Distribuciones
Juliana Andrea Patiño Hoyos - Juan Esteban Gómez Cruz
2025-10-25
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
¿QUÉ ES UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD?
Una distribución de probabilidad describe cómo se distribuyen las probabilidades de los posibles valores que pueda tomar la variable aleatoria, dentro de un periodo de tiempo.
Para un mejor entendimiento se suele realizar la distribución de probabilidad en curva con forma de campana
| Característica | Descripción | Ejemplo |
|---|---|---|
| Suma de probabilidades = 1 | La suma de todas las probabilidades de los eventos posibles es siempre 1. | Lanzar un dado: (P(1)+P(2)+…+P(6) = 1) |
| Probabilidad entre 0 y 1 | Cada evento tiene probabilidad mínima 0 y máxima 1. | Lanzar moneda: P(cara) = 0.5 |
| Variables aleatorias | Cada distribución describe el comportamiento de una variable aleatoria (discreta o continua). | Discreta: número de caras al lanzar 3 monedas. Continua: altura de personas |
| Forma de la distribución | Representa cómo se distribuyen los valores de la variable aleatoria. | Normal: campana; Uniforme: recta; Poisson: sesgada hacia un lado |
| Media (esperanza) | Valor promedio esperado de la variable aleatoria. | Dados: (1+2+3+4+5+6)/6 = 3.5 |
| Varianza / Desviación estándar | Mide la dispersión de los valores respecto a la media. | Dados: varianza ≈ 2.92, desviación estándar ≈ 1.71 |
| Simetría / sesgo | Indica si la distribución es simétrica o está inclinada hacia algún lado. | Normal: simétrica; Poisson con λ pequeño: sesgada a la derecha |
| Probabilidades acumuladas | Permite calcular la probabilidad de que la variable tome un valor menor o igual a x. | P(X ≤ 3) para lanzar 2 dados |
Toda distribución de probabilidad se genera a partir de una variable aleatoria, ya que esta puede tomar distintos valores de manera completamente al azar. Dependiendo de la naturaleza de estos valores, las variables aleatorias pueden ser de dos tipos:
1. Variable aleatoria discreta (X)
Una variable aleatoria discreta solo puede tomar valores enteros y un número finito de ellos.
Ejemplo:
Sea X la variable que representa el número de alumnos que aprueban el curso de Español en un grupo de 20 estudiantes. Los posibles valores que puede tomar X son 1, 2, 3… hasta 20.
Propiedades principales:
Cada probabilidad asociada a un valor específico de X debe ser mayor o igual a 0 y menor o igual a 1:
\[0\leq P(X_{i})\leq 1\]
La suma de todas las probabilidades debe ser igual a 1:
\[\sum_{i}P(X_{i})= 1\]
Ejemplo simple:
Al lanzar una moneda, solo hay dos resultados posibles: cara (50%) o sello (50%).
Ejemplo práctico con dos lanzamientos de moneda:
Si hacemos una tabla de distribución del número de caras que se obtienen al lanzar una moneda dos veces, obtendríamos:
| N.de.caras..X. | P.X. | P… |
|---|---|---|
| 0 | 1/4 | 25% |
| 1 | 2/4 | 50% |
| 2 | 1/4 | 25% |
2. Variable aleatoria continua (X)
Una variable aleatoria continua puede tomar valores enteros o fraccionarios, y un número infinito de ellos dentro de un intervalo determinado.
Ejemplo:
Sea X la variable que mide la concentración de oro en gramos de distintas muestras de mineral. Los posibles valores pueden ser 7.4, 6.1, 1.9, 23.3, 12.7, 8.1, 9.5, 11.8, … y así sucesivamente.
Propiedades principales:
Las probabilidades asociadas a cada valor de X deben ser siempre mayores o iguales a cero.
El área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad debe ser igual a 1.
TIPOS DE DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
Las distribuciones de probabilidad se pueden clasificar en varios tipos, entre los que se encuentran la distribución lognormal, chi-cuadrado, binomial,gaussiana, exponencial y la de poisson. Cada una de estas distribuciones tiene un propósito específico y permite modelar distintos tipos de fenómenos o procesos que generan datos.
DISTRIBUCIÓN LOGNORMAL
¿Qué es la distribución lognormal?
La distribución lognormal, también conocida como distribución de Galton (en honor al estadístico Francis Galton), es un tipo de distribución de probabilidad que se utiliza ampliamente en estadística, economía, ingeniería y finanzas.
Se dice que una variable aleatoria sigue una distribución lognormal cuando el logaritmo natural de esa variable tiene una distribución normal.
En otras palabras, los datos originales no son normales, pero sus logaritmos sí lo son.
Por ejemplo si:
\[Y=ln(X)\]
se distribuye normalmente, entonces X tiene una distribución lognormal.
Características principales
Solo valores positivos: la distribución lognormal no puede tomar valores negativos.
Forma asimétrica: la curva está sesgada a la derecha, con una cola larga hacia los valores grandes.
Basada en la multiplicación: suele describir procesos donde los cambios son multiplicativos (por ejemplo, crecimiento porcentual o acumulado), en lugar de aditivos.
Derivada de la normal:si una variable normal se transforma mediante una función exponencial, el resultado sigue una distribución lognormal.
Comparación de la distribución Normal vs Lognormal
| Característica | Distribución.Normal | Distribución.Lognormal |
|---|---|---|
| Forma | Simétrica (curva de campana) | Asimétrica (cola hacia la derecha) |
| Valores | Puede incluir negativos | Solo valores positivos |
| Uso común | Alturas, errores de medición, calificaciones | Precios, tiempos, ingresos |
| Relación | (Y = ln(X)) → Y es normal | (X = e^Y) → X es lognormal |
En resumen, una distribución lognormal se obtiene aplicando la función exponencial a una variable con distribución normal. Por eso, ambas están estrechamente relacionadas y suelen analizarse juntas.
Fórmula de la distribución lognormal
\[f(x;\mu, \sigma )=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}*e^{-\frac{(lnx-\mu)^{2} }{2\sigma ^{2}}}, x> 0\]
| Símbolo | Significado |
|---|---|
| x | Variable aleatoria continua (solo valores positivos) |
| μ | Media de los valores logarítmicos (ln(x)) |
| σ | Desviación estándar de los valores logarítmicos (ln(x)) |
| e | Constante de Euler (≈ 2.71828) |
Uso en Excel
Excel permite trabajar con distribuciones lognormales usando la función:
\[=LOGNORM.DIST(x,media,desviaciónestándar,acumulada)\]
x:valor a evaluar
media: media de ln(x)
desviación_estándar: desviación estándar de ln(x) (debe ser positiva)
acumulada: valor lógico (VERDADERO para la función acumulada o FALSO para la densidad)
Ejemplo =LOGNORM.DIST(2, 0.5, 0.3, FALSO) devuelve la densidad de probabilidad para𝑥=2
Aplicaciones prácticas
La distribución lognormal se aplica en muchos campos, especialmente cuando los valores no pueden ser negativos y crecen de forma acumulativa o compuesta.
Finanzas: los precios de las acciones y los rendimientos acumulados suelen modelarse con distribuciones lognormales, ya que los precios no pueden ser negativos y crecen de forma multiplicativa.
Economía: se usa para describir distribuciones de ingresos, que tienden a tener muchos valores pequeños y pocos muy grandes.
Ingeniería y mantenimiento: modela tiempos hasta el fallo o duraciones de vida útil de componentes.
Medicina: describe variables como tiempos de recuperación, tamaños de tumores o concentraciones de fármacos.
Ejemplos
1. Distribución de ingresos:
Los salarios o ingresos suelen seguir una distribución log-normal porque:
Nadie puede tener ingreso negativo.
Hay muchas personas con ingresos promedio y pocas con ingresos muy altos.
Si ln(ingreso) es normal, entonces el ingreso real es log-normal.
2. Tiempo de vida de componentes electrónicos:
Los fallos de algunos dispositivos pueden ocurrir multiplicativamente (por desgaste progresivo), y sus tiempos de vida siguen una log-normal.
3. Precios de acciones:
En modelos financieros (como Black-Scholes), se asume que el precio de una acción sigue una distribución log-normal.
4.Tamaño de partículas o gotas:
En procesos físicos o biológicos donde el crecimiento es proporcional al tamaño, las distribuciones suelen ser log-normales.
Ejemplo práctico
Imagina que eres un analista financiero que quiere estudiar el comportamiento de los precios de las acciones de una empresa tecnológica. Notas que los precios siempre son positivos y que, en lugar de cambiar en valores fijos (como +5 o -5), tienden a cambiar en proporciones (por ejemplo, +10% o -8%). Esto sugiere que los precios podrían seguir una distribución lognormal, ya que los cambios porcentuales o multiplicativos son típicos de este tipo de distribución.
Para comprobarlo, decides analizar los datos históricos. Tomas los precios de los últimos cinco días:
| Día | Precio..X. | ln.X. |
|---|---|---|
| 1 | 50 | 3.91 |
| 2 | 55 | 4.01 |
| 3 | 53 | 3.97 |
| 4 | 60 | 4.09 |
| 5 | 65 | 4.17 |
Del siguiente ejemplo se puede realizar la gráfica de distribución lognormal quedando así:
Gráfica de distribución lognormal ejercicio de precios de las acciones
En la gráfica de la distribución lognormal obtenida con los datos de los precios de la acción, se observa una curva asimétrica hacia la derecha, lo que significa que los valores altos es decir los precios grandes son menos frecuentes, pero son posibles. Esto es característico de fenómenos donde los valores crecen de manera multiplicativa (por porcentajes) y no de forma aditiva.
Cómo se observa la mayor densidad es decir el pico de la curva se encuentra alrededor de los valores medios de los precios, aproximadamente entre 50 y 60, indicando que es más probable encontrar precios de la acción en ese rango. A medida que aumentan los precios por encima de 65 o 70, la curva disminuye lentamente, mostrando que aunque son menos probables, no son imposibles los valores altos.La cola derecha larga representa la posibilidad de crecimientos grandes en el precio, aunque poco frecuentes, lo cual coincide con el comportamiento de los mercados financieros, donde ocasionalmente se presentan subidas significativas.
Los precios positivos y la asimetría hacia la derecha confirman que la distribución lognormal es adecuada para modelar este tipo de datos.La transformación logarítmica (ln X) permitió observar que los logaritmos de los precios se distribuyen de manera aproximadamente normal, lo que valida el supuesto de lognormalidad, demostrando que puede ayudar a estimar probabilidades de precios futuros, valorar riesgos y simular escenarios financieros realistas.Y a diferencia de una distribución normal, la lognormal no permite valores negativos, lo cual tiene sentido porque un precio o ingreso nunca puede ser menor que cero.
DISTRIBUCIÓN NORMAL O GAUSSIANA
¿Qué es la distribución Normal o Gaussiana?
La distribución normal, también conocida como distribución gaussiana, es uno de los pilares fundamentales de la estadística. Su forma característica en campana simétrica refleja cómo la mayoría de los datos tienden a concentrarse alrededor de un valor medio, con una frecuencia decreciente hacia los extremos. Esta distribución es ampliamente utilizada en diversas disciplinas desde la economía y las finanzas hasta la biología y la ingeniería debido a su capacidad para modelar fenómenos naturales y procesos aleatorios.
La distribución normal describe cómo se distribuyen los datos en torno a una media (μ), con una dispersión (σ) determinada por la desviación estándar.
Matemáticamente, su función de densidad de probabilidad (FDP) está dada por la fórmula:
Fórmula de la distribución Normal o Gaussiana
\[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2} \]
donde:
x = valor de la variable,
μ = media,
σ = desviación estándar,
e = número de Euler (≈ 2.71828),
π = pi (≈ 3.14159).
Esta ecuación define la curva de campana, cuyo pico se ubica en la media y cuya amplitud depende de la desviación estándar.
Propiedades clave
Simetría
La distribución normal es perfectamente simétrica respecto a la media. En ella, media, mediana y moda coinciden. Esto significa que los valores tienen la misma probabilidad de situarse por encima o por debajo del promedio.
Regla empírica o del 68-95-99.7
*El 68.2% de los datos se encuentra dentro de una desviación estándar (μ ± σ).
*El 95.4% dentro de dos desviaciones estándar (μ ± 2σ).
* El 99.7% dentro de tres desviaciones estándar (μ ± 3σ).
Los valores más allá de tres desviaciones estándar se consideran eventos raros o atípicos.
Asimetría y curtosis
-Asimetría (skewness): mide la simetría de la distribución.
*En la distribución normal, la asimetría = 0.
*Asimetría negativa → cola más larga a la izquierda.
*Asimetría positiva → cola más larga a la derecha.
-Curtosis:mide el grosor de las colas.
La distribución normal tiene curtosis = 3 (mesocúrtica).
*Si > 3 → leptocúrtica (colas pesadas).
*Si < 3 → platicúrtica (colas delgadas).
Teorema del Límite Central (TLC)
El Teorema del Límite Central explica por qué la distribución normal aparece tan frecuentemente en la naturaleza y la estadística.
Establece que la media de un número grande de variables aleatorias independientes tiende a distribuirse normalmente, sin importar la forma de la distribución original.Por ello, la normalidad es la base de muchos métodos inferenciales.
Un caso particular es la distribución normal estándar, donde: μ = 0 y σ = 1
Esto permite comparar diferentes distribuciones mediante el puntaje Z, que indica cuántas desviaciones estándar está un valor respecto a la media:
\[ z=\frac{x-\mu }{\sigma }\]
Ejemplo
Supón que la estatura de los estudiantes de una universidad sigue una distribución normal con:
Media (μ) = 170 cm
Desviación estándar (σ) = 10 cm
¿Qué porcentaje de estudiantes mide entre 160 cm y 180 cm?
Calculamos el puntaje Z para cada límite, usando la fórmula anterior reemplazamos los datos:
Para 160 cm:
\[Z_{1}= \frac{160-170}{10}=-1\]
Para 180 cm:
\[Z_{2}= \frac{180-170}{10}=1\]
Usando la tabla de la distribución normal estándar
P(Z < 1) = 0.8413
P(Z < -1) = 0.1587
Restamos para obtener el porcentaje entre ambos valores:
\[P(-1< Z< 1)=0.8413−0.1587=0.6826\]
El 68.26% de los estudiantes mide entre 160 y 180 cm, coincidiendo con la regla del 68-95-99.7%
Aplicaciones prácticas
Control de calidad:Para verificar si los productos (por ejemplo, el peso de un empaque) están dentro de los límites aceptables.
Educación: En los exámenes estandarizados, los puntajes suelen distribuirse normalmente alrededor del promedio.
Salud:Para analizar variables como la presión arterial, peso o talla en una población.
Finanzas:Para modelar el comportamiento de los rendimientos de una inversión o precios de acciones.
Ejemplo práctico
La estatura de los hombres adultos en una ciudad se distribuye normalmente con una media de 175 cm y una desviación estándar de 10 cm.Se desea calcular la densidad de probabilidad (altura de la curva normal) para una persona que mide 180 cm, usando la fórmula de la distribución normal.
Datos:μ=175,σ=10,x=180
Fórmula
\[f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma}\right)^2}\]
Sustituyendo los datos:
\[f(180) = \frac{1}{10 \sqrt{2\pi}} \, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{180- 175}{10}\right)^2}= 0.0352\]
InterpretaciónEl valor obtenido f(180)=0.0352 representa la altura de la curva normal en el punto x=180.Esto indica que una persona que mide 180 cm está ligeramente por encima del promedio, pero sigue dentro del rango común de estaturas.El valor de la densidad no es una probabilidad directa, sino una medida de cuán concentrados están los datos alrededor de ese punto.
Gráfica de distribución Gaussina de estatura
| Parámetro | Valor |
|---|---|
| Media (μ) | 175.0000 |
| Desviación estándar (σ) | 10.0000 |
| Valor de x | 180.0000 |
| Z = (x - μ)/σ | 0.5000 |
| f(x) | 0.0352 |
En conclusión, la distribución gaussiana o normal describe con precisión fenómenos donde los valores se concentran alrededor de la media y disminuyen simétricamente hacia los extremos. En este ejemplo, la estatura de 180 cm está cerca de la media de 175 cm, lo que demuestra que sigue el patrón esperado de una distribución normal, donde la mayoría de las observaciones se agrupan en torno al promedio y los valores muy altos o muy bajos son menos frecuentes.
DISTRIBUCIÓN CHI-CUADRADO
¿Qué es la distribución Chi-Cuadrado?
La distribución Chi-cuadrado es una distribución continua que aparece cuando sumamos los cuadrados de variables normales estándar independientes.
Matemáticamente:
\[X=Z_{1}^{2}+Z_{2}^{2}+....+Z_{k}^{2}\]
Donde cada
\[Z_{i}^{2}\sim N(0,1)\]
Entonces X sigue una distribución Chi-cuadrado con k grados de libertad, denotada:
\[X\sim X^{2}(k)\]
Fórmula de distrubución Chi-Cuadrado
\[ f(x;k)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma (k/2)}x^{(k/2)-1}e^{-x/2}, x> 0\]
Donde:
f(x;k) → es la función de densidad de probabilidad.
x → es el valor de la variable aleatoria (solo valores positivos).
𝑘 → son los grados de libertad (k=n−1).
Γ(k/2) → es la función gamma, que generaliza el factorial:
Γ(n)=(n−1)! si n es entero.
e^−x/2→ es el término exponencial de decaimiento.
2^k/2 → es una constante de normalización para asegurar que el área bajo la curva sea 1.
Características principales
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Dominio | x > 0 |
| Media (μ) | k |
| Varianza (σ²) | 2k |
| Forma | Asimétrica a la derecha (se vuelve más simétrica al aumentar k) |
| Usos comunes | Base para pruebas de hipótesis como Chi-cuadrado, ANOVA, varianzas, etc. |
Aplicaciones
La distribución Chi-cuadrado es una de las más utilizadas en estadística aplicada. Algunos ejemplos de su aplicabilidad son:
Control de calidad:
Se utiliza para analizar si la variabilidad en un proceso de producción sigue el patrón esperado.
Ejemplo: determinar si la dispersión en el peso de los productos está dentro del rango normal.
Medicina y biología:
En estudios de genética, se usa para probar si la distribución de rasgos hereditarios (como colores de ojos o tipos de sangre) sigue las proporciones esperadas según las leyes de Mendel.
Permite analizar si existe relación entre variables categóricas, como por ejemplo entre el nivel educativo y la preferencia de voto.
Ingeniería y análisis de riesgos:
Se aplica para modelar la variabilidad de errores o residuos en mediciones experimentales.
Ejemplo práctico
Un investigador está analizando la variabilidad de los tiempos de atención en un hospital. Supone que la variable X (tiempo de atención estandarizado) sigue una distribución Chi-cuadrado con 4 grados de libertad.Desea conocer cuál es la densidad de probabilidad en el punto x=3, es decir, qué tan probable es observar un valor cercano a 3 horas, usando la fórmula de la distribución Chi-cuadrado.
Datos:k=4, x=3
Fórmula
\[ f(x;k)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma (k/2)}x^{(k/2)-1}e^{-x/2}, x> 0\]
Sustituyendo los valores en la fórmula
\[f(3;4)=\frac{1}{2^{\frac{4}{2}}\Gamma (4/2)}3^{(4/2)-1}e^{-3/2}= 0.1673\]
La densidad de probabilidad en x=3 es aproximadamente 0.1673. Esto significa que, bajo una distribución Chi-cuadrado con 4 grados de libertad, el valor 3 se encuentra en una zona con probabilidad moderada de ocurrencia, es decir, es un valor típico dentro del rango esperado.
Gráfica de distribución de Chi-Cuadrado de tiempos en hospital
| Parámetro | Valor |
|---|---|
| Valor de x | 3.0000 |
| Grados de libertad (k) | 4.0000 |
| Γ(k/2) | 1.0000 |
| Parte exponencial e^(-x/2) | 0.2231 |
| f(x; k) | 0.1673 |
La gráfica de la distribución Chi-cuadrado con 4 grados de libertad muestra una curva asimétrica hacia la derecha, donde los valores más pequeños de x tienen mayor densidad de probabilidad.El punto rojo en x=3 indica el valor calculado f(3;4)≈0.1673, que se encuentra en la zona central de la curva, representando un valor típico o moderadamente probable dentro de la distribución.Esto significa que observar un valor cercano a 3 no es raro ni extremo, sino que pertenece al rango más común de la variabilidad esperada según esta distribución.
DISTRIBUCIÓN DE POISSON
¿Qué es la distribución de Poisson?
La distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta que modela el número de veces que ocurre un evento en un intervalo fijo de tiempo o espacio. Los eventos deben ocurrir de forma independiente, con una tasa promedio constante (λ).
Ejemplo:
El número de llamadas que llegan a un centro de atención en una hora.
El número de accidentes diarios en una carretera.
El número de correos que recibe una persona por día.
Condiciones para aplicar la distribución de Poisson
Se puede usar esta distribución si:
1. Los eventos son independientes (uno no afecta la ocurrencia del otro).
2. Los eventos ocurren con una frecuencia promedio conocida (λ).
3. No ocurren dos eventos exactamente al mismo tiempo.
4. Se observa un intervalo fijo de tiempo o espacio.
Fórmula de distribución de Poisson
\[P(X=k)=\frac{e^{\lambda}\lambda ^{k}}{k!}\]
Donde:
P(X=k) = probabilidad de que ocurran exactamente k eventos
λ = número promedio de eventos en el intervalo
e = número de Euler (≈ 2.718)
k! = factorial de k
Propiedades importantes
| Propiedad | Descripción |
|---|---|
| Tipo de variable | Discreta (número de ocurrencias) |
| Dominio | ( k = 0, 1, 2, 3, … ) |
| Media (μ) | ( λ ) |
| Varianza (σ²) | ( λ ) |
| Forma | Sesgada a la derecha para λ pequeños; más simétrica conforme λ crece |
| Parámetro | Solo uno: λ (lambda) |
Interpretación gráfica
Para valores pequeños de λ (por ejemplo, λ = 2), la distribución es asimétrica a la derecha, con muchos valores pequeños.
Para valores mayores (por ejemplo, λ = 10 o más), la distribución se vuelve más simétrica y se asemeja a la distribución normal.
El punto más alto (modo) se encuentra cerca del valor de λ.
Aplicación en la vida real
La distribución de Poisson se utiliza ampliamente en distintos campos para modelar sucesos que ocurren aleatoriamente pero con una frecuencia promedio estable.Algunos ejemplos de aplicación práctica son:
| Área | Aplicación |
|---|---|
| Salud pública | Número de pacientes que llegan a urgencias en una hora, o casos raros de una enfermedad en una población. |
| Telecomunicaciones | Cantidad de llamadas telefónicas o mensajes que llegan en un intervalo de tiempo. |
| Industria | Número de defectos en una línea de producción o en una unidad de producto. |
| Tránsito y transporte | Número de vehículos que pasan por un peaje o semáforo en un minuto. |
| Finanzas y seguros | Frecuencia de siniestros, fraudes o reclamos por mes. |
| Ciencias naturales | Número de mutaciones genéticas, o aparición de ciertas especies en un área determinada. |
| Atención al cliente | Flujo de personas o solicitudes por hora en un punto de servicio. |
Ejemplo: Muertes por patadas de caballo
Uno de los primeros usos fue el estudio del estadístico Ladislaus Bortkiewicz, quien analizó las muertes de soldados prusianos causadas por patadas de caballo.
En promedio, λ = 0.61 muertes por cuerpo de ejército al año.
Se desea conocer la probabilidad de que exactamente 2 soldados mueran en un año.
Aplicando la fórmula:
\[P(X=2)=\frac{e^{-0.61}0.61 ^{2}}{2!}=0.101\]
Interpretación: Existe una probabilidad del 10.1% de que en un cuerpo de ejército ocurran dos muertes en un año.
Gráfica de distribución de Poisson muertes por patadas de caballo
La gráfica muestra la distribución de Poisson con un valor promedio λ = 0.61, que representa el número de muertes por patadas de caballo en un cuerpo de ejército por año. Se observa que la mayor probabilidad corresponde a que no ocurra ninguna muerte, mientras que la probabilidad de que mueran exactamente dos soldados es de aproximadamente 10.1%. La forma asimétrica hacia la derecha confirma que los eventos con más muertes son poco frecuentes, evidenciando que la Poisson describe adecuadamente este tipo de sucesos raros en intervalos de tiempo fijos.
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
¿Qué es la distribución exponencial?
La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua que modela el tiempo entre la ocurrencia de sucesos en un proceso que se desarrolla de forma constante, independiente y aleatoria. Es decir, describe cuánto tiempo transcurre hasta que ocurre un evento, como el fallo de una máquina, la llegada de un cliente o la duración de una llamada telefónica.
Características principales
Propiedad sin memoria:
Es la característica más distintiva. La probabilidad de que ocurra un suceso no depende del tiempo que ya haya pasado. Por ejemplo, si una bombilla ha durado 1.000 horas, la probabilidad de que dure 100 horas más es la misma que si fuera nueva.
Tasa de riesgo constante:
La probabilidad de que ocurra un evento en un pequeño intervalo de tiempo siempre es la misma, sin importar cuánto haya transcurrido.
Variable continua:
La variable aleatoria X puede tomar cualquier valor real positivo, representando tiempos o duraciones.
Aplicaciones
1. Ingeniería de fiabilidad:
Modela el tiempo de vida de dispositivos electrónicos o mecánicos, ayudando a calcular el Tiempo Medio Entre Fallos (MTBF) y a planificar mantenimientos.
2. Teoría de colas:
Se usa para modelar el tiempo entre llegadas de clientes o llamadas, o el tiempo de servicio. Es clave en centros de atención, telecomunicaciones y sistemas hospitalarios.
Se aplica a fenómenos como la duración de llamadas telefónicas, el tiempo entre terremotos, la vida útil de baterías o incluso el gasto promedio en una compra.
Relación con la distribución de Poisson
La distribución Poisson y la Exponencial son complementarias:
La Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo fijo (variable discreta).
La Exponencial modela el tiempo entre eventos (variable continua).
Si los eventos ocurren según un proceso de Poisson con tasa λ, entonces el tiempo entre eventos sigue una distribución exponencial con el mismo parámetro λ.
Fórmula de la distribución Exponencial
\[f(x)=\lambda e^{-\lambda x}, x> 0\]
También puede escribirse como:
\[f(x)=\frac{1}{\mu }e^{-\lambda x}\]
donde μ = 1/λ representa el tiempo promedio entre sucesos.
Ejemplo práctico
Si el tiempo promedio que un empleado de correos pasa con un cliente es μ = 4 minutos, entonces:
El parámetro de decaimiento es m = 1/μ = 0,25.
La función densidad es:
\[f(x)=0,25e^{-0,25x}\]
Esto implica que:
\[f(5)=0,25e^{-0,25(5)}=0,072\]
La probabilidad de que el tiempo supere 3 minutos es
\[P(x> 3)=f(3)=0,25e^{-0,25(3)}=0,472\]
El gráfico parte en 0,25 y desciende exponencialmente hacia 0, mostrando que las esperas largas son menos probables.
Gráfico de distribución Exponencial de tiempos de empleados de correo
