Introdução

Na inferência bayesiana, a incerteza sobre o parâmetro desconhecido \(\theta\) é modelada por meio de uma distribuição de probabilidade, chamada distribuição a priori e denotada por \(p(\theta)\).

Assim, \(\theta\) é tratado como uma variável aleatória.

Enquanto a inferência clássica utiliza a distribuição amostral de uma estatística (com \(\theta\) fixo e desconhecido), a abordagem bayesiana baseia-se na distribuição a posteriori, obtida pela aplicação do Teorema de Bayes:

\[ p(\theta|x) = \frac{f(x|\theta)p(\theta)}{\int_\Theta f(x|\theta)p(\theta)d\theta} \]

Em que:

• \(f(x|\theta)\) é a função de verossimilhança (informação dos dados);
• \(p(\theta)\) é a distribuição a priori (crença inicial);
• \(p(\theta|x)\) é a distribuição a posteriori (crença atualizada após observar os dados).

Como o denominador não depende de \(\theta\), pode-se escrever:

\[ p(\theta|x) \propto f(x|\theta)p(\theta) \]

Essa relação mostra que a posteriori é proporcional ao produto da verossimilhança e da priori, o que constitui a base da inferência bayesiana.

Escolha da Distribuição a Priori

A escolha de \(p(\theta)\) é um ponto crítico da análise bayesiana. Essa distribuição deve refletir o conhecimento prévio do pesquisador e respeitar o espaço paramétrico.

Ela pode ser classificada de várias formas:

• Quanto à propriedade

  • Própria: integra-se a 1 (função densidade válida);

  • Imprópria: não integra a 1 (usada em priores não informativos).

• Quanto à relação com a verossimilhança

  • Subjetiva: independe da amostra (baseada em conhecimento prévio);

  • Objetiva: pode depender dos dados (por exemplo, priori de Jeffreys).

• Quanto ao nível de informação
  • Não informativa: representa ausência de conhecimento prévio (proporcional a uma constante);
    
  • Informativa: incorpora conhecimento anterior sobre o parâmetro.

Distribuições Conjugadas: Introdução

Uma priori conjugada é uma distribuição escolhida de forma que, após atualizar com os dados, a posteriori pertença à mesma família de distribuições.

Essa escolha simplifica muito o cálculo da posteriori e é amplamente usada em aplicações práticas, como a precificação de seguros.

Definição Formal

Dizemos que uma distribuição \(p(\theta)\) é conjugada à verossimilhança \(p(x|\theta)\) se a distribuição a posteriori \(p(\theta|x)\) tem a mesma forma funcional que \(p(\theta)\).

\[ p(\theta | x) \propto p(x | \theta) \, p(\theta) \]

👉 Assim, basta atualizar os parâmetros da distribuição para obter a posteriori.

Principais Distribuições Conjugadas e Aplicações em Seguros

Interpretação e Contexto Atuarial

Exemplo Clássico: Binomial–Beta

Quando a variável aleatória segue uma Binomial, a conjugada natural da probabilidade de sucesso θ é uma distribuição Beta.

• Verossimilhança:

  \[ X | \theta \sim \text{Binomial}(n, \theta) \]

• Priori:

  \[ \theta \sim \text{Beta}(\alpha, \beta) \]

• Posteriori (conjugada):

  \[ \theta | x \sim \text{Beta}(\alpha + x,\ \beta + n - x) \]

Interpretação dos Parâmetros

Atualização Bayesiana Intuitiva

A conjugação Beta–Binomial pode ser entendida como uma média ponderada entre:

• a informação anterior (priori), e

• os dados observados (verossimilhança).

\[ \text{Posteriori} = \text{Atualização}(\text{Priori}, \text{Dados}) \]

Cada observação ajusta os “contadores” da distribuição Beta:

• Aumenta alpha quando há sinistro (sucesso);

• Aumenta beta quando não há sinistro.

Exemplo Numérico Simples

Suponha que a probabilidade de sinistro \(\theta\) segue a priori:

\[ \theta \sim \text{Beta}(2, 5) \]

Após observar 3 sinistros em 10 contratos, temos:

\[ \theta | x \sim \text{Beta}(2 + 3,\ 5 + 10 - 3) = \text{Beta}(5, 12) \]

A média a posteriori é:

\[ E[\theta|x] = \frac{5}{5 + 12} \approx 0.294 \]

Vantagens das Prioris Conjugadas

• Facilidade analítica: evita integrais complexas.
  
• Interpretação intuitiva: os parâmetros representam “experiência anterior”.
  
• Eficiência computacional: permite cálculos diretos.
  
• Coerência: a forma da distribuição é preservada após observar os dados.

Aplicação à Precificação de Seguros

Na precificação:

• Cada contrato pode ou não gerar sinistro → modelo Binomial.

• A probabilidade de sinistro é incerta → priori Beta.

• A conjugação Beta–Binomial permite atualizar as crenças e prever sinistros futuros de forma simples e coerente.

Priori Não-Informativas (Objetivas)

Usadas quando a informação prévia é escassa ou se deseja que os dados dominem a inferência.

A. Método de Bayes-Laplace (Uniforme)

• O que é: Assume que todos os valores possíveis de \(\theta\) são igualmente prováveis em um intervalo. Priori: \(\pi(\theta) \propto 1\).
• Objetivo: Introduzir o mínimo de informação prévia.
• Exemplo: Um novo tipo de seguro (nova taxa \(\lambda\)). Se não há dados históricos, assume-se que \(\lambda\) pode ser qualquer valor de 0 a um limite máximo razoável com a mesma probabilidade.

B. Método de Jeffreys

• O que é: Uma priori objetiva baseada na Informação de Fisher.
• Vantagem: Garante que a inferência não mude se você escolher modelar, por exemplo, \(\theta\) ou \(\log(\theta)\).
• Exemplo: Para a taxa de sinistros \(\lambda\) (Poisson), a Prior de Jeffreys é \(\pi(\lambda) \propto \frac{1}{\sqrt{\lambda}}\).

Interpretação Bayesiana

Após observar os dados \(x\), a distribuição a posteriori \(p(\theta|x)\) contém toda a informação atualizada sobre \(\theta\).

Inferências pontuais podem ser obtidas por:

• Média a posteriori: \(E[\theta|x]\)
  
• Moda a posteriori (MAP): valor de \(\theta\) que maximiza \(p(\theta|x)\)
  
• Mediana a posteriori: \(P(\theta \le \tilde{\theta}|x) = 0.5\)

Intervalos de credibilidade podem ser obtidos diretamente da posteriori.

• Exemplo

Uma seguradora oferece um seguro residencial contra incêndio. Ainda há poucos dados disponíveis: em 10 contratos observados no último ano, ocorreram 3 sinistros.

Queremos estimar a probabilidade de ocorrência de sinistro por contrato:

\[ \theta = P(\text{sinistro}) \]

Modelagem

Como cada contrato pode ou não ter sinistro:

\[ X \sim \text{Binomial}(n=10, \theta) \]

A seguradora não possui crenças anteriores sobre \(\theta\),
então adota a priori uniforme, ou seja:

\[ \theta \sim \text{Uniforme}(0,1) \]

Equivalentemente:

\[ \theta \sim \text{Beta}(1,1) \]

Distribuição a Posteriori

Com \(x=3\) sinistros em \(n=10\) contratos,
a posteriori segue uma distribuição Beta com parâmetros atualizados:

\[ \theta | x \sim \text{Beta}(x + 1, n - x + 1) \]

Substituindo os valores:

\[ \boxed{\theta | x \sim \text{Beta}(4,8)} \]

A média a posteriori é:

\[ E[\theta | x] = \frac{4}{4 + 8} = \frac{1}{3} \approx 0.333 \]

Interpretação

O valor estimado de \(\theta\) indica um sinistro a cada três contratos.

Se o custo médio por sinistro é \(C = R\$10.000\),
o prêmio puro esperado é:

\[ \text{Prêmio Bayesiano} = C \times E[\theta|x] = 10.000 \times 0.333 = R\$3.333 \]

Implementação no R

# Dados do problema
n <- 10
x <- 3
custo <- 10000

# Priori Uniforme (Beta(1,1))
alpha_prior <- 1
beta_prior  <- 1

# Posteriori
alpha_post <- alpha_prior + x
beta_post  <- beta_prior + (n - x)

# Estimativa Bayesiana
theta_bayes <- alpha_post / (alpha_post + beta_post)
premio_puro <- theta_bayes * custo

theta_bayes
premio_puro

[1] 0.3333333

[1] 3333.333

Distribuição Preditiva Posterior

A distribuição preditiva posterior é utilizada quando queremos prever novos sinistros, e não apenas estimar o parâmetro de probabilidade de sinistro (theta).

Após observar os dados, temos a distribuição a posteriori para theta, que representa nossa crença sobre a probabilidade de sinistro.

Mas ainda existe incerteza sobre theta.
Para incorporar essa incerteza nas previsões de novos contratos, usamos:

\[ p(y_{novo} | x) = \int p(y_{novo} | \theta)\, p(\theta | x)\, d\theta \]

Essa expressão calcula a probabilidade preditiva de novos sinistros, considerando todas as possíveis probabilidades theta, ponderadas pela incerteza da posteriori.

Por que Beta-Binomial?

• O modelo de sinistros segue uma distribuição Binomial, pois cada contrato pode ou não ter sinistro:

  \[ Y | \theta \sim \text{Binomial}(m, \theta) \]

• A incerteza sobre theta é modelada pela distribuição Beta, proveniente da posteriori:

  \[ \theta | x \sim \text{Beta}(\text{alpha_post}, \text{beta_post}) \]

• A combinação dessas duas distribuições (Binomial e Beta) leva a uma distribuição Beta-Binomial:

  \[ Y | x \sim \text{Beta-Binomial}(m, \text{alpha_post}, \text{beta_post}) \]

Essa distribuição incorpora a variabilidade dos dados futuros e a incerteza sobre o parâmetro, sendo portanto mais realista.

Interpretação Visual

Intervalo de Credibilidade?

O intervalo de credibilidade é uma medida de incerteza bayesiana sobre o parâmetro de interesse — neste caso, a probabilidade de sinistro (theta).

Enquanto o intervalo de confiança clássico (frequentista) se baseia em amostras hipotéticas repetidas, o intervalo de credibilidade é obtido diretamente da distribuição a posteriori, representando a probabilidade de que o parâmetro esteja em determinado intervalo.

Definição

Dada uma posteriori \(p(\theta | x)\), o intervalo de credibilidade de 95% é o intervalo \([a, b]\) tal que:

\[ P(a \leq \theta \leq b \mid x) = 0.95 \]

Isso significa que, com base nos dados observados e na informação prévia, há 95% de probabilidade de que o verdadeiro valor de \(\theta\) esteja entre a e b.

Diferença para o Intervalo de Confiança

Intuição

O intervalo de credibilidade mostra onde o parâmetro é mais plausível, dados:

1. O que sabíamos antes (a priori), e

2. O que observamos nos dados (verossimilhança).

No exemplo da posteriori Beta(4,8), ele indicará a faixa mais provável para a chance real de sinistro.

Interpretação dos Resultados

O intervalo de credibilidade de 95% mostra os valores mais prováveis para a verdadeira probabilidade de sinistro.

Para Beta(4,8):

\[IC_{95\%} = [0,11; 0,61]\]

• Há 95% de probabilidade de que theta esteja entre 0,11 e 0,61.

• A média posteriori é round(media_post, 2) \(\rightarrow\) probabilidade média de sinistro \(\approx\) 33%.

# Média da posteriori
media_post <- alpha_post / (alpha_post + beta_post)
round(media_post, 2)

[1] 0.33

• O intervalo de credibilidade é uma forma intuitiva e probabilística de expressar incerteza.

• Ele respeita o raciocínio bayesiano, pois parte da crença anterior e a atualiza com os dados.

• Em precificação de seguros, o intervalo ajuda a:

  • Quantificar a incerteza do risco;
  • Comunicar o grau de confiança sobre o prêmio estimado;
  • Definir estratégias de precificação mais seguras e transparentes.

Aplicação com Dados Reais

Dados: Insurance, disponível no pacote MASS do R.

Este banco contém informações reais de seguros automotivos na Suíça, sendo amplamente usado em exemplos de modelagem atuarial e de risco.

📊 Objetivo: Estimar a probabilidade média de sinistro
\[\theta = \frac{\text{Claims}}{\text{Holders}}\]
usando inferência bayesiana, e com base nela calcular os prêmios puro e conservador.

Carregando e Explorando o Banco de Dados

library(MASS)
data("Insurance")

head(Insurance, 5)
summary(Insurance)

# Totais agregados
n <- sum(Insurance$Holders)  # total de apólices
x <- sum(Insurance$Claims)   # total de sinistros

cat("Total de apólices:", n, "\n")
cat("Total de sinistros:", x, "\n")
cat("Taxa bruta de sinistros:", round(x/n, 7))

• Cada linha representa uma combinação de região, grupo e faixa etária.

• As colunas Holders e Claims nos permitem observar a frequência de sinistros por grupo.

• Essa estrutura permite aplicar a inferência Bayesiana conjugada:

  • Priori: crença inicial sobre o risco de sinistro.

  • Verossimilhança: dados observados (Claims / Holders).

  • Posteriori: atualização das crenças após observar os dados.

Atualização Bayesiana

• Verossimilhança: X \(\sim\) Binomial(\(n, \theta\))

• Priori: \(\theta \sim\) Beta(1,1) (Uniforme)

• Posteriori: \(\theta | x \sim\) Beta(\(x+1,n-x+1\))

alpha_prior <- 1
beta_prior  <- 1
alpha_post <- alpha_prior + x
beta_post  <- beta_prior + (n - x)

media_post <- alpha_post / (alpha_post + beta_post)
ic_95 <- qbeta(c(0.025, 0.975), alpha_post, beta_post)

cat("Número de apólices:", n, "\n")
cat("Número de sinistros:", x, "\n")
cat("Probabilidade média de sinistro:", round(media_post, 7), "\n")
cat("Intervalo de credibilidade 95%:", round(ic_95, 4), "\n")

Intervalo de credibilidade e Distribuição posteriori

Número de apólices: 23359 

Número de sinistros: 3151 

Probabilidade média de sinistro: 0.1349257 

Intervalo de credibilidade 95%: 0.1306 0.1393 

Distribuição Preditiva Posterior (Beta–Binomial)

Para m=10 novos contratos

Distribuição preditiva

Estatísticas preditivas e prêmios

media_pred <- m * alpha_post / (alpha_post + beta_post)
variancia_pred <- m * alpha_post * beta_post * (alpha_post + beta_post + m) /
  ((alpha_post + beta_post)^2 * (alpha_post + beta_post + 1))

cat("Média preditiva (nº esperado de sinistros):", round(media_pred, 4), "\n")
cat("Variância preditiva:", round(variancia_pred, 4), "\n")

# Cálculo dos prêmios
custo_sinistro <- 10000
premio_puro <- media_post * custo_sinistro
premio_conservador <- ic_95[2] * custo_sinistro

cat("Prêmio puro esperado (R$):", round(premio_puro, 2), "\n")
cat("Prêmio conservador (R$):", round(premio_conservador, 2), "\n")

Média preditiva (nº esperado de sinistros): 1.3493 

Variância preditiva: 1.1677 

Prêmio puro esperado (R$): 1349.26 

Prêmio conservador (R$): 1393.36 

Simulação Interativa – Efeito do Número de Sinistros

Esquema Bayesiano — Síntese da Metodologia

Incorporação de dados

\[ \textbf{Verossimilhança: } X \mid \theta \sim \text{Binomial}(n, \theta) \] Os dados observados (sinistros) atualizam a informação sobre \(\theta\).

Atualização Bayesiana

\[ \textbf{Posteriori: } \theta \mid X \sim \text{Beta}(\alpha + x, \beta + n - x) \] Combinação de crença anterior + evidência dos dados → nova crença sobre \(\theta\).

Previsão

Distribuição Preditiva: \[ Y \mid X \sim \text{Beta–Binomial}(m, \alpha + x, \beta + n - x) \] Predição do número de sinistros em novos contratos.

Decisão Atuarial

\[ \textbf{Prêmio Esperado: } \pi = C \cdot E[\theta \mid X] \] \[ \textbf{Prêmio Conservador: } \pi_c = C \cdot q_{0.95}(\theta \mid X) \]

Em que:

• \(C\) é o custo médio por sinistro,
  
• \(E[\theta \mid X]\) é a média da posteriori (prêmio puro),
  
• \(q_{0.95}(\theta \mid X)\) é o limite superior do intervalo de credibilidade (prêmio prudente).

Resumo

⚖️ Síntese