中級統計学：復習テスト11
すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト9〜13を順に重ねて左上でホチキス止めし，第2回中間試験実施日（11月14日の予定）に提出すること．
- (X,Y) を確率ベクトルとする．以下の公式を示しなさい．
\operatorname{E}(aX+bY)=a\operatorname{E}(X)+b\operatorname{E}(Y)
\operatorname{var}(aX+bY)=a^2\operatorname{var}(X)+2ab\operatorname{cov}(X,Y)+b^2\operatorname{var}(Y)
\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)
- (X,Y) が連続なら
\begin{align*} \operatorname{E}(aX+bY) & :=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} (ax+by)f_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} (axf_{X,Y}(x,y)+byf_{X,Y}(x,y))\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}axf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y +\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}byf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =a\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y +b\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}yf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =a\operatorname{E}(X)+b\operatorname{E}(Y) \end{align*} 離散の場合も同様．
- 前問の結果（期待値の線形性）より
\begin{align*} \operatorname{var}(aX+bY) & :=\operatorname{E}\left((aX+bY-\operatorname{E}(aX+bY))^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left([aX+bY-(a\operatorname{E}(X)+b\operatorname{E}(Y))]^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left((aX-a\operatorname{E}(X)+bY-b\operatorname{E}(Y))^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left([a(X-\operatorname{E}(X))+b(Y-\operatorname{E}(Y))]^2\right) \\ & =\operatorname{E}\left(a^2(X-\operatorname{E}(X))^2+2ab(X-\operatorname{E}(X))(Y-\operatorname{E}(Y))+b^2(Y-\operatorname{E}(Y))^2\right) \\ & =a^2\operatorname{E}\left((X-\operatorname{E}(X))^2\right)+2ab\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))(Y-\operatorname{E}(Y))) +b^2\operatorname{E}\left((Y-\operatorname{E}(Y))^2\right) \\ & =a^2\operatorname{var}(X)+2ab\operatorname{cov}(X,Y)+b^2\operatorname{var}(Y) \end{align*}
- \mu_X:=\operatorname{E}(X), \mu_Y:=\operatorname{E}(Y) とすると，期待値の線形性より
\begin{align*} \operatorname{cov}(X,Y) & :=\operatorname{E}((X-\mu_X)(Y-\mu_Y)) \\ & =\operatorname{E}(XY-X\mu_Y-\mu_X Y+\mu_X\mu_Y) \\ & =\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\mu_Y-\mu_X\operatorname{E}(Y)+\mu_X\mu_Y \\ & =\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)+\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \\ & =\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \end{align*}
- (X,Y) を確率ベクトルとする．
X と Y の独立性の定義を書きなさい．
X と Y は独立とする．このとき以下の式が成り立つことを示しなさい．
\operatorname{E}(XY)=\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)
\operatorname{cov}(X,Y)=0
\operatorname{var}(X+Y)=\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y)
- 任意の (x,y) について
f_{X|Y}(x|Y=y)=f_X(x)
なら X と Y は独立という．
- (X,Y) が連続なら
\begin{align*} \operatorname{E}(XY) & :=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf_{X,Y}(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}xyf_X(x)f_Y(y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty} \left(\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\mathrm{d}x\right)yf_Y(y)\mathrm{d}y \\ & =\int_{-\infty}^{\infty}xf_X(x)\mathrm{d}x\int_{-\infty}^{\infty}yf_Y(y)\mathrm{d}y \\ & =\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \end{align*}
離散の場合も同様．
- Q1(c) と前問の結果より
\begin{align*} \operatorname{cov}(X,Y) & =\operatorname{E}(XY)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \\ & =\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y)-\operatorname{E}(X)\operatorname{E}(Y) \\ & =0 \end{align*}
- Q1(b) と前問の結果より
\begin{align*} \operatorname{var}(X+Y) & =\operatorname{var}(X)+2\operatorname{cov}(X,Y)+\operatorname{var}(Y) \\ & =\operatorname{var}(X)+\operatorname{var}(Y) \end{align*}