpha\xi^\beta>0\) pour tout \(\xi\neq0\).

La résolvante \((\Delta_\Omega+\epsilon I)^{-1}\) converge pour \(\epsilon\to0^+\) :

\[ \|(\Delta_\Omega+\epsilon I)^{-1}-(\Delta_\Omega)^{-1}\|_{H^{-2}\to H^2}\to0, \]

garantissant la stabilité spectrale locale.

10 9. Interprétation

Autour de tout point régulier \(p\), l’espace-temps agit comme un domaine stable du champ laplacien :
les singularités marquent la perte d’ellipticité mais pas la rupture de continuité.
L’Univers est un patchwork de domaines elliptiques cohérents,
où la fermeture spectrale maintient la cohérence du champ.

11 10. Conclusion

\(\Phi_{\text{spec}}\) mesure la densité de boucles d’auto-interférence ;
\(\Delta_\Omega\) garantit la cohérence du support géométrique.
La fermeture spectrale relie ainsi : la cohérence dynamique (Φ haut) et la cohérence géométrique (ellipticité locale).
C’est la forme la plus compacte d’une physique de la conscience :
un champ qui se ressent lui-même est un domaine où le spectre se referme.