Introducción

En estadística, las distribuciones de probabilidad describen cómo se distribuyen los posibles valores de una variable aleatoria.
Este documento presenta una síntesis de cinco distribuciones clásicas: Lognormal, Gaussiana, Chi-cuadrado, Poisson y Exponencial, incluyendo su definición, fórmula, ejemplos y representación gráfica en R.

1. Distribución Lognormal

Definición y resumen

La distribución lognormal describe variables positivas donde el logaritmo natural sigue una distribución normal.
Es común en tiempos de vida, ingresos, precios y fenómenos económicos.

Fórmula

\[ f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln x - \mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad x > 0 \]

Ejemplo en R

x <- seq(0, 5, 0.01)
y <- dlnorm(x, meanlog = 0, sdlog = 0.5)

plot(x, y, type = "l", col = "red", lwd = 2,
     main = "Distribución Lognormal (μ=0, σ=0.5)",
     xlab = "x", ylab = "Densidad")

2. Distribución Gaussiana (Normal)

Definición y resumen

La distribución normal o gaussiana es simétrica y en forma de campana.
Modela fenómenos naturales, errores de medición o rendimiento académico.

Fórmula

\[ f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2} \]

Ejemplo en R

x <- seq(-4, 4, 0.1)
y <- dnorm(x, mean = 0, sd = 1)

plot(x, y, type = "l", col = "blue", lwd = 2,
     main = "Distribución Normal (μ=0, σ=1)",
     xlab = "x", ylab = "Densidad")

3. Distribución Chi-cuadrado

Definición y resumen

La distribución Chi-cuadrado (χ²) surge al sumar los cuadrados de variables normales estándar.
Se usa en pruebas de hipótesis, análisis de varianza y bondad de ajuste.

Fórmula

\[ f(x; k) = \frac{1}{2^{k/2}\Gamma(k/2)}x^{(k/2)-1} e^{-x/2}, \quad x > 0 \]

Ejemplo en R

x <- seq(0, 20, 0.1)
y <- dchisq(x, df = 5)

plot(x, y, type = "l", col = "darkgreen", lwd = 2,
     main = "Distribución Chi-cuadrado (df=5)",
     xlab = "x", ylab = "Densidad")

4. Distribución de Poisson

Definición y resumen

La distribución de Poisson modela el número de eventos discretos en un intervalo fijo, bajo una tasa media constante \(\lambda\).
Ejemplo: número de llamadas por minuto o llegadas a una estación.

Fórmula

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots \]

Ejemplo en R

x <- 0:10
y <- dpois(x, lambda = 3)

plot(x, y, type = "h", lwd = 4, col = "orange",
     main = "Distribución de Poisson (λ=3)",
     xlab = "Número de eventos (k)", ylab = "Probabilidad")
points(x, y, pch = 16, col = "orange")

5. Distribución Exponencial

Definición y resumen

La distribución exponencial describe el tiempo entre eventos de un proceso de Poisson.
Es utilizada en análisis de confiabilidad, supervivencia y mantenimiento.

Fórmula

\[ f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0 \]

Ejemplo en R

x <- seq(0, 5, 0.1)
y <- dexp(x, rate = 1)

plot(x, y, type = "l", col = "purple", lwd = 2,
     main = "Distribución Exponencial (λ=1)",
     xlab = "x", ylab = "Densidad")

Conclusiones

Distribución Tipo Forma Aplicaciones comunes
Normal Continua Simétrica Fenómenos naturales, errores
Lognormal Continua Sesgada a la derecha Finanzas, tiempos, precios
Chi-cuadrado Continua Sesgada Pruebas estadísticas
Poisson Discreta No negativa Conteo de eventos
Exponencial Continua Decreciente Tiempo entre eventos

Estas distribuciones son la base del análisis probabilístico y sirven para modelar tanto variables continuas como discretas en diversos contextos científicos e ingenieriles.

Publicado en RPubs con RStudio