中級統計学：復習テスト10

作者

村澤 康友

公開

2025年10月31日

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト9〜13を順に重ねて左上でホチキス止めし，第2回中間試験実施日（11月14日の予定）に提出すること．

  1. U \sim \mathrm{U}[a,b] とする．

  1. \operatorname{E}(U) を求めなさい．

  2. \operatorname{E}\left(U^2\right) を求めなさい．

  3. \operatorname{var}(U) を求めなさい．

  1. 期待値の定義より

\begin{align*} \operatorname{E}(U) & :=\int_{-\infty}^{\infty}uf_U(u)\mathrm{d}u \\ & =\int_{-\infty}^au \cdot 0\mathrm{d}u +\int_a^bu \cdot \frac{1}{b-a}\mathrm{d}u +\int_b^{\infty}u \cdot 0\mathrm{d}u \\ & =\frac{1}{b-a}\int_a^bu\mathrm{d}u \\ & =\frac{1}{b-a}\left[\frac{u^2}{2}\right]_a^b \\ & =\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} \\ & =\frac{a+b}{2} \end{align*}

  1. 期待値の定義より

\begin{align*} \operatorname{E}\left(U^2\right) & :=\int_{-\infty}^{\infty}u^2f_U(u)\mathrm{d}u \\ & =\int_{-\infty}^au^2 \cdot 0\mathrm{d}u +\int_a^bu^2 \cdot \frac{1}{b-a}\mathrm{d}u +\int_b^{\infty}u^2 \cdot 0\mathrm{d}u \\ & =\frac{1}{b-a}\int_a^bu^2\mathrm{d}u \\ & =\frac{1}{b-a}\left[\frac{u^3}{3}\right]_a^b \\ & =\frac{b^3-a^3}{3(b-a)} \\ & =\frac{a^2+ab+b^2}{3} \end{align*}

  1. 分散の計算公式より

\begin{align*} \operatorname{var}(U) & =\operatorname{E}\left(U^2\right)-\operatorname{E}(U)^2 \\ & =\frac{a^2+ab+b^2}{3}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \\ & =\frac{4a^2+4ab+4b^2}{12}-\frac{3a^2+6ab+3b^2}{12} \\ & =\frac{a^2-2ab+b^2}{12} \\ & =\frac{(a-b)^2}{12} \end{align*}

  1. X \sim \mathrm{N}(1,9) とする．標準正規分布表を利用して以下の確率を求めなさい．

  1. \Pr[X \le 0]

  2. \Pr[1<X \le 2]

  3. \Pr[X>3]

  4. \Pr[-4 <X \le 5]

  5. \Pr[|X| \ge 6]

Q(.):=1-\Phi(.) とする．教科書の標準正規分布表は Q(.) の値を記載している．\Phi(.) や \Phi(.)-.5 の値を記載する場合もあるので要注意．標準化変量を Z:=(X-1)/3 とする．

\begin{align*} \Pr[X \le 0] & =\Pr\left[\frac{X-1}{3} \le \frac{0-1}{3}\right] \\ & =\Pr\left[Z \le -\frac{1}{3}\right] \\ & =\Phi\left(-\frac{1}{3}\right) \\ & =Q\left(\frac{1}{3}\right) \\ & =.37070 \end{align*}

\Pr[1<X \le 2]=\Pr[X \le 2]-\Pr[X \le 1] 各項は \begin{align*} \Pr[X \le 2] & =\Pr\left[\frac{X-1}{3} \le \frac{2-1}{3}\right] \\ & =\Pr\left[Z \le \frac{1}{3}\right] \\ & =\Phi\left(\frac{1}{3}\right) \\ & =1-Q\left(\frac{1}{3}\right) \\ & =1-.37070 \\ & =.62930 \\ \Pr[X \le 1] & =\Pr\left[\frac{X-1}{3} \le \frac{1-1}{3}\right] \\ & =\Pr[Z \le 0] \\ & =\Phi(0) \\ & =.5 \end{align*} したがって \begin{align*} \Pr[1<X \le 2] & =.62930-.5 \\ & =.12930 \end{align*}

\begin{align*} \Pr[X>3] & =\Pr\left[\frac{X-1}{3}>\frac{3-1}{3}\right] \\ & =\Pr\left[Z>\frac{2}{3}\right] \\ & =Q\left(\frac{2}{3}\right) \\ & =.25143 \end{align*}

\Pr[-4 <X \le 5]=\Pr[X \le 5]-\Pr[X \le -4] 各項は \begin{align*} \Pr[X \le 5] & =\Pr\left[\frac{X-1}{3} \le \frac{5-1}{3}\right] \\ & =\Pr\left[Z \le \frac{4}{3}\right] \\ & =\Phi\left(\frac{4}{3}\right) \\ & =1-Q\left(\frac{4}{3}\right) \\ & =1-.091759 \\ & =.908241 \\ \Pr[X \le -4] & =\Pr\left[\frac{X-1}{3} \le \frac{-4-1}{3}\right] \\ & =\Pr\left[Z \le -\frac{5}{3}\right] \\ & =\Phi\left(-\frac{5}{3}\right) \\ & =Q\left(\frac{5}{3}\right) \\ & =.047460 \end{align*} したがって \begin{align*} \Pr[-4 <X \le 5] & =.908241-.047460 \\ & =.860781 \end{align*}

\Pr[|X| \ge 6]=\Pr[X \le -6]+\Pr[X \ge 6] 各項は \begin{align*} \Pr[X \le -6] & =\Pr\left[\frac{X-1}{3} \le \frac{-6-1}{3}\right] \\ & =\Pr\left[Z \le -\frac{7}{3}\right] \\ & =\Phi\left(-\frac{7}{3}\right) \\ & =Q\left(\frac{7}{3}\right) \\ & =.0099031 \\ \Pr[X \ge 6] & =\Pr\left[\frac{X-1}{3} \ge \frac{6-1}{3}\right] \\ & =\Pr\left[Z \ge \frac{5}{3}\right] \\ & =Q\left(\frac{5}{3}\right) \\ & =.047460 \end{align*} したがって \begin{align*} \Pr[|X| \ge 6] & =.0099031+.047460 \\ & =.0573631 \end{align*}