Examen segundo tercio

1).

El gerente del almacén de una fábrica ha construido la siguiente distribución de probabilidad para la demanda diaria (número de veces que se usa) de una herramienta en particular. Si P(Y = 0) = 0.1, P(Y = 1) = 0.5 y P(Y = 2) = 0.4 y le cuesta a la fábrica $10 cada vez que la herramienta se usa, encuentre la varianza del costo diario por usar la herramienta. Elabore el dataframe y la gráfica de la función de probabilidad.

#Datos

# variable aleatoria
Y <- c(0, 1, 2)
P <- c(0.1, 0.5, 0.4)

# Costo por uso
costo_por_uso <- 10

# Costo diario (X = 10 * Y)
X <- costo_por_uso * Y

df <- data.frame(
  Uso = Y,
  Probabilidad = P,
  Costo = X
)

df
##   Uso Probabilidad Costo
## 1   0          0.1     0
## 2   1          0.5    10
## 3   2          0.4    20
# Media del costo

media <- sum(X * P)

# Varianza del costo

varianza <- sum((X - media)^2 * P)

media
## [1] 13
varianza
## [1] 41
barplot(P, names.arg = X,
col = "darkblue", #Millos#
main = "Función de probabilidad del costo diario",
xlab = "Costo diario ($)",
ylab = "Probabilidad")

2)

La probabilidad de que un paciente se recupere de una enfermedad estomacal es 0.51. Suponga que se sabe que 1000 personas han contraído la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 340 pero no más de 480 se recuperen?
Elabore la gráfica.

n <- 1000     # número de ensayos
p <- 0.51     # probabilidad de éxito
x1 <- 340     # límite inferior
x2 <- 480     # límite superior

# Cálculo con distribución binomial acumulada
prob <- pbinom(x2, n, p) - pbinom(x1 - 1, n, p)

# resultado
prob
## [1] 0.03102211
# Valores posibles de X

x <- 0:n

# Probabilidades de cada valor

fx <- dbinom(x, n, p)

# Gráfica

plot(x, fx, type="h", col="darkblue", #millos#
main="Distribución Binomial (n=1000, p=0.51)",
xlab="Número de pacientes recuperados",
ylab="Probabilidad")

3)

La función de densidad de la variable aleatoria continua X, el número total de horas que una familia utiliza una aspiradora durante un año, en unidades de 100 horas se muestra adjunta. a. Grafique la función de densidad.b. Calcule el número promedio que las familiaas utilizan sus aspiradoras. La función de densidad de la variable continua \(X\) (en unidades de 100 horas) es:

\[ f(x)= \begin{cases} x, & 0<x<1,\\ 2-x, & 1\le x<2,\\ 0, & \text{en otro caso.} \end {cases} \]

# función de densidad
f <- function(x) {
  ifelse(x > 0 & x < 1, x,
         ifelse(x >= 1 & x < 2, 2 - x, 0))
}
# Esperanza E(X) 
esperanza <- integrate(function(t) t * f(t), lower = 0, upper = 2)$value

# resultados
cat("Esperanza E(X) (en unidades de 100 horas) =", esperanza, "\n")
## Esperanza E(X) (en unidades de 100 horas) = 1
cat("Esperanza en horas =", esperanza * 100, "horas\n")
## Esperanza en horas = 100 horas

4)

Llegan autos a una caseta de pago de peaje de acuerdo con un proceso de Poisson con media de 80 autos por hora. Si el empleado hace una llamada telefónica de 1 minuto, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 1 auto llegue durante la llamada?

# Datos del problema 
lambda <- 80  

# Probabilidad de que llegue al menos 1 auto en 1 minuto
probabilidad <- 1 - dpois(0, lambda)
probabilidad
## [1] 1

5

Se observó que la cantidad semanal de dinero gastado por una compañía durante largo tiempo en mantenimiento y reparaciones, está normalmente distribuida en forma aproximada con media de \(\$400\) y desviación estándar de \(\$20\). Si están presupuestados \(\$450\) para la próxima semana, ¿cuál es la probabilidad de que los costos reales rebasen la cantidad presupuestada? Elabore la gráfica y la rgión solicitada.

media <- 400      # media en dólares
desv <- 20        # desviación estándar
x0 <- 450         # cantidad presupuestada

# Probabilidad de que los costos rebasen 450
probabilidad <- 1 - pnorm(x0, mean = media, sd = desv)
probabilidad
## [1] 0.006209665

6 El operador de una estación de bombeo ha observado que la demanda de agua durante las primeras horas de la tarde tiene una distribución aproximadamente exponencial con media de 100 pcs (pcs cúbicos por segundo).
Encuentre la probabilidad de que la demanda sea mayor que 200 pcs durante las primeras horas de la tarde en un día seleccionado al azar.

# Parámetro
lambda <- 1/100

# Probabilidad de que X > 200
prob <- exp(-lambda * 200)
prob
## [1] 0.1353353