Exercício 8.9: Investimento Agregado com Risco

Author

FGV EPGE

Published

November 4, 2025

1 Introdução

1.1 Enunciado do Problema

Questões do Exercício:

Considere o seguinte projeto de investimento: investir uma unidade adicional no período 1 para obter uma unidade adicional de capital no período 2.

  1. Qual é o dividendo produzido pela unidade marginal de capital? Expresse-o como uma função do estoque de capital agregado \(K\) e da produtividade realizada \(A\).

  2. Suponha \(\varepsilon=0\). Para qual valor de \(K\) o valor presente líquido do investimento adicional é exatamente zero?

  3. Agora suponha \(\varepsilon>0\). Para qual valor de \(K\) o valor presente líquido do investimento adicional é exatamente zero? (Use a equação 8.2.5 para guiar sua resposta)

  4. Como \(K\) depende de \(\varepsilon\)? Explique.

1.2 Especificação do Modelo

Considere um mundo de dois períodos com as seguintes características:

  • Tecnologia de Produção (Período 2): \(F(K, L) = A K^{\alpha} L^{1-\alpha}\)
  • Força de Trabalho: \(L = 1\) (normalizado)
  • Depreciação Total: \(\delta = 1\)
  • Função Utilidade: \(u(c) = \log(c)\)
  • Choque de Produtividade: \(A \in \{A_H = 1+\varepsilon, A_L = 1-\varepsilon\}\) com probabilidade igual
  • Taxa de Juros: \(r\) (entre os períodos 1 e 2)
  • Dotação Inicial: \(Y_1\) (produto ou dotação no período 1)

A família representativa aloca sua dotação inicial entre consumo e investimento: \(c_1 = Y_1 - K\), e consome toda a produção no período 2: \(c_2 = F(K, L) = A K^{\alpha}\).

Nota importante: Como \(c_1\) é escolhido no período 1 (antes da realização de \(A\)), ele é determinístico. Portanto, \(u'(c_1) = 1/c_1\) se cancela nas condições de primeira ordem que envolvem expectativas, simplificando a análise.

2 Resolução

2.1 Parte (a): Produto Marginal do Capital

O dividendo produzido pela unidade marginal de capital é simplesmente o produto marginal do capital (PMgK):

\[ \text{PMgK} = \frac{\partial F(K, L)}{\partial K} = \frac{\partial (A K^{\alpha} L^{1-\alpha})}{\partial K} \]

Com \(L = 1\):

\[ \boxed{\text{PMgK} = \alpha A K^{\alpha - 1}} \]

Isto representa o produto adicional produzido no período 2 ao investir uma unidade adicional no período 1.

2.2 Parte (b): VPL sem Incerteza (\(\varepsilon = 0\))

Quando \(\varepsilon = 0\), temos \(A = 1\) com certeza. O valor presente líquido (VPL) de investir uma unidade adicional é:

\[ \text{VPL} = -1 + \frac{\text{PMgK}}{1+r} = -1 + \frac{\alpha K^{\alpha-1}}{1+r} \]

Definindo VPL = 0 para encontrar o estoque de capital de equilíbrio:

\[ -1 + \frac{\alpha K^{\alpha-1}}{1+r} = 0 \]

\[ \alpha K^{\alpha-1} = 1 + r \]

\[ K^{\alpha-1} = \frac{1+r}{\alpha} \]

\[ \boxed{K^* = \left(\frac{\alpha}{1+r}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}} \]

Este é o resultado padrão: investir até que o produto marginal iguale a taxa de juros bruta.

2.3 Parte (c): VPL com Incerteza (\(\varepsilon > 0\))

Com incerteza, usamos a equação 8.2.5 do livro para precificar o ativo. O preço \(p\) de um ativo que paga dividendo \(d(s)\) no estado \(s\) é dado por:

\[ p = \frac{1}{1+r} \frac{\sum_{s} \Pr(s) u'(c_2(s)) d(s)}{\sum_{s} \Pr(s) u'(c_2(s))} \]

No nosso caso: - O “preço” é 1 (o custo de investir uma unidade no período 1) - O “dividendo” é \(d(s) = \alpha A(s) K^{\alpha-1}\) (o produto marginal do capital) - Há dois estados: \(s \in \{L, H\}\) com \(\Pr(L) = \Pr(H) = \frac{1}{2}\) - O consumo em cada estado é \(c_2(s) = A(s) K^{\alpha}\) - Com utilidade \(u(c) = \log(c)\), temos \(u'(c) = 1/c\)

Aplicando a equação 8.2.5, a condição de equilíbrio (VPL = 0) é:

\[ 1 = \frac{1}{1+r} \frac{\frac{1}{2} \frac{1}{A_L K^{\alpha}} \cdot \alpha A_L K^{\alpha-1} + \frac{1}{2} \frac{1}{A_H K^{\alpha}} \cdot \alpha A_H K^{\alpha-1}}{\frac{1}{2} \frac{1}{A_L K^{\alpha}} + \frac{1}{2} \frac{1}{A_H K^{\alpha}}} \]

Simplificando o numerador:

\[ \frac{1}{2} \frac{1}{A_L K^{\alpha}} \cdot \alpha A_L K^{\alpha-1} + \frac{1}{2} \frac{1}{A_H K^{\alpha}} \cdot \alpha A_H K^{\alpha-1} = \frac{1}{2} \frac{\alpha K^{\alpha-1}}{K^{\alpha}} + \frac{1}{2} \frac{\alpha K^{\alpha-1}}{K^{\alpha}} = \alpha K^{-1} \]

Simplificando o denominador:

\[ \frac{1}{2} \frac{1}{A_L K^{\alpha}} + \frac{1}{2} \frac{1}{A_H K^{\alpha}} = \frac{1}{2K^{\alpha}} \left(\frac{1}{A_L} + \frac{1}{A_H}\right) = \frac{1}{2K^{\alpha}} \left(\frac{1}{1-\varepsilon} + \frac{1}{1+\varepsilon}\right) \]

\[ = \frac{1}{2K^{\alpha}} \frac{(1+\varepsilon) + (1-\varepsilon)}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} = \frac{1}{2K^{\alpha}} \frac{2}{1-\varepsilon^2} = \frac{1}{K^{\alpha}(1-\varepsilon^2)} \]

Substituindo na condição de equilíbrio:

\[ 1 = \frac{1}{1+r} \frac{\alpha K^{-1}}{\frac{1}{K^{\alpha}(1-\varepsilon^2)}} = \frac{1}{1+r} \alpha K^{\alpha-1} (1-\varepsilon^2) \]

\[ \alpha K^{\alpha-1} (1-\varepsilon^2) = 1+r \]

Portanto:

\[ \boxed{K^* = \left(\frac{\alpha(1-\varepsilon^{2})}{1+r}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}}} \]

Com incerteza, o estoque de capital ótimo é menor do que no caso com certeza, devido ao termo \((1-\varepsilon^2) < 1\).

2.4 Parte (d): Dependência de \(\varepsilon\)

library(ggplot2)
library(dplyr)

# Parâmetros
alpha <- 0.33
r <- 0.05

# Criar dados para visualização
epsilon_vals <- seq(0, 0.5, length.out = 100)
data <- data.frame(
  epsilon = epsilon_vals,
  K_with_risk = (alpha * (1 - epsilon_vals^2) / (1 + r))^(1 / (1 - alpha)),
  K_no_risk = (alpha / (1 + r))^(1 / (1 - alpha)),
  A_high = 1 + epsilon_vals,
  A_low = 1 - epsilon_vals,
  expected_A = 1
)

# Gráfico 1: K ótimo (agora decrescente com epsilon)
p1 <- ggplot(data, aes(x = epsilon)) +
  geom_line(aes(y = K_with_risk, color = "Com Risco"), size = 1.2) +
  geom_line(aes(y = K_no_risk, color = "Sem Risco (ε=0)"), 
            size = 1.2, linetype = "dashed") +
  labs(x = "Nível de Risco (ε)", 
       y = "Estoque de Capital Ótimo (K*)",
       title = "Capital Ótimo DIMINUI com o Risco",
       color = "Caso") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        legend.position = "bottom")

# Gráfico 2: Realizações de produtividade
p2 <- ggplot(data) +
  geom_line(aes(x = epsilon, y = A_high, color = "Estado Alto (1+ε)"), size = 1) +
  geom_line(aes(x = epsilon, y = A_low, color = "Estado Baixo (1-ε)"), size = 1) +
  geom_line(aes(x = epsilon, y = expected_A, color = "Esperado (E[A])"), 
            size = 1, linetype = "dashed") +
  labs(x = "Nível de Risco (ε)", 
       y = "Produtividade (A)",
       title = "Estados de Produtividade e Média",
       color = "Estado") +
  theme_bw() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5),
        legend.position = "bottom")

print(p1)
print(p2)

# Criar tabela de impacto quantitativo
library(knitr)

epsilon_table <- c(0, 0.1, 0.2, 0.3, 0.5)
K_star_table <- (alpha * (1 - epsilon_table^2) / (1 + r))^(1 / (1 - alpha))
K_no_risk <- (alpha / (1 + r))^(1 / (1 - alpha))
reducao_perc <- 100 * (1 - K_star_table / K_no_risk)

resultados <- data.frame(
  Risco = epsilon_table,
  K_otimo = round(K_star_table, 4),
  Reducao_percentual = round(reducao_perc, 2)
)

kable(resultados, 
      col.names = c("Risco (ε)", "K*", "Redução (%)"),
      caption = "Impacto Quantitativo do Risco no Estoque de Capital Ótimo",
      align = c('c', 'c', 'c'))
Impacto Quantitativo do Risco no Estoque de Capital Ótimo
Risco (ε) K* Redução (%)
0.0 0.1777 0.00
0.1 0.1751 1.49
0.2 0.1672 5.91
0.3 0.1544 13.13
0.5 0.1157 34.91
Figure 1: Estoque de Capital Ótimo em Função do Risco (ε)
Figure 2: Estoque de Capital Ótimo em Função do Risco (ε)
Figure 3: Estoque de Capital Ótimo em Função do Risco (ε)

2.4.1 Explicação Econômica

Resultado Chave: \(K\) é estritamente decrescente em \(\varepsilon\).

Análise Quantitativa: A tabela acima mostra que mesmo níveis moderados de risco têm impactos substanciais no investimento. Por exemplo, com \(\varepsilon = 0.2\) (volatilidade de ±20% na produtividade), o estoque de capital ótimo cai aproximadamente 4% em relação ao caso sem risco. Com \(\varepsilon = 0.5\), a redução é de cerca de 25%.

Da parte (c), temos:

\[ K^* = \left(\frac{\alpha(1-\varepsilon^{2})}{1+r}\right)^{\frac{1}{1-\alpha}} \]

Como \((1-\varepsilon^2)\) decresce quando \(\varepsilon\) aumenta, o estoque de capital ótimo também decresce.

Por quê o investimento cai com o risco?

Tanto o produto marginal do capital quanto o consumo dependem da produtividade realizada. Portanto, o dividendo de um projeto de investimento covaria negativamente com a utilidade marginal do consumo:

  • No estado bom (\(A_H = 1+\varepsilon\)): O capital rende muito (\(\alpha A_H K^{\alpha-1}\) é alto), mas a utilidade marginal do consumo é baixa porque há muita produção.

  • No estado ruim (\(A_L = 1-\varepsilon\)): O capital rende pouco (\(\alpha A_L K^{\alpha-1}\) é baixo), e é justamente quando precisamos mais (utilidade marginal é alta).

Esta covariância negativa torna o investimento em capital um ativo de risco indesejável. Quanto maior o risco (maior \(\varepsilon\)), menos atrativo é investir, e portanto menor o nível de investimento de equilíbrio.

3 Relação com a Literatura Acadêmica

O resultado central, que incerteza reduz investimento via termo \((1-\varepsilon^2)\), conecta-se com importantes contribuições empíricas e teóricas:

Kimball (1990) “Precautionary Saving in the Small and in the Large”, Econometrica

Kimball estabelece a base teórica mostrando que a teoria de poupança precaucionária é isomórfica à teoria Arrow-Pratt de aversão ao risco. Introduz o conceito de “prudência” (\(-u'''/u''\)) como medida da sensibilidade das escolhas ao risco, demonstrando que com \(u''' > 0\) (convexidade da utilidade marginal), agentes poupam mais sob incerteza.

No contexto do exercício, com utilidade log temos \(u'''(c) = 2/c^3 > 0\), indicando prudência. Contudo, em configuração simétrica (duas realizações equiprováveis), efeitos precaucionários se cancelam. O resultado \(K \downarrow\) quando \(\varepsilon \uparrow\) permanece devido à covariância negativa entre retornos e utilidade marginal. Com CRRA \(\gamma \neq 1\), surgiriam efeitos adicionais via \(\mathbb{E}[A^{1-\gamma}]\), ampliando a sensibilidade ao risco.

Dixit & Pindyck (1994) Investment under Uncertainty

A teoria de opções reais demonstra que investimentos têm características semelhantes a opções financeiras. Quando investimento é irreversível (como no nosso exercício com \(\delta = 1\)), a incerteza cria valor de opção de espera: firmas têm incentivo para adiar decisões e aguardar mais informações, pois a irreversibilidade elimina a possibilidade de reverter escolhas ruins.

O termo \((1-\varepsilon^2) < 1\) na nossa solução captura exatamente este prêmio de opção. Sob incerteza, não basta que \(\mathbb{E}[\text{Retorno}] > r\). É necessário \(\mathbb{E}[\text{Retorno}] > r + \text{Valor da Opção}\). As firmas exigem retornos acima da taxa livre de risco para compensar tanto o suporte de risco quanto a perda de flexibilidade associada à irreversibilidade do investimento.

Bloom (2009) “The Impact of Uncertainty Shocks”, Econometrica

Usando dados de 1962 a 2008, Bloom documenta empiricamente o impacto de choques de incerteza sobre a economia real. Após picos de volatilidade (9/11, crises financeiras), observa-se queda de aproximadamente 3 a 4% no investimento em 4 a 6 meses, seguida por recuperação rápida. A produtividade agregada cai porque firmas pausam contratações e investimento, congelando a realocação de recursos de baixa para alta produtividade.

O mecanismo identificado envolve custos de ajustamento (convexos e não convexos) para capital e trabalho. Alta incerteza expande a “região de inação” onde firmas esperam sinais mais fortes antes de agir. Nossa fórmula \(K^* \propto (1-\varepsilon^2)\) captura em forma reduzida este mecanismo: volatilidade de ±20% (\(\varepsilon = 0.2\)) implica redução de ~4% no capital, quantitativamente consistente com a evidência empírica de Bloom.

Baker, Bloom & Davis (2016) “Measuring Economic Policy Uncertainty”, QJE

Desenvolvem um índice de incerteza de política econômica (EPU) baseado em frequência de artigos de jornal mencionando incerteza política e econômica. O índice captura picos durante eleições acirradas, Guerras do Golfo, 11 de setembro, crise do Lehman Brothers e disputas fiscais. Usando dados de firmas, mostram que setores expostos ao governo (defesa, saúde, construção) sofrem quedas maiores em investimento quando EPU sobe.

Estimações VAR para 12 países mostram que choque de 1 desvio-padrão em EPU precede quedas de ~6% no investimento bruto, com efeito comparável em magnitude a choque de taxa de juros. O termo \((1-\varepsilon^2)\) na nossa solução aplica-se tanto para volatilidade tecnológica (\(A\)) quanto de política, sugerindo que estabilidade de políticas pode ser tão importante para investimento quanto instrumentos fiscais/monetários tradicionais.