title: "Parcial 2" author: "Antonio García Gómez" date: "r Sys.Date()" output: htmldocument: toc: true tocfloat: true code_folding: show highlight: tango css: estilos.css ---

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Primera pregunta

Algunos casos de historias clínicas indican que diferentes enfermedades producen síntomas idénticos. Suponga que un conjunto particular de síntomas, denotado como H, se presenta sólo con cualquiera de tres enfermedades, I1, I2 o I3. Suponga que la presentación simultánea de más de una de estas enfermedades es imposible y que P(I1) = 0.01, P(I2) = 0.005, P(I3) = 0.02. Las probabilidades de desarrollar el conjunto de síntomas H, dada cada una de estas enfermedades, se sabe que son: P(H | I1) = 0.90, P(H | I2) = 0.95, P(H | I3) = 0.75

a. Elabore un dataframe que resuma la información. b. Suponiendo que una persona enferma presenta los síntomas, H, ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga la enfermedad I1?

Por bayes se multiplica la probabilidad de tener la enfermedad I1 por la probabilidad de tener síntomas dada la enfermedad I1, todo esto dividido entre la probabilidad de cada enfermedad por su probabilidad de generar el conjunto de síntomas H. {r} r <- 0.90*0.01/(0.9*0.01+0.005*0.95+0.02*0.75) r

Segunda pregunta

Sea X una variable aleatoria con f(x) dada en la siguiente tabla.

a. Dibuje la función de probabilidad. b. Obtenga la función de distribución, F(x), y, con base en ella, encuentre F(2.5)

```{r} tabla2 <- data.frame(x=1:4,fx.=c(4/10,3/10,2/10, 1/10)) Fx. <- function(x){ ifelse(x<1,4/10, ifelse(x <2,7/10, ifelse(x<3,9/10))) } Fx.(2.5)

graf1 <- ggplot(tabla2, aes(x = x,y = fx.)) + geompoint(size = 3,col = "purple") + geomsegment(aes(x=x, xend=x, y = 0, yend = fx.),linetype ="dashed", col = "purple") + labs(title = "Gráfica de la distribución de probabilidad del ejemplo")

graf1 ```

Tercera pregunta

Suponga que X tiene la función de densidad dada abajo

a. Dibuje la función de densidad (debe encontrar el valor de k) b. Dibuje F(x) c. Encuentre P( 0.4 < X < 0.8) redondeado a 3 decimales. ```{r}

fx <- function(x){(x-x^2)} integralvalor <- integrate(fx, lower = 0, upper = 1)$value k <- 1 / integralvalor cat("El valor de k que hace que f(x) sea una densidad es: k =", k, "\n")

f <- function(x) { ifelse(x > 0 & x < 1, 6x-6x^2, 0)}

probb <- integrate(f, lower = 0.4, upper = 0.8)$value cat("P(0.4 < X < 0.8) =", probb, "\n")

x <- seq(0,1,by = 0.001) plot(x, fx(x),main="Gráfica de la función de densidad del ejemplo",col="brown", type = "l")

```

Cuarta pregunta

Suponga que un distribuidor de joyería antigua está interesado en comprar un collar de oro para el que tiene 0.22 de probabilidades de venderlo con $250 de utilidad; 0.36 de venderlo con $150 de utilidad; 0.28 de venderlo al costo y 0.14 de venderlo con una pérdida de $150. ¿Cuál es la desviación estándar de la utilidad?

```{r}

tabla3 <- data.frame(x = 1:4, f.x=c(250,150,0,-150))

x = c(250,150,0,-150) fx = c(0.22,0.36,0.28,0.14) cat("mu es:",sum(x*fx))

mu <- sum(xfx) va <- sum(x^2fx) vareal <- va-mu^2 cat("la varianza es:",vareal)

desviacion <- sqrt(vareal) desviacion ```

Quinta pregunta

Calcule la proporción X de personas que se podría esperar que respondieran a cierta encuesta que se envía por correo, si X tiene la función de densidad mostrada. Dibuje la función de densidad ```{r} f4. <- function(x) { ifelse(x > 0 & x < 1, 2*(x+2)/5, 0) }

E.x4 <- integrate(function(x){ x * f4.(x)},lower = 0, upper = 1)$value

c("El valor esperado de X es :", E.x4)

x. <- seq(-1,2,by = 0.001) plot(x., f4.(x.),main="Gráfica de la función de densidad del ejemplo",col="brown", type = "l") ```

Sexta pregunta

1. El tiempo de falla (en cientos de horas) para un transistor es una variable aleatoria Y con función de distribución dada abajo.

a. Dibuje F(y) b. Dibuje f(y) c. Encuentre la probabilidad de que el transistor opere durante al menos 200 horas. ```{r}

fyy <- function(y) ifelse(y >= 0, 2yexp(-y^2), 0)

yy <- integrate(fyy, lower = 2, upper = Inf)$value yy

y <- seq(0,1,by = 0.001) plot(y, fyy(y),main="Gráfica f(y)",col="brown", type = "l")

```