Parcial

library(ggplot2)
library(flextable)
library(DiagrammeR)

Primera pregunta

Algunos casos de historias clínicas indican que diferentes enfermedades producen síntomas idénticos. Suponga que un conjunto particular de síntomas, denotado como H, se presenta sólo con cualquiera de tres enfermedades, I1, I2 o I3. Suponga que la presentación simultánea de más de una de estas enfermedades es imposible y que P(I1) = 0.01, P(I2) = 0.005, P(I3) = 0.02. Las probabilidades de desarrollar el conjunto de síntomas H, dada cada una de estas enfermedades, se sabe que son: P(H | I1) = 0.90, P(H | I2) = 0.95, P(H | I3) = 0.75

Elabore un dataframe que resuma la información.
Suponiendo que una persona enferma presenta los síntomas, H, ¿Cuál es la probabilidad de que la persona tenga la enfermedad I1?

Solución

enfermedades <- data.frame(
Enfermedad = c("I1", "I2", "I3"),
P_I = c(0.01, 0.005, 0.02),
P_H_dado_I = c(0.90, 0.95, 0.75)
)

enfermedades
##   Enfermedad   P_I P_H_dado_I
## 1         I1 0.010       0.90
## 2         I2 0.005       0.95
## 3         I3 0.020       0.75

library(DiagrammeR)

grViz("
digraph arbol_enfermedades {
  node [shape=circle, style=unfilled, color=purple]


  Inicio -> I1 [label='P(I1)=0.01']
  Inicio -> I2 [label='P(I2)=0.005']
  Inicio -> I3 [label='P(I3)=0.02']

  I1 -> H1 [label='P(H|I1)=0.90']
  I1 -> NoH1 [label='P(¬H|I1)=0.10']

  I2 -> H2 [label='P(H|I2)=0.95']
  I2 -> NoH2 [label='P(¬H|I2)=0.05']

  I3 -> H3 [label='P(H|I3)=0.75']
  I3 -> NoH3 [label='P(¬H|I3)=0.25']
}
")

library(flextable)

p.I1 <- 0.01 # P(I1)
p.I2 <- 0.005 # P(I2)
p.I3 <- 0.02 # P(I3)
p.H_I1 <- 0.90 # P(H|I1)
p.H_I2 <- 0.95 # P(H|I2)
p.H_I3 <- 0.75 # P(H|I3)
p.HI1 <- p.I1 * p.H_I1
p.HI2 <- p.I2 * p.H_I2
p.HI3 <- p.I3 * p.H_I3
p.H <- sum(p.HI1, p.HI2, p.HI3)
tabla1 <- data.frame(
. = c("Presenta síntomas (H)", "No presenta síntomas (¬H)", "Total"),
I1 = c(p.HI1, p.I1 - p.HI1, p.I1),
I2 = c(p.HI2, p.I2 - p.HI2, p.I2),
I3 = c(p.HI3, p.I3 - p.HI3, p.I3),
Total = c(p.H, 1 - p.H, 1)
)
flextable(tabla1)

.	I1	I2	I3	Total
Presenta síntomas (H)	0.009	0.00475	0.015	0.02875
No presenta síntomas (¬H)	0.001	0.00025	0.005	0.97125
Total	0.010	0.00500	0.020	1.00000

con base a la tabla la respuesta es:

p.I1_dado_H <- p.HI1 / p.H
cat("P(I1|H) = ", round(p.HI1,5), "/", round(p.H,5), " = ", round(p.I1_dado_H,4))
## P(I1|H) =  0.009 / 0.02875  =  0.313

segunda pregunta

Sea X una variable aleatoria con f(x) dada en la siguiente tabla.

Dibuje la función de probabilidad.
Obtenga la función de distribución, F(x), y, con base en ella, encuentre F(2.5)

library(flextable)

x <- c(1, 2, 3, 4)
f.x <- c(0.4, 0.3, 0.2, 0.1)
barplot(f.x, names.arg = x, col = "skyblue",
main = "Función de Probabilidad f(x)",
xlab = "x", ylab = "f(x)")


F.x <- cumsum(f.x)
tabla <- data.frame(x, f.x, F.x)

flextable(tabla)

x	f.x	F.x
1	0.4	0.4
2	0.3	0.7
3	0.2	0.9
4	0.1	1.0


F_2_5 <- F.x[which(x == 2)]
cat("F(2.5) =", F_2_5)
## F(2.5) = 0.7

tercera pregunta

Suponga que X tiene la función de densidad dada abajo

Dibuje la función de densidad (debe encontrar el valor de k)
Dibuje F(x)
Encuentre P( 0.4 < X < 0.8) redondeado a 3 decimales.

Encontrar el valor de k

La función es f(x) = kx(1-x), 0 <= x <= 1 Para que sea una función de densidad, el área total bajo la curva debe ser 1

\[ \int_{0}^{1} kx(1-x) dx = 1 \]

integral <- integrate(function(x) x*(1-x), 0, 1)$value
k <- 1 / integral
cat("Valor de k =", k, "\n")
## Valor de k = 6

Dibujar f(x) y F(x)

f <- function(x) ifelse(x >= 0 & x <= 1, k*x*(1-x), 0)
F <- function(x) ifelse(x < 0, 0,
ifelse(x <= 1, k*((x^2)/2 - (x^3)/3), 1))

curve(f, from = 0, to = 1, col = "blue", lwd = 2,
main = "Función de Densidad f(x)", ylab = "f(x)", xlab = "x")


curve(F, from = 0, to = 1, col = "skyblue", lwd = 2,
main = "Función de Distribución F(x)", ylab = "F(x)", xlab = "x")

Calcular P(0.4 < X < 0.8)

P <- integrate(f, 0.4, 0.8)$value
cat("P(0.4 < X < 0.8) =", round(P, 3))
## P(0.4 < X < 0.8) = 0.544

Cuarta Pregunta

Suponga que un distribuidor de joyería antigua está interesado en comprar un collar de oro para el que tiene 0.22 de probabilidades de venderlo con $250 de utilidad; 0.36 de venderlo con $150 de utilidad; 0.28 de venderlo al costo y 0.14 de venderlo con una pérdida de $150. ¿Cuál es la desviación estándar de la utilidad?

x <- c(250, 150, 0, -150)
p <- c(0.22, 0.36, 0.28, 0.14)
sum(p)
## [1] 1

E_X <- sum(x * p)
cat("Valor esperado =", E_X, "\n") #valor esperado
## Valor esperado = 88

E_X2 <- sum((x^2) * p)
Var_X <- E_X2 - (E_X)^2           # varianza
cat("Varianza =", Var_X, "\n")
## Varianza = 17256

Desv_X <- sqrt(Var_X)
cat("Desviacion estandar =", round(Desv_X, 2))
## Desviacion estandar = 131.36

Quinta pregunta

Calcule la proporción X de personas que se podría esperar que respondieran a cierta encuesta que se envía por correo, si X tiene la función de densidad mostrada. Dibuje la función de densidad

f <- function(x) ifelse(x > 0 & x < 1, (2*(x + 2))/5, 0)
E_X <- integrate(function(x) x * (2*(x + 2))/5, 0, 1)$value
cat("Proporcion esperada E[X] =", round(E_X, 4), "\n")
## Proporcion esperada E[X] = 0.5333

area <- integrate(f, 0, 1)$value
cat("Área bajo f(x) =", area, "\n") # verificas que si es funcion de densidad
## Área bajo f(x) = 1

curve(f, from = 0, to = 1, col = "blue", lwd = 2,
main = "Funcion de Densidad f(x)", ylab = "f(x)", xlab = "x")

Sexta Pregunta

1. El tiempo de falla (en cientos de horas) para un transistor es una variable aleatoria Y con función de distribución dada abajo.

Dibuje F(y)
Dibuje f(y)
Encuentre la probabilidad de que el transistor opere durante al menos 200 horas.

F <- function(y) ifelse(y < 0, 0, 1 - exp(-y^2))

curve(F, from = -1, to = 3, col = "darkblue", lwd = 2,
      main = "Funcion de Distribucion F(y)",
      ylab = "F(y)", xlab = "y")


f <- function(y) ifelse(y >= 0, 2*y*exp(-y^2), 0)

curve(f, from = 0, to = 3, col = "darkred", lwd = 2,
      main = "Funcion de Densidad f(y)",
      ylab = "f(y)", xlab = "y")


P <- 1 - F(2)
cat("P(Y ≥ 2) =", round(P, 4), "\n")
## P(Y ≥ 2) = 0.0183

Parcial_2

Darwin Padilla

2025-10-30