Objetivo del Tutorial

Al finalizar este tutorial, el estudiante será capaz de:

  1. Comprender la lógica conceptual de ANOVA (Señal vs. Ruido).
  2. Calcular manualmente la variabilidad Inter-grupos (\(MS_B\)) e Intra-grupos (\(MS_W\)).
  3. Calcular el estadístico \(F\) y compararlo con un valor crítico.
  4. Interpretar el resultado de una prueba ANOVA.
  5. Ejecutar y analizar una prueba ANOVA completa usando la función aov() en R.

El Escenario: Ensayo de Analgésicos

Imagina que somos investigadores probando la eficacia de dos nuevos fármacos (A y B) para reducir el dolor, comparados con un Placebo (Control).

Medimos el nivel de dolor de 15 pacientes (5 por grupo) 1 hora después del tratamiento, en una escala de 0 (sin dolor) a 20 (dolor máximo).

Nuestra pregunta: ¿Existen diferencias significativas en el nivel de dolor promedio entre los tres grupos?

Datos:

Parte 1: Cálculo Manual (La Lógica “Señal vs. Ruido”)

ANOVA se basa en comparar la “Señal” (qué tan diferentes son las medias entre los grupos) con el “Ruido” (qué tanta variabilidad “natural” hay dentro de los grupos).

\[F = \frac{\text{Señal}}{\text{Ruido}} = \frac{\text{Variabilidad ENTRE grupos}}{\text{Variabilidad DENTRO de grupos}} = \frac{MS_B}{MS_W}\]

Paso 1.1: Estadísticos Básicos

Primero, calculemos las medias, varianzas y tamaños de muestra de nuestros datos.

# Definir los datos
g1_control <- c(16, 17, 15, 16, 16)
g2_farm_A <- c(14, 13, 15, 14, 14)
g3_farm_B <- c(12, 11, 13, 12, 12)

# Parámetros
k <- 3 # Número de grupos
n1 <- length(g1_control); n2 <- length(g2_farm_A); n3 <- length(g3_farm_B)
N <- n1 + n2 + n3 # Tamaño total de muestra (15)

# Medias de grupo (x_barra_i)
m1 <- mean(g1_control) # 16
m2 <- mean(g2_farm_A) # 14
m3 <- mean(g3_farm_B) # 12

# Varianzas de grupo (s_i^2)
v1 <- var(g1_control) # 0.5
v2 <- var(g2_farm_A) # 0.5
v3 <- var(g3_farm_B) # 0.5

# Media Global (x_barra_global)
todos_los_datos <- c(g1_control, g2_farm_A, g3_farm_B)
m_global <- mean(todos_los_datos) # 14

# Imprimir resultados
cat(sprintf("Media Global (Gran Media): %.2f\n", m_global))
## Media Global (Gran Media): 14.00
cat(sprintf("Grupo 1 (Control): n=%.0f, Media=%.2f, Varianza=%.2f\n", n1, m1, v1))
## Grupo 1 (Control): n=5, Media=16.00, Varianza=0.50
cat(sprintf("Grupo 2 (Fármaco A): n=%.0f, Media=%.2f, Varianza=%.2f\n", n2, m2, v2))
## Grupo 2 (Fármaco A): n=5, Media=14.00, Varianza=0.50
cat(sprintf("Grupo 3 (Fármaco B): n=%.0f, Media=%.2f, Varianza=%.2f\n", n3, m3, v3))
## Grupo 3 (Fármaco B): n=5, Media=12.00, Varianza=0.50

Nota: Elegimos datos “limpios” con varianzas iguales (0.5) para facilitar la pedagogía.

Paso 1.2: Calcular la Variabilidad ENTRE Grupos (\(MS_B\) - La Señal)

\(MS_B\) mide qué tan lejos están las medias de cada grupo (m1, m2, m3) de la media global (m_global).

MSB = (Suma de Cuadrados ENTRE) / (grados de libertad ENTRE)
\(MS_B = \frac{\sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{x}_i - \bar{x})^2}{k-1}\)

1. Suma de Cuadrados ENTRE (\(SS_B\)):

\(SS_B = n_1(\bar{x}_1 - \bar{x})^2 + n_2(\bar{x}_2 - \bar{x})^2 + n_3(\bar{x}_3 - \bar{x})^2\) \(SS_B = 5 \cdot (16 - 14)^2 + 5 \cdot (14 - 14)^2 + 5 \cdot (12 - 14)^2\) \(SS_B = 5 \cdot (2)^2 + 5 \cdot (0)^2 + 5 \cdot (-2)^2\) \(SS_B = 5 \cdot 4 + 0 + 5 \cdot 4\) \(SS_B = 20 + 0 + 20 = 40\)

2. Grados de Libertad ENTRE (\(gl_B\)):

\(gl_B = k - 1 = 3 - 1 = 2\)

3. Cuadrado Medio ENTRE (\(MS_B\)):

\(MS_B = SS_B / gl_B = 40 / 2 = 20\)

Nuestra “Señal” (\(MS_B\)) es 20.

Paso 1.3: Calcular la Variabilidad DENTRO de Grupos (\(MS_W\) - El Ruido)

\(MS_W\) mide la variabilidad promedio dentro de los grupos. Es nuestra estimación del “ruido” aleatorio, o la varianza agrupada.

MSW = (Suma de Cuadrados DENTRO) / (grados de libertad DENTRO)
\(MS_W = \frac{\sum_{i=1}^{k} (n_i - 1) s_i^2}{N - k}\)

1. Suma de Cuadrados DENTRO (\(SS_W\)):

\(SS_W = (n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2 + (n_3 - 1)s_3^2\) \(SS_W = (5 - 1) \cdot 0.5 + (5 - 1) \cdot 0.5 + (5 - 1) \cdot 0.5\) \(SS_W = (4 \cdot 0.5) + (4 \cdot 0.5) + (4 \cdot 0.5)\) \(SS_W = 2 + 2 + 2 = 6\)

2. Grados de Libertad DENTRO (\(gl_W\)):

\(gl_W = N - k = 15 - 3 = 12\)

3. Cuadrado Medio DENTRO (\(MS_W\)):

\(MS_W = SS_W / gl_W = 6 / 12 = 0.5\)

Nuestro “Ruido” (\(MS_W\)) es 0.5.

Interpretación rápida: El \(MS_W\) es 0.5, que es exactamente la varianza que teníamos dentro de cada grupo. ¡Tiene sentido! Es el promedio ponderado de las varianzas internas.

Paso 1.4: Calcular el Estadístico F Observado

Ahora, comparamos la Señal con el Ruido.

Fobs = MSB / MSW

\(F_{obs} = 20 / 0.5 = 40\)

Nuestro estadístico F observado es 40.

Parte 2: El Valor Crítico y la Toma de Decisión

Nuestro \(F_{obs}\) de 40 parece grande, pero… ¿es “lo suficientemente grande” como para ser estadísticamente significativo?

Paso 2.1: Hipótesis y Nivel de Significancia

  • \(H_0\) (Hipótesis Nula): No hay diferencia between las medias de los grupos. (\(\mu_{Control} = \mu_{Fármaco A} = \mu_{Fármaco B}\))
  • \(H_A\) (Hipótesis Alternativa): Al menos una media es diferente.
  • Nivel de Significancia (\(\alpha\)): Usaremos \(\alpha = 0.05\).

Paso 2.2: Encontrar el Valor Crítico F (\(F_{crit}\))

Necesitamos encontrar el valor en la distribución F que deja un 5% del área a la derecha, usando nuestros grados de libertad:

  • Grados de libertad del Numerador (\(gl_B\), \(df1\)): 2
  • Grados de libertad del Denominador (\(gl_W\), \(df2\)): 12

Método 1: “Buscar en la Tabla” (Conceptual) Buscaríamos en una tabla F de \(\alpha=0.05\) la intersección de la columna \(df1=2\) y la fila \(df2=12\).

Método 2: Usando R (Preciso) Usamos la función qf() (Quantile Function de F).

# qf(p, df1, df2, lower.tail = FALSE)
# p = alfa, df1 = gl_B, df2 = gl_W
alfa <- 0.05
gl_B <- 2
gl_W <- 12

f_critico <- qf(alfa, gl_B, gl_W, lower.tail = FALSE)

cat(sprintf("El valor F crítico (F_crit) con (2, 12) gl y alfa=0.05 es: %.4f\n", f_critico))
## El valor F crítico (F_crit) con (2, 12) gl y alfa=0.05 es: 3.8853

Nuestro \(F_{crit}\) es 3.8853.

Paso 2.3: Comparar y Concluir

Regla de Decisión: Si \(F_{obs} > F_{crit}\), rechazamos \(H_0\).

Comparación: * \(F_{obs} = 40\) * \(F_{crit} = 3.8853\)

\(40 > 3.8853\)

Conclusión: Dado que nuestro estadístico F observado (40) es mucho mayor que el valor F crítico (3.8853), rechazamos la hipótesis nula (\(H_0\)).

Interpretación: Existe evidencia estadística significativa (con \(\alpha = 0.05\)) para concluir que hay una diferencia en el nivel de dolor promedio entre al menos dos de los grupos de tratamiento. Los tratamientos (Placebo, Fármaco A, Fármaco B) no tienen el mismo efecto.

Parte 3: El Mismo Análisis en R (La Vía Rápida)

Ahora, hagamos que R haga todo el trabajo en segundos usando aov() (Analysis of Variance).

Paso 3.1: Estructurar los Datos (Data Frame)

R funciona mejor con datos en formato “largo” (tidy format).

# 1. Crear los vectores
# (Asegúrate de haber corrido el chunk "datos_basicos" o vuelve a definirlos)
g1_control <- c(14, 15, 16, 17, 18)
g2_farm_A <- c(12, 13, 14, 15, 16)
g3_farm_B <- c(10, 11, 12, 13, 14)

puntuacion_dolor <- c(g1_control, g2_farm_A, g3_farm_B)

grupo_tratamiento <- factor(c(rep("Control", 5),
                                 rep("Farmaco_A", 5),
                                 rep("Farmaco_B", 5)))

# 2. Combinar en un Data Frame
df_anova <- data.frame(Grupo = grupo_tratamiento, 
                       Dolor = puntuacion_dolor)

# 3. Inspeccionar el data frame
cat("Data Frame para el análisis:\n")
## Data Frame para el análisis:
print(df_anova)
##        Grupo Dolor
## 1    Control    14
## 2    Control    15
## 3    Control    16
## 4    Control    17
## 5    Control    18
## 6  Farmaco_A    12
## 7  Farmaco_A    13
## 8  Farmaco_A    14
## 9  Farmaco_A    15
## 10 Farmaco_A    16
## 11 Farmaco_B    10
## 12 Farmaco_B    11
## 13 Farmaco_B    12
## 14 Farmaco_B    13
## 15 Farmaco_B    14

Paso 3.2: Visualizar los Datos

Un boxplot (diagrama de cajas) es la mejor forma de ver los datos de un ANOVA.

boxplot(Dolor ~ Grupo, data = df_anova,
        main = "Nivel de Dolor por Grupo de Tratamiento",
        xlab = "Grupo",
        ylab = "Puntuación de Dolor (0-20)",
        col = c("salmon", "lightblue", "lightgreen"))

Visualmente, las medias (líneas gruesas) se ven muy diferentes, y las cajas (dispersión interna) son pequeñas. Esto predice un F grande.

Paso 3.4: Interpretación de la Tabla de R

Observemos la tabla generada por summary(modelo_anova_r):

Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
Grupo 2 40 20 40 4.97e-07 ***
Residuals 12 6 0.5

¡Comparemos con nuestros cálculos manuales!

  • Fila “Grupo” (Entre / \(MS_B\)):
    • Df (gl): 2 (¡Correcto!)
    • Sum Sq (\(SS_B\)): 40 (¡Correcto!)
    • Mean Sq (\(MS_B\)): 20 (¡Correcto!)
  • Fila “Residuals” (Dentro / \(MS_W\)):
    • Df (gl): 12 (¡Correcto!)
    • Sum Sq (\(SS_W\)): 6 (¡Correcto!)
    • Mean Sq (\(MS_W\)): 0.5 (¡Correcto!)
  • Estadístico F:
    • F value (\(F_{obs}\)): 40 (¡Correcto!)

R nos da un valor extra: Pr(>F) o valor p.

  • Valor p: 4.97e-07 (o 0.000000497). Este valor es mucho menor que nuestro \(\alpha\) de 0.05.
  • Esto confirma nuestra decisión de rechazar \(H_0\) y es la forma moderna de tomar la decisión, sin necesidad del \(F_{crit}\).

Resumen y Puntos Clave

# Pregunta de Comprobación

(Diseñada según los criterios de alta calidad)

Objetivo evaluado: Interpretación conceptual del Estadístico F.

Enunciado: Un investigador realiza un ANOVA para comparar 4 dietas (k=4) y obtiene un Estadístico F = 0.90. Asumiendo que sus cálculos son correctos, ¿cuál es la interpretación conceptual más precisa de este resultado?

A) La variabilidad explicada por las diferencias entre las dietas (la “Señal”) es menor que la variabilidad aleatoria dentro de cada dieta (el “Ruido”). B) Hay una diferencia estadísticamente significativa entre las 4 dietas, ya que F está cerca de 1. C) El investigador cometió un error, ya que el estadístico F no puede ser menor que 1. D) La varianza promedio dentro de los grupos (\(MS_W\)) es 0.90.

. . . Respuesta Correcta: A Justificación: El estadístico \(F = MS_B / MS_W\). Para que F sea menor que 1 (como 0.90), el denominador (\(MS_W\), Ruido) debe ser más grande que el numerador (\(MS_B\), Señal). Esto significa que hay más “ruido” aleatorio que “señal” (diferencias entre grupos). Distractores: B) Es incorrecto; un F cercano o menor a 1 casi nunca es significativo (implica \(H_0\) es verdadera). C) Es un error común; F puede ser menor que 1 si el ruido es mayor que la señal. D) Es incorrecto; 0.90 es el ratio* F, no el \(MS_W\).