Objetivo: comprender las formas funcionales (nivel–nivel, log–nivel, nivel–log, log–log) y el efecto de cambios de unidades, con implementación reproducible en RStudio (lista para RPubs).

1 1. Preparación

options(digits = 4)
set.seed(123)
pkgs <- c("wooldridge", "dplyr", "ggplot2", "broom", "scales")
to_install <- setdiff(pkgs, rownames(installed.packages()))
if (length(to_install)) install.packages(to_install, repos = "https://cran.rstudio.com/")
invisible(lapply(pkgs, library, character.only = TRUE))

data(wage1, package = "wooldridge")
wage1 <- wage1 %>% 
  filter(!is.na(wage), !is.na(educ), wage > 0, educ > 0)
glimpse(wage1)
## Rows: 524
## Columns: 24
## $ wage     <dbl> 3.10, 3.24, 3.00, 6.00, 5.30, 8.75, 11.25, 5.00, 3.60, 18.18,…
## $ educ     <int> 11, 12, 11, 8, 12, 16, 18, 12, 12, 17, 16, 13, 12, 12, 12, 16…
## $ exper    <int> 2, 22, 2, 44, 7, 9, 15, 5, 26, 22, 8, 3, 15, 18, 31, 14, 10, …
## $ tenure   <int> 0, 2, 0, 28, 2, 8, 7, 3, 4, 21, 2, 0, 0, 3, 15, 0, 0, 10, 0, …
## $ nonwhite <int> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
## $ female   <int> 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1…
## $ married  <int> 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0…
## $ numdep   <int> 2, 3, 2, 0, 1, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 1, 1, 0, 0, 3, 0, 0…
## $ smsa     <int> 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1…
## $ northcen <int> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
## $ south    <int> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
## $ west     <int> 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1…
## $ construc <int> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
## $ ndurman  <int> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
## $ trcommpu <int> 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
## $ trade    <int> 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
## $ services <int> 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0…
## $ profserv <int> 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1…
## $ profocc  <int> 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1…
## $ clerocc  <int> 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0…
## $ servocc  <int> 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0…
## $ lwage    <dbl> 1.1314, 1.1756, 1.0986, 1.7918, 1.6677, 2.1691, 2.4204, 1.609…
## $ expersq  <int> 4, 484, 4, 1936, 49, 81, 225, 25, 676, 484, 64, 9, 225, 324, …
## $ tenursq  <int> 0, 4, 0, 784, 4, 64, 49, 9, 16, 441, 4, 0, 0, 9, 225, 0, 0, 1…

2 2. Cambios de unidades: reglas clave

  • Si \(y' = c \cdot y\) ⇒ \((\hat\beta_0', \hat\beta_1') = c \cdot (\hat\beta_0, \hat\beta_1)\).
  • Si \(x' = x / c\) ⇒ \(\hat\beta_1' = c \cdot \hat\beta_1\); el intercepto no cambia.
  • \(R^2\) es invariante a cambios de unidades.

Ejemplo rápido (hipotético con wage ~ educ):

m0 <- lm(wage ~ educ, data = wage1)
coef(m0)
## (Intercept)        educ 
##     -1.3021      0.5715
wage_dol <- wage1 %>% mutate(wage_dol = 100 * wage)   # como si cambiáramos escala de y
m0_y2 <- lm(wage_dol ~ educ, data = wage_dol)
coef(m0_y2)  # intercepto y pendiente multiplicados por 100
## (Intercept)        educ 
##     -130.21       57.15

3 3. Formas funcionales: definiciones e interpretación

Modelo Ecuación Interpretación de \(\beta_1\)
Nivel–Nivel \(y = \beta_0 + \beta_1 x + u\) \(\Delta y = \beta_1 \Delta x\)
Log–Nivel \(\log y = \beta_0 + \beta_1 x + u\) \(\%\Delta y \approx 100 \beta_1 \Delta x\)
Nivel–Log \(y = \beta_0 + \beta_1 \log x + u\) \(\Delta y \approx (\beta_1/100) \%\Delta x\)
Log–Log \(\log y = \beta_0 + \beta_1 \log x + u\) Elasticidad: \(\%\Delta y = \beta_1 \%\Delta x\)

4 4. Estimación en R de las cuatro formas

m1 <- lm(wage ~ educ, data = wage1)                 # Nivel–Nivel
m2 <- lm(log(wage) ~ educ, data = wage1)            # Log–Nivel
m3 <- lm(wage ~ log(educ), data = wage1)            # Nivel–Log
m4 <- lm(log(wage) ~ log(educ), data = wage1)       # Log–Log

mods <- list(`Nivel–Nivel`=m1, `Log–Nivel`=m2, `Nivel–Log`=m3, `Log–Log`=m4)
lapply(mods, function(m) broom::tidy(m))
## $`Nivel–Nivel`
## # A tibble: 2 × 5
##   term        estimate std.error statistic  p.value
##   <chr>          <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
## 1 (Intercept)   -1.30     0.714      -1.82 6.87e- 2
## 2 educ           0.572    0.0554     10.3  7.54e-23
## 
## $`Log–Nivel`
## # A tibble: 2 × 5
##   term        estimate std.error statistic  p.value
##   <chr>          <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
## 1 (Intercept)   0.525    0.101        5.18 3.26e- 7
## 2 educ          0.0872   0.00787     11.1  8.14e-26
## 
## $`Nivel–Log`
## # A tibble: 2 × 5
##   term        estimate std.error statistic  p.value
##   <chr>          <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
## 1 (Intercept)    -7.46     1.53      -4.87 1.49e- 6
## 2 log(educ)       5.33     0.608      8.77 2.60e-17
## 
## $`Log–Log`
## # A tibble: 2 × 5
##   term        estimate std.error statistic  p.value
##   <chr>          <dbl>     <dbl>     <dbl>    <dbl>
## 1 (Intercept)   -0.445    0.218      -2.04 4.17e- 2
## 2 log(educ)      0.825    0.0864      9.55 5.19e-20

Resumen de ajuste (R² y n):

data.frame(
  modelo = names(mods),
  R2 = sapply(mods, function(m) summary(m)$r.squared),
  n = sapply(mods, function(m) nobs(m))
)
##                  modelo     R2   n
## Nivel–Nivel Nivel–Nivel 0.1695 524
## Log–Nivel     Log–Nivel 0.1907 524
## Nivel–Log     Nivel–Log 0.1283 524
## Log–Log         Log–Log 0.1486 524

5 5. Gráficos ilustrativos

5.1 5.1 Nivel–Nivel

ggplot(wage1, aes(educ, wage)) +
  geom_point(alpha = 0.3) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE) +
  labs(title = "Relación salario–educación (nivel–nivel)",
       x = "Años de educación", y = "Salario por hora (USD)") +
  theme_minimal(base_size = 13)
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

5.2 5.2 Log–Log

ggplot(wage1, aes(log(educ), log(wage))) +
  geom_point(alpha = 0.3) +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE) +
  labs(title = "Modelo log–log: elasticidad salario–educación",
       x = "log(educ)", y = "log(wage)") +
  theme_minimal(base_size = 13)
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

6 6. Interpretación aplicada

  • Nivel–Nivel: un año adicional de educación cambia el salario en \(\hat\beta_1\) USD.
  • Log–Nivel: un año adicional de educación cambia el salario en \(\approx 100\hat\beta_1\%\).
  • Nivel–Log: un 1% más de educación cambia el salario en \(\hat\beta_1/100\) USD.
  • Log–Log: \(\hat\beta_1\) es la elasticidad salario–educación.
## Ejemplo: en log–nivel, 1 año adicional ⇒ 8.7% más de salario.
## En log–log, elasticidad salario–educación ≈ 0.825.

7 7. Actividad práctica (para RPubs / aula)

  1. Repite los cuatro modelos usando exper (años de experiencia) en lugar de educ.
  2. Compara R², significancia y plausibilidad económica de las interpretaciones.
  3. Grafica residuales vs. valores ajustados en cada modelo y comenta posibles heterocedasticidades.
  4. Elabora una conclusión: ¿qué forma funcional prefieres y por qué?

8 8. Bibliografía mínima

  • Wooldridge, J. (2009). Introducción a la econometría. Un enfoque moderno. Cap. 2.4 (Unidades de medición y formas funcionales).
  • Notas docentes UNL — Curso de Econometría / Inferencia (material complementario).