Distribución Lognormal

Modela variables positivas y asimétricas cuyo logaritmo sigue una distribución normal. Se usa para representar valores que no pueden ser negativos y presentan una cola hacia la derecha, como ingresos, precios, tiempos de vida o rendimientos financieros.

Fórmula

\[f(x)=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(Lnx - \mu )^{2}}{2\sigma^{2} }}, x>0\]

f(x) = función de densidad.
x = variable aleatoria positiva.
\(\mu\) = media del logaritmo de x.
\(\sigma\) = desviación estándar del logaritmo de x.
e = número de Euler

Ejemplo

Supongamos que los precios de un producto siguen una distribución lognormal con parámetros x = 2, \(\mu = 1\) y \(\sigma = 0.5\). Esto significa que la mayoría de precios se concentran cerca de un valor central, pero algunos pueden ser mucho mayores (cola derecha).

\[f(2) = \frac{1}{2(0.5)\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(\ln(2)-1)^2}{2(0.5)^2}} \approx 0.439\]

Gráfica

x <- seq(0, 10, length=1000)
y <- dlnorm(x, meanlog=1, sdlog=0.5)
plot(x, y, type="l", lwd=2,col="blue")

Distribución Gaussiana

La distribución gaussiana o normal es simétrica respecto a su media y describe muchos fenómenos naturales, como alturas, pesos o errores de medición. Es la base de la estadística inferencial.

Fórmula

\[f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(x - \mu )^{2}}{2\sigma^{2}}}\]
f(x) = función densidad.
x = valor de la variable.
\(\mu\) = media de la distribución.
\(\sigma\) = desviación estándar

Ejemplo

Una fábrica produce tornillos metálicos cuyo peso sigue una distribución normal. El peso promedio (media) es \(\mu=5\) gramos, con una desviación estándar de \(\sigma=0.2\) gramos. Queremos calcular la probabilidad de que un tornillo pese exactamente 5.1 g, y representar la curva de densidad.
\[f(5.1)=\frac{1}{0,2 \sqrt{2\pi }}e^{-\frac{(5.1 - 5 )^{2}}{2(0,2)^{2} }} =1.76\]

Gráfica

x <- seq(4, 6, length = 200)
y <- dnorm(x, mean = 5, sd = 0.2)
plot(x, y, type="l",lwd=2, col="blue")

Distribución Chi Cuadrado

Modela la suma de cuadrados de variables normales estándar y solo toma valores positivos. Se utiliza principalmente en pruebas de hipótesis e inferencia estadística, como la prueba de independencia o la de bondad de ajuste.

Fórmula

\[f(x)=\frac{1}{2^{\frac{k}{2}}\Gamma (\frac{k}{2})}x^{\frac{k}{2}-1}e^{\frac{-x}{2}}, x>0\]
f(x) = gunción densidad. x = valor de la variable.
k = grados de libertad.
\(\Gamma\) = función Gamma.

Ejemplo

Supongamos que un investigador evalúa la variabilidad de una medición y obtiene k = 4 grados de libertad. Queremos calcular la densidad de probabilidad en x=5. \[f(5)=\frac{1}{2^{\frac{4}{2}}\Gamma (\frac{4}{2})}5^{\frac{4}{2}-1}e^{\frac{-5}{2}}=0.1026\]

Gráfica

x <- seq(0, 20, length = 2000)
y <- dchisq(x, df = 4)

plot(x, y, type="l", lwd=2, col="blue")

Distribución Poisson

Describe el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio, cuando estos son independientes y tienen una tasa promedio constante. Se aplica para contar llegadas, errores o fallas, por ejemplo llamadas por minuto o defectos por metro cuadrado.

Fórmula

\[P\left (X = k \right )= \frac{e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}\]
P(X=k) = probabilidad de que ocurran k eventos en el intérvalo.
\(\lambda\) =tasa promedio.
k = conteo de eventos.

Ejemplo

Un call center recibe en promedio 12 llamadas por hora durante la franja matutina. Queremos modelar el número de llamadas por hora usando una distribución de Poisson con parámetro \(\lambda = 12\) y ¿Cual es la probabilidad de recibir exactamente 8 llamadas en 1 hora?, k=8

\[P\left (X = 8 \right )= \frac{e^{-12 }(12) ^{8}}{8!}\approx 0.0655\]

Gráfica

k <- 0:16
P <- dpois(k, lambda=12)
barplot(P, names.arg=k, col="deepskyblue", xlab="k", ylab="P")

Distribución Exponencial

La distribución exponencial es una distribución de probabilidad continua que modela el tiempo que transcurre hasta que ocurre un evento específico en un proceso donde los eventos ocurren de manera independiente a una tasa constante

Fórmula

\[f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, x>0\] f(x) = función densidad.
x = tiempo de espera.
\(\lambda\) = tasa de eventos por unidad de tiempo.

Ejemplo

Una empresa recibe en promedio 2 llamadas por minuto\((\lambda=2)\). Queremos saber la probabilidad de que entre una llamada y otra pasen más de 1 minuto (x=1).
\[f(1) = 2 e^{-2(1)}\approx 0.20706\]

Gráfica

x <- seq(0, 5, length=500)
y <- dexp(x, rate=2)
plot(x, y, type = "l", lwd=2,col="blue")