Laboratorio 2
Melisa Quintero, Arisleidy Guarin
2025-11-01
Resumen
El presente trabajo desarrolla un ejercicio de cobertura de inversión para un portafolio compuesto por tres acciones —Apple (AAPL), Johnson & Johnson (JNJ) y ExxonMobil (XOM)— con una inversión total de 10 millones de dólares. Se aplica la metodología de valoración binomial para estimar los precios de opciones europeas y americanas, junto con simulaciones de precios bajo un movimiento browniano geométrico (MGB).
El portafolio asigna un 85 % de los recursos a derivados financieros (opciones) y un 15 % a instrumentos del Tesoro, considerando una tasa libre de riesgo del 4.11 %. Los resultados muestran que la diversificación sectorial y el uso de derivados permiten reducir el riesgo global y estabilizar los retornos a lo largo del horizonte de inversión.
Introducción
El uso de derivados financieros, como las opciones, es fundamental en la gestión moderna de riesgos. A través del modelo binomial, se puede estimar el valor justo de una opción considerando distintos escenarios de precios y la probabilidad de ocurrencia de cada uno.
En este trabajo se diseña un portafolio diversificado con acciones de tres sectores —tecnología (AAPL), salud (JNJ) y energía (XOM)— y se implementa una estrategia de cobertura mixta: 85 % en opciones y 15 % en efectivo o bonos del Tesoro.
El objetivo es mitigar la exposición ante fluctuaciones del mercado y evaluar la efectividad de la cobertura mediante opciones europeas y americanas a dos años, con un horizonte de inversión total de 10 años.
Parámetros iniciales
Capital inicial: USD 10,000,000
Tasa del bono del Tesoro a 10 años: 4.11 % anual del 31 de octubre del 2025.
Composición: 85 % en opciones y 15 % en efectivo/bonos del Tesoro
Acciones seleccionadas: AAPL, JNJ y XOM
Horizonte de simulación: 10 años (40 trimestres)
Plazo máximo de las opciones: 2 años, con liquidación trimestral
## [1] "Tasa Bono 10y usada: 4.11 %"## [1] "Tickers: AAPL, JNJ, XOM"## [1] "Fecha inicio: 2023-10-01"## [1] "Fecha fin: 2025-11-04"## [1] "Inversión total (USD): 1e+07"## [1] "AAPL" "JNJ" "XOM"## [1] "=== Primeras filas de precios históricos ==="| Fecha | AAPL | JNJ | XOM |
|---|---|---|---|
| 2023-10-02 | 173.75 | 155.15 | 115.63 |
| 2023-10-03 | 172.40 | 155.34 | 115.83 |
| 2023-10-04 | 173.66 | 155.52 | 111.50 |
| 2023-10-05 | 174.91 | 157.14 | 108.99 |
| 2023-10-06 | 177.49 | 157.64 | 107.17 |
| 2023-10-09 | 178.99 | 158.54 | 110.92 |
| 2023-10-10 | 178.39 | 158.36 | 110.45 |
| 2023-10-11 | 179.80 | 156.18 | 106.49 |
| 2023-10-12 | 180.71 | 156.33 | 106.47 |
| 2023-10-13 | 178.85 | 156.85 | 109.87 |
Se descargan precios históricos diarios de Yahoo Finance para las 3 acciones, del periodo comprendido entre 01-10-2023 hasta la fecha.
Rendimientos y Matriz de Covarianza
## [1] "=== Rendimiento promedio por acción ==="| x | |
|---|---|
| AAPL | 0.000835 |
| JNJ | 0.000349 |
| XOM | -0.000031 |
## [1] "=== Matriz de covarianza de los rendimientos ==="| AAPL | JNJ | XOM | |
|---|---|---|---|
| AAPL | 0.000299 | 0.000007 | 0.000050 |
| JNJ | 0.000007 | 0.000119 | 0.000028 |
| XOM | 0.000050 | 0.000028 | 0.000192 |
Al realizar el análisis de la varianza de cada acción se puede identificar que para AAPL con 0.000299 se tiene una volatilidad trimestral de 0.0173, JNJ con 0.000119 volatilidad trimestral de 0.0109 y XOM con 0.000193 volatilidad trimestral de 0.0139, esto nos indica que JNJ es la acción menos volátil, y se podría decir, que las tres acciones no se mueven igual y esto es normal por ser un portafolio diversificado.
Se realza el análisis de los retornos y AAPL tiene el mayor retorno promedio trimestral (0.0845%), seguida de JNJ (0.0376%), pero XOM muestra un retorno ligeramente negativo (-0.0021%), lo que indica que en el periodo analizado su precio no ha tenido un crecimiento promedio.
Portafolio Media-Varianza
## [1] "=== Portafolio Óptimo Media-Varianza ==="| Accion | Ponderacion | Inversion_USD | |
|---|---|---|---|
| AAPL | AAPL | 0.6355 | 6355011 |
| JNJ | JNJ | 0.6620 | 6619774 |
| XOM | XOM | -0.2975 | -2974785 |
Esta tabla de media – varianza nos representa la estructura optima de inversión de portafolio indicándonos que AAPL (Apple), con una ponderación del 60.56% el modelo recomienda destinar la mayor parte del portafolio a este activo. Ya que como se pudo observar anteriormente su retorno esperado es de (0.0845%) es el más alto, aunque con riesgo relativamente mayor. Apple impulsa el rendimiento total del portafolio.JNJ (Johnson & Johnson) con una Ponderación 67.25% sorprendentemente alta, esto ocurre porque JNJ tiene baja volatilidad (varianza 0.000119) y una correlación muy baja con AAPL, lo que la hace excelente para diversificación, aunque su rendimiento esperado es menor, el efecto de riesgo combinado con AAPL la vuelve muy eficiente. Y finalmente XOM (ExxonMobil) con una Ponderación del -27.81% el modelo sugiere vender en corto este activo., lo que significa: pedir prestadas acciones de XOM, venderlas hoy y recomprarlas en el futuro esperando una caída de precio ya que XOM no aporta rentabilidad (tiene rendimiento esperado negativo) y aumenta el riesgo, por lo que el modelo lo usa como instrumento de cobertura (reduce la varianza total del portafolio).
Parametros
## Número de años: 10## Número de pasos trimestrales: 40## Tamaño del paso (dt): 0.25## Últimos precios de las acciones (S0):## [1] 269.05 186.26 113.76## Volatilidad anualizada por acción (sigma):## AAPL JNJ XOM
## 0.0346 0.0218 0.0277Simulación MGB
## === Primeras filas de simulación MGB ===| Trimestre | Simulacion | Accion | Precio |
|---|---|---|---|
| 0 | Sim_1 | AAPL | 269.0500 |
| 0 | Sim_1 | JNJ | 186.2600 |
| 0 | Sim_1 | XOM | 113.7600 |
| 1 | Sim_1 | AAPL | 265.5497 |
| 1 | Sim_1 | JNJ | 189.4538 |
| 1 | Sim_1 | XOM | 116.2073 |
| 2 | Sim_1 | AAPL | 261.8896 |
| 2 | Sim_1 | JNJ | 189.9126 |
| 2 | Sim_1 | XOM | 116.8698 |
| 3 | Sim_1 | AAPL | 267.7317 |
| 3 | Sim_1 | JNJ | 192.3880 |
| 3 | Sim_1 | XOM | 119.7263 |
##
## === Gráfico Simulación MGB por acción ===
Gráfico 1 Simulación MGB de 3 Acciones
Muestra cómo cada acción evoluciona de forma independiente bajo tres escenarios posibles, ideal para comparar volatilidad individual y tendencia de crecimiento. AAPL parece más volátil, JNJ más estable, y XOM con comportamiento intermedio
Gráfico 2 Simulación MGB de 3 Acciones - Unificado
Con esta grafica se compara directamente los precios simulados entre acciones, muestra que AAPL tiene precios esperados más altos, posiblemente por un valor inicial o tasa de crecimiento mayor, las líneas paralelas entre simulaciones indican que las tres simulaciones son consistentes en tendencia, con variabilidad moderada.
Portafolio Trimestral y Riesgo
El Sharpe de 0.9090 indica un desempeño moderado-bueno, con rentabilidad razonable para el nivel de riesgo. El portafolio tiene buen equilibrio entre riesgo y retorno.
Las pérdidas potenciales (VaR) son pequeñas en comparación con los retornos promedio, esto sugiere una buena diversificación o un conjunto de activos con correlaciones bajas.
## [1] "=== Métricas del Portafolio ==="| Métrica | Valor | |
|---|---|---|
| Sharpe | 0.8878 | |
| 1% | VaR 1% | -0.0186 |
| 5% | VaR 5% | -0.0090 |
#Análisis del Árbol Binomial del Portafolio
El árbol binomial del portafolio permite representar de manera discreta la evolución esperada del valor del portafolio a lo largo del tiempo, considerando la volatilidad y la tasa libre de riesgo como determinantes del comportamiento futuro. En este caso, se construyó un árbol de ocho pasos trimestrales (equivalentes a dos años), con un intervalo temporal de 0,25 años por paso, a partir de un precio inicial de USD 258,94.
En cada nodo del árbol se muestra un valor posible del portafolio según los movimientos al alza (u) y a la baja (d) definidos por la volatilidad estimada a partir de los retornos simulados. el rango de precios posibles se amplía progresivamente con el paso del tiempo.
El árbol muestra que, aunque los valores extremos se separan cada vez más (Precio Max = 272,89 USD y Precio Mín. = 245,71 USD al paso 8), el precio promedio se mantiene prácticamente constante alrededor de los 259 USD. Esto es coherente con un modelo ajustado al riesgo neutral, el precio del portafolio crece al ritmo del rendimiento libre de riesgo (tasa del Tesoro) y no presenta sesgos alcistas ni bajistas, el modelo refleja un portafolio con riesgo moderado, donde la dispersión de precios aumenta gradualmente pero el valor esperado se mantiene estable, lo que sugiere una estructura equilibrada entre rentabilidad y riesgo.
El árbol binomial confirma los resultados obtenidos en la simulación MGB y en las métricas de riesgo (Sharpe y VaR), evidenciando que el portafolio presenta un comportamiento estable con volatilidad controlada, adecuado para decisiones de inversión con horizonte de mediano plazo.
##
## === Resumen Árbol Binomial del Portafolio ===| Paso | Precio_Max | Precio_Min | Precio_Prom |
|---|---|---|---|
| 0 | 260.4403 | 260.4403 | 260.4403 |
| 1 | 262.1951 | 258.6973 | 260.4462 |
| 2 | 263.9617 | 256.9659 | 260.4560 |
| 3 | 265.7403 | 255.2461 | 260.4697 |
| 4 | 267.5308 | 253.5378 | 260.4873 |
| 5 | 269.3334 | 251.8409 | 260.5088 |
| 6 | 271.1481 | 250.1554 | 260.5343 |
| 7 | 272.9750 | 248.4812 | 260.5636 |
| 8 | 274.8143 | 246.8182 | 260.5969 |
##
## Valor de cada paso (dt en años): 0.25##
## === Primeras filas del Árbol Binomial completo ===| Paso | Nivel | Precio |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 260.4403 |
| 1 | 0 | 262.1951 |
| 1 | 1 | 258.6973 |
| 2 | 0 | 263.9617 |
| 2 | 1 | 260.4403 |
| 2 | 2 | 256.9659 |
| 3 | 0 | 265.7403 |
| 3 | 1 | 262.1951 |
| 3 | 2 | 258.6973 |
| 3 | 3 | 255.2461 |
| 4 | 0 | 267.5308 |
| 4 | 1 | 263.9617 |
# Árboles Binomiales por Acción con precios en cada nodo
##
## === Árbol Binomial Completo - AAPL ===
## Total nodos: 45
##
## === Árbol Binomial Completo - JNJ ===
## Total nodos: 45
##
## === Árbol Binomial Completo - XOM ===
## Total nodos: 45Valuación Opciones y Cobertura - Ajuste efectivo real
Se estimó el valor teórico de opciones Call y Put europeas y americanas para las tres acciones del portafolio: Apple (AAPL), Johnson & Johnson (JNJ) y ExxonMobil (XOM).
El tiempo considerado fue de 2 años (8 pasos trimestrales), con una tasa libre de riesgo (bono del Tesoro) del 4.1 % anual, y las volatilidades obtenidas a partir de las simulaciones del portafolio.
Las opciones americanas Call presentan valores superiores a las europeas, como en AAPL (1.1890 vs. 0.1195), lo que permiten ejercer la opción en cualquier momento antes del vencimiento, En las opciones Put, los valores son iguales en ambas versiones,indicando que no hay incentivo para ejercer antes del vencimiento, algo coherente con tasas bajas y estabilidad del mercado.
## [1] "=== Valuación Opciones Europeas y Americanas ==="| Accion | Call_EU | Put_EU | Call_AM | Put_AM | |
|---|---|---|---|---|---|
| AAPL | AAPL | 0.1162420 | 19.315581 | 1.1753497 | 19.315581 |
| JNJ | JNJ | 0.0000045 | 13.521031 | 0.0616758 | 13.521031 |
| XOM | XOM | 0.0048722 | 8.205871 | 0.2356332 | 8.205871 |
## [1] "=== Distribución del 85% Invertido en Opciones ==="| Accion | Peso | Inversion_Opciones |
|---|---|---|
| AAPL | 0.6355 | 5401750 |
| JNJ | 0.6620 | 5627000 |
| XOM | -0.2975 | -2528750 |
Los valores de Put son mucho mayores que los de Call, lo que evidencia una expectativa bajista o de alta aversión al riesgo en las simulaciones del modelo binomial.
Los inversores estarían pagando más por protección ante caídas (puts) que por beneficios de subidas (calls).
AAPL (Apple) su opción americana tiene el valor más alto, lo que significa que su precio se mueve mucho (es volátil) y hay más posibilidades de ganar si la acción sube, JNJ (Johnson & Johnson), sus opciones casi no valen, porque es una acción muy estable, con pocos cambios de precio; es una empresa más “segura” y predecible, XOM (ExxonMobil), está en un punto medio; su valor refleja que el precio del petróleo (que influye en la empresa) puede subir o bajar bastante, lo que genera riesgo, pero también oportunidades
Simulación Cobertura Trimestral y Apalancamiento.
El portafolio está largamente posicionado en AAPL y JNJ, y corto en XOM, reflejando una estrategia de cobertura sectorial, las ganancias en energía (XOM) amortiguan pérdidas potenciales en tecnología o salud. El peso negativo de XOM (–27.81 %) reduce la exposición total al riesgo del mercado, equilibrando los movimientos adversos del resto del portafolio.
El 85 % invertido en opciones está apalancado con la tasa del Tesoro (4.11 %), lo que permite maximizar cobertura sin usar todo el capital líquido, este apalancamiento introduce rendimientos potenciales mayores, pero de forma controlada, ya que el 15 % en bonos mantiene flujo de caja estable y bajo riesgo.
Los intereses acumulados crecen de 15,375 USD en el primer trimestre a 127,504 USD al final del segundo año, generando un rendimiento estable de liquidez.
Este componente sirve como respaldo operativo para cubrir posibles márgenes o pérdidas temporales en el mercado de derivados.
| Trimestre | Interes_Acumulado |
|---|---|
| 1 | 15412.50 |
| 2 | 30983.36 |
| 3 | 46714.22 |
| 4 | 62606.71 |
| 5 | 78662.49 |
| 6 | 94883.25 |
| 7 | 111270.67 |
| 8 | 127826.48 |
| Accion | Peso | Inversion_Opciones | Tipo |
|---|---|---|---|
| AAPL | 0.6355 | 5401750 | Call |
| JNJ | 0.6620 | 5627000 | Put |
| XOM | -0.2975 | -2528750 | Call |
## [1] 1La combinación de derivados (opciones) y renta fija (bonos) logra una cobertura integral cercana al 100 % del capital, garantizando que la exposición a riesgo sistemático quede parcialmente neutralizada durante los 2 años de inversión activa.
Metodología
El análisis se desarrolló en RStudio, aplicando técnicas cuantitativas y modelos financieros clásicos. El flujo de trabajo se organizó en once bloques principales:
Bloques 1–3: Recolección de datos históricos y simulación de precios mediante el Movimiento Browniano Geométrico (MGB), lo que permite proyectar escenarios de evolución de precios para cada acción.
Bloques 4–5: Construcción del portafolio eficiente usando la teoría de media-varianza de Markowitz, calculando indicadores como volatilidad, índice de Sharpe y valor en riesgo (VaR).
Bloques 6–8: Generación de árboles binomiales de precios para cada activo, que muestran los posibles valores futuros en distintos trimestres, según su volatilidad.
Bloque 9: Representación gráfica de los árboles binomiales para visualizar la amplitud de precios y la dispersión temporal.
Bloque 10: Valuación de opciones europeas y americanas (Call y Put) para cada acción mediante el modelo binomial.
Se observa que las opciones americanas presentan valores mayores que las europeas, ya que ofrecen la posibilidad de ejercer la opción antes del vencimiento.
AAPL muestra las primas más altas, reflejando su alta volatilidad; JNJ presenta valores bajos por su carácter defensivo, mientras que XOM ocupa una posición intermedia, influenciada por el comportamiento del petróleo.
Bloque 11: Diseño de la estrategia de cobertura y apalancamiento.
El 15 % del portafolio se mantiene en efectivo, generando flujos de intereses trimestrales estables, mientras que el 85 % restante se invierte en opciones de los tres activos.
El portafolio queda largo en AAPL y JNJ y corto en XOM, lo cual crea una cobertura sectorial: si suben los precios de energía, se compensa parcialmente con caídas en los sectores de tecnología o salud.
Esto reduce la exposición total al riesgo y estabiliza los rendimientos.
Conclusiones
El ejercicio demuestra que la cobertura mediante opciones y diversificación sectorial es una herramienta eficaz para mitigar riesgos.
Los principales hallazgos son:
Las opciones americanas presentan mayor valor por su flexibilidad de ejercicio.
La diversificación en tres sectores (tecnología, salud y energía) reduce la exposición a un solo tipo de riesgo.
El apalancamiento del 85 % con la tasa del Tesoro equilibra el crecimiento del portafolio con una rentabilidad estable.
La posición corta en XOM actúa como mecanismo de compensación ante movimientos de mercado desfavorables.
En conjunto, la estrategia logra un portafolio sólido y coherente con los principios de gestión moderna del riesgo.
Referencias
U.S. Department of the Treasury. (2024). Daily Treasury Yield Curve Rates. U.S. Department of the Treasury. https://home.treasury.gov/Yahoo Finance. (2025). U.S. Treasury yields historical data [Conjunto de datos]. Yahoo! Inc. https://finance.yahoo.com