parcial

library(dplyr)
library(ggplot2)
library(flextable)

1. Algunos casos de historias clínicas indican que diferentes enfermedades producen síntomas idénticos. Suponga que un conjunto particular de síntomas, denotado como H, se presenta sólo con cualquiera de tres enfermedades, I1, I2 o I3. Suponga que la presentación simultánea de más de una de estas enfermedades es imposible y que P(I1) = 0.01, P(I2) = 0.005, P(I3) = 0.02. Las probabilidades de desarrollar el conjunto de síntomas H, dada cada una de estas enfermedades, se sabe que son: P(H | I1) = 0.90, P(H | I2) = 0.95, P(H | I3) = 0.75

1. Elabore un dataframe que resuma la información.
2. Suponiendo que una persona enferma presenta los síntomas, H, ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga la enfermedad I1?

SOLUCION A

enf <- c("I1", "I2", "I3")
p_enf <- c(0.01, 0.005, 0.02)
p_h_enf <- c(0.90, 0.95, 0.75)

df_enf <- data.frame(
  enfermedad = enf,
  P_enf = p_enf,
  P_h_enf = p_h_enf,
  stringsAsFactors = FALSE
)

knitr::kable(df_enf, digits = 4, caption = "Resumen")

Resumen

enfermedad	P_enf	P_h_enf
I1	0.010	0.90
I2	0.005	0.95
I3	0.020	0.75

SOLUCION B

P_H <- sum(df_enf$P_enf * df_enf$P_h_enf)


P_I1_enf_h <- df_enf$P_enf[1] * df_enf$P_h_enf[1] / P_H 


df_enf$Probabilidad <- (df_enf$P_enf * df_enf$P_h_enf) / P_H
knitr::kable(df_enf, digits = 4, caption = "Probabilidad (I1, I2, I3 | H)")

Probabilidad (I1, I2, I3 | H)

enfermedad	P_enf	P_h_enf	Probabilidad
I1	0.010	0.90	0.3130
I2	0.005	0.95	0.1652
I3	0.020	0.75	0.5217

De acuerdo a estpo, podremos eobservar que la probabilidad de qie I1 presente H sintomas es 0,323

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2. Sea X una variable aleatoria con f(x) dada en la siguiente tabla.

x <- c("1", "2", "3", "4")
fx<- c(0.4, 0.3, 0.2, 0.1)

Df_X <- data.frame(
  x = x,
 fx = fx,
  stringsAsFactors = FALSE
)

knitr::kable(Df_X, digits = 2, caption = "Tabla")

Tabla

x	fx
1	0.4
2	0.3
3	0.2
4	0.1

1. Dibuje la función de probabilidad.
2. Obtenga la función de distribución, F(x), y, con base en ella, encuentre F(2.5)

SOLUCION A

ggplot(Df_X, aes(x =factor(x), y = fx))+
  geom_col(fill = "steelblue")+
  geom_text(aes(label = fx), vjust = -0.5)+
  labs(title = "Funcion de probabilidad f(x)",
       x = "x",
       y = "f(x)")+
  theme_minimal()

SOLUCION B

Df_X$Fx <- cumsum(Df_X$fx)


knitr::kable(Df_X, digits = 2, caption = "Función de distribución acumulada F(x)")

Función de distribución acumulada F(x)

x	fx	Fx
1	0.4	0.4
2	0.3	0.7
3	0.2	0.9
4	0.1	1.0

De acuerdo a esto encontramos que F(2.5) = 0.4 + 0.3 = 0.7.

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3. Suponga que X tiene la función de densidad dada abajo

\[ f(x) = \begin{cases} Kx(1 - X), & 0 <= x <= 1, \\[6pt] 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

1. Dibuje la función de densidad (debe encontrar el valor de k)
2. Dibuje F(x)
3. Encuentre P( 0.4 < X < 0.8) redondeado a 3 decimales.

SOLUCION A

k <- 1 / integrate(function(x) x * (1 - x), lower = 0, upper = 1)$value


f.x <- function(x) {
  ifelse(x >= 0 & x <= 1, k * x * (1 - x), 0)
}

x_vals <- seq(-0.1, 1.1, length.out = 1000)
df_fx <- data.frame(x = x_vals, fx = f.x(x_vals))

ggplot(df_fx, aes(x = x, y = fx)) +
  geom_line(size = 1.2, color = "steelblue") +
  geom_area(data = subset(df_fx, x >= 0 & x <= 1), aes(x = x, y = fx),
            fill = "steelblue", alpha = 0.3) +
  labs(title = "Función de densidad f(x)",
       x = "x",
       y = "f(x)") +
  theme_minimal()

SOLUCION B

F.x <- function(x) {
  ifelse(x < 0, 0,
         ifelse(x <= 1, integrate(f.x, lower = 0, upper = x)$value, 1))
}

df_Fx <- data.frame(x = x_vals, Fx = sapply(x_vals, F.x))

ggplot(df_Fx, aes(x = x, y = Fx)) +
  geom_line(size = 1.2, color = "steelblue") +
  labs(title = "Función de distribución acumulada F(x)",
       x = "x",
       y = "F(x)") +
  theme_minimal()

SOLUCION C

prob <- integrate(f.x, lower = 0.4, upper = 0.8)$value
round(prob, 3)

## [1] 0.544

4. Suponga que un distribuidor de joyería antigua está interesado en comprar un collar de oro para el que tiene 0.22 de probabilidades de venderlo con $250 de utilidad; 0.36 de venderlo con $150 de utilidad; 0.28 de venderlo al costo y 0.14 de venderlo con una pérdida de $150. ¿Cuál es la desviación estándar de la utilidad?

x <- c(250, 150, 0, -150)
p <- c(0.22, 0.36, 0.28, 0.14)
sum(p)

## [1] 1

E_ <- sum(x * p)
cat("Valor esperado =", E_, "\n") 

## Valor esperado = 88

E_XX <- sum((x^2) * p)
V_X <- E_XX - (E_XX)^2          
cat("Varianza =", V_X, "\n")

## Varianza = -624975000

D_X <- sqrt(V_X)
cat("Desviacion estandar =", round(D_X, 2))

## Desviacion estandar = NaN

5. Calcule la proporción X de personas que se podría esperar que respondieran a cierta encuesta que se envía por correo, si X tiene la función de densidad mostrada. Dibuje la función de densidad

\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{2(x + 2)}{5}, & 0 < x < 1, \\[8pt] 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

f.x <- function(x){
  ifelse(x <= 0 | x >= 1, 0,
         2 * (x + 2) / 5)
}

a_t <- integrate(f.x, lower = 0, upper = 1)$value

esp <- integrate(function(x) x * f.x(x), lower = 0, upper = 1)$value


a_t

## [1] 1

esp

## [1] 0.5333333

cat("E[X] = ", round(esp, 6), " = 8/15 ≈ ", round(esp, 6), "\n")

## E[X] =  0.533333  = 8/15 ≈  0.533333

x_den <- seq(-0.1, 1.1, length.out = 1001)
df <- data.frame(x = x_den, fx = f.x(x_den))

ggplot(df, aes(x = x, y = fx)) +
  geom_line(size = 1.2, color = "steelblue") +
  geom_area(data = subset(df, x > 0 & x < 1), aes(x = x, y = fx),
            fill = "steelblue", alpha = 0.25) +
  labs(title = expression(paste("Densidad  ", f(x) == frac(2*(x+2),5), "  en  (0,1)")),
       x = "x (proporción que responde)",
       y = "f(x)") +
  theme_minimal(base_size = 13) +
  coord_cartesian(xlim = c(-0.05, 1.05))

6. El tiempo de falla (en cientos de horas) para un transistor es una variable aleatoria Y con función de distribución dada abajo.

1. Dibuje F(y)
2. Dibuje f(y)
3. Encuentre la probabilidad de que el transistor opere durante al menos 200 horas.

F <- function(y) ifelse(y < 0, 0, 1 - exp(-y^2))

curve(F, from = -1, to = 3, col = "steelblue", lwd = 2,
      main = "Funcion de Distribucion F(y)",
      ylab = "F(y)", xlab = "y")

f <- function(y) ifelse(y >= 0, 2*y*exp(-y^2), 0)

curve(f, from = 0, to = 3, col = "pink", lwd = 2,
      main = "Funcion de Densidad f(y)",
      ylab = "f(y)", xlab = "y")

P <- 1 - F(2)
cat("P(Y ≥ 2) =", round(P, 4), "\n")

## P(Y ≥ 2) = 0.0183