hllinas2023

1 Distribuciones especiales

1.0.1 Discretas

Uniforme discreta, de Bernoulli, binomial, de Poisson, hipergeométrica, binomial negativa, geométrica, de Polya, multinomial, etc.

En la tabla de abajo se presenta un resumen de las distribuciones discretas más importantes.

1.0.2 Continuas

Uniforme continua, normal, gamma, exponencial, \(t\) de Student, Chi-cuadrada, \(F\) de Fisher, Cauchy, Beta, de Laplace, Log-normal, de Rayleigh, Weibull, de Maxwell, del valor extremo, etc.

En la tabla de abajo se presenta un resumen de las distribuciones continuas más importantes.

2 Distribución de funciones de variables aleatorias

2.0.1 Teorema de transformación (univariado)

Es importante anotar que si \(g\) es una función continua y \(X\) es una variable aleatoria, entonces, \(g(X)\) también es una variable aleatoria. Por esta razón, queremos expresar, para algunas funciones especiales \(f\), la función de distribución de \(Y:=g(X)\) a través de la función de distribución de \(X\).

Theorem 2.1 (Transformación) Sea \(X\) una variable aleatoria continua con densidad de probabilidad \(f_X\). Si \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) es continuamente diferenciable sobre \(\mathbb{R}\) y \(g(x)\ne 0\) para todo \(x\in\mathbb{R}\), entonces la función de densidad de la variable \(Y=g(X)\) está dada por \[f_Y(x)= \left\{ \begin{array}{ll} f_X\big(h(x)\big)|h'(x)|, & \hbox{para todo $x$ en el rango de $g$;} \\ 0, & \hbox{de otro modo} \end{array} \right. \]

siendo \(h:=g^{-1}\) la inversa de \(g\).

Proof:

Se deja al lector. \(\blacksquare\)

2.0.2 Relaciones entre algunas distribuciones

Theorem 2.2 (Normal) Si \(X\) tiene distribución normal con parámetros \(\mu\) y \(\sigma^2\), es decir, \(X \stackrel{\atop d}{=} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\), entonces, \(aX+b \stackrel{\atop d}{=} \mathcal{N}(a\mu+b, a^2\sigma^2)\), para todo \(a,b\in\mathbb{R}\).

Proof:

Como ejercicio. Aplicar el teorema 2.1. \(\blacksquare\)

A continuación, vemos algunas distribuciones normales.

Theorem 2.3 (Normal estándar) \(X\stackrel{\atop d}{=} \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)\) si y sólo si \(\frac{X-\mu}{\sigma}\stackrel{\atop d}{=} \mathcal{N}(0,1)\).

Proof:

Como ejercicio. Aplicar el teorema 2.1. \(\blacksquare\)

Theorem 2.4 (Gamma) Sea \(X\) una variable aleatoria real. Sea \(\gamma\big(\alpha, \beta\big)\) la distribución gamma con parámetros \(\alpha\) y \(\beta\).

  1. Si \(X \stackrel{\atop d}{=} \mathcal{N}(0,\sigma^2)\), entonces, \(X^2 \stackrel{\atop d}{=} \gamma\big(\frac{1}{2}, 2\sigma^2\big)\).

  2. Si \(X \stackrel{\atop d}{=}\gamma(\alpha,\beta)\), entonces, \(cX \stackrel{\atop d}{=} \gamma(\alpha, c \,\beta)\), para todo \(c>0\).

Proof:

Como ejercicio. Aplicar el teorema 2.1. \(\blacksquare\)

A continuación, vemos algunas distribuciones gammas.

Theorem 2.5 (Chi-cuadrada) Supongamos que \(\chi^2 (n)\) representa la distribución chi-cuadrada con \(n\) grados de libertad.

  1. \(\chi^2(n)=\gamma\left(\frac{n}{2}, 2\right)\).

  2. Si \(X\stackrel{\atop d}{=} \mathcal{N}(0,1)\), entonces, \(X^2\stackrel{\atop d}{=} \chi^2(1)\).

Proof:

Como ejercicio. En la parte (b) aplicar el teorema 2.1. \(\blacksquare\)

A continuación, vemos algunas distribuciones chi-cuadradas.

3 Ejercicios

Realizar los ejercicios que se indican abajo.

3.0.1 Ejercicios del 1 al 4

  1. Investigue las definiciones de \(\sigma\)-álgebra y de medida de probabilidad.

  1. Sea \(\Omega=\{1,2,3\}\). Verifique si los siguientes conjuntos forman una \(\sigma\)-álgebra de \(\Omega\):

    \[\mathbb{F}_1=\{\emptyset, \{1\}, \{2,3\}, \Omega\}, \qquad \mathbb{F}_2=\{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{3\}, \Omega\}\]

  1. Sea \(\Omega=\{1,2\}\) y \(\mathbb{F}\) el conjunto potencia de \(\Omega\). Demuestre que la siguiente aplicación \(P\) definida sobre \(\mathbb{F}\) es una medida de probabilidad: \[P(A)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{si $A=\emptyset$;} \\ 1/3, & \hbox{$A=\{1\}$;} \\ 2/3, & \hbox{A=\{2\};} \\ 1, & \hbox{A=\{1,2\}.} \end{array} \right. \]
  1. Sea \(\Omega=\{1,2,3\}\) y \(\mathbb{F} =\{\emptyset, \Omega, \{2\}, \{1,3\}\}\). Demuestre que los eventos \(\emptyset\) y \(\{3\}\) son eventos nulos y verifique que \(P\) es una medida de probabilidad, donde \(P\) está definida sobre \(\mathbb{F}\) como: \[P(A)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & \hbox{si $2\not\in A$;} \\ 1, & \hbox{si $2\in A$} \end{array} \right. \]

3.0.2 Ejercicio 5

Sea \(\Omega \ne \emptyset\) y \(\mathbb{F}\) una \(\sigma\)-álgebra en \(\Omega\). Para \(A\), \(B\), \((A_n)_{n\in\mathbb{N}}\), \((B_n)_{n\in\mathbb{N}}\in\mathbb{F}\) demuestre las siguientes propiedades que satisface una medida de probabilidad:

  1. \(P(\emptyset)=0\).

  2. Aditividad: Si los eventos \(A_i\), para \(i=1, \ldots, n\), son disyuntos dos a dos, entonces, \(P\left(\bigcup\limits_{i=1}^n A_i \right) = \sum\limits_{i=1}^n P(A_i)\).

  3. \(P(\overline {A})= 1- P(A)\).

  4. Monotonía: Si \(A\subseteq B\), entonces, \(P(A)\leq P(B)\). En especial, \(P(A)\leq 1\).

  5. Teorema de adición para 2 eventos o fórmula de Silvester: \[P(A\cup B)= P(A) + P(B) - P(A\cap B)\]

3.0.3 Ejercicios del 6 al 9

  1. Teorema de la probabilidad total. Sea dada una descomposición finita o enumerable \(A_1,A_2,\ldots\) de \(\Omega\), es decir, \(A_1, A_2, \ldots \in\mathbb{F}\) son disyuntos dos a dos y \(\bigcup\limits_{n=1}^\infty A_n=\Omega\). Entonces, para cada \(B\in\mathbb{F}\), se tiene que \[P(B)=\sum\limits_{n=1}^\infty P(B/A_n)\, P(A_n)\]
  1. Teorema o regla de Bayes. Sea \(A_1, A_2,\ldots\) una descomposición finita o enumerable de \(\Omega\). Entonces, para cada evento \(B\) con \(P(B)>0\) y para todo \(j\in\mathbb{N}\), se tiene \[P(A_j/B)=\frac{P(B/A_j)\, P(A_j)}{\sum\limits_{n=1}^\infty P(B/A_n) \, P(A_n)}\]
  1. Se sabe que en un grupo de cuatro componentes hay dos defectuosos. Una inspectora los prueba de uno en uno hasta encontrar las dos piezas defectuosas. Una vez que las localiza interrumpe las pruebas, pero examina la segunda pieza defectuosa por seguridad. Si \(X\) es el número de pruebas en la que se detecta la segunda pieza defectuosa, determine la función de probabilidad de \(X\).
  1. Para verificar la exactitud de sus estados financieros, las empresas a menudo emplean auditores que verifiquen sus ingresos. Los empleados de la empresa se equivocan al registrar los ingresos 5% de las veces. Suponga que un auditor revisa aleatoriamente tres ingresos y que la detección de los errores es independiente. Determine la función de probabilidad del número de errores detectado por el auditor.

3.0.4 Ejercicio 10

Se lanzan dos dados perfectos y se define la variable aleatoria \(X\) de la siguiente manera: \[X=\left\{ \begin{array}{ll} 2.000, & \hbox{si resultan 6 en ambos;} \\ 100, & \hbox{si resulta 6 sólo en uno;} \\ 0, & \hbox{si no resulta 6 en ninguno.} \end{array} \right.\]

  1. Calcule las tres probabilidades que determinan la distribución de \(X\).

  2. Calcule la esperanza de \(X\).

  3. Supóngase que este experimento representa un juego, en el cual los valores de \(X\) significan la ganancia (en pesos) del jugador y donde el jugador tiene que pagar 100 (pesos) antes. Interprete el valor de \(E(X)\).

3.0.5 Ejercicio 11

Responda las siguientes preguntas. Explique.

  1. Si \(A\), \(B\) y \(C\) son mutuamente excluyentes, ¿es posible que \(P(A)=0,3\), \(P(B)=0,4\) y \(P(C)=0,5\)?

  2. Si \(P(A/B)=1\), ¿se cumple \(A=B\)?

  3. Si \(A\) y \(B\) son eventos mutuamente excluyentes, ¿es posible construir un diagrama de Venn que contenga a los tres eventos \(A\), \(B\) y \(C\), tales que \(P(A/C)=1\) y \(P(B/C)=0\)?

3.0.6 Ejercicio 12

Sea \(X\) una variable aleatoria que tiene distribución exponencial con parámetro \(\lambda >0\).

  1. Demuestre que su función de densidad \(f\) es realmente una densidad.

  2. Encuentre una fórmula (y demuéstrela) para los valores \(F(t)\) de la función de distribución acumulada \(F\) y para \(P(X\geq t)\).

  3. Con base en el inciso anterior, halle \(F(-3)\) y \(P(X\geq -3)\).

  4. Demuestre que \(P(X\geq x+z \, /\, X\geq x) = P(X\geq z)\), para todo \(x, z >0\).

3.0.7 Ejercicio 13

Demuestre las siguientes afirmaciones:

  1. Para cualquier evento \(A\) y \(B\) con \(P(B)>0\) se cumple que \(P(A/B) + P(\overline{A}/B) = 1\).

  2. Si \(P(B/A) > P(B)\), entonces \(P(\overline{B}/A) <P(\overline{B})\). Sugerencia: Sume \(P(\overline{B}/A)\) ambos lados de la desigualdad y use el resultado de la parte (a).

  3. Para cualquiera de los tres eventos \(A\), \(B\) y \(C\) con \(P(C)>0\) se cumple que \[P(A\cup B /C) = P(A/C) + P(B/C) - P(A\cap B/C)\]

3.0.8 Ejercicios del 14 al 18

  1. Si \(A\) y \(B\) son independientes, demuestre que también lo son: (a) \(\overline{A}\) y \(B\); (b) sus complementos.
  1. Demostrar el teorema 2.3.
  1. Demostrar el teorema 2.4.
  1. Demostrar el teorema 2.5.
  1. Demostrar el teorema 2.5.

3.0.9 Ejercicios del 19 al 22

  1. Sea \(X\) una variable aleatoria real que tiene distribución exponencial con parámetro \(\lambda\). Hallar las correspondientes densidades de las siguientes variables aleatorias: (a) \(Y=X^2\); (b) \(Y=3X\).
  1. Halle la densidad de \(Y=X^2\) si \(X\) es una variable aleatoria real con función de densidad dada por \[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}, \quad x\in \mathbb{R}\]
  1. En un grupo de cuatro piezas hay dos defectuosas. Una inspectora las prueba de una en una hasta encontrar las dos piezas defectuosas. Una vez que las localiza interrumpe las pruebas, pero examina la segunda pieza defectuosa por seguridad. Si \(X\) es el número de pruebas en la que se detecta la segunda pieza defectuosa, determine la función de probabilidad de \(X\).
  1. Una urna contiene 100 bolas marcadas 00, 01, \(\ldots\), 99. Se saca una bola al azar que tiene la marca \(XY\). Es decir, la primera cifra \(X\) y la segunda \(Y\). Calcule la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos: (a) \(X=3\), (b) \(Y\ne 4\), (c) \(X \ne Y\), (d) \(X>Y\), (e) \(X\leq Y\), (f) \(X+Y=9\), (g) \(X<4\) y \(Y<3\), (h) \(X>4\), (i) \(X+Y\ne 8\), (j) \(X \ne 5\) y \(Y\ne 4\), (k) \(XY> 49\).

3.0.10 Ejercicios del 23 al 27

  1. Distribución de \(Y=aX+b\) (caso discreto). Si \(X\) es una variable aleatoria discreta con función de distribución acumulada \(F_X\) y de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X)\) con las funciones de distribución acumulada \(F_Y\) y de probabilidad \(f_Y\). Si \(Y=aX + b\) para todo \(a,b\in\mathbb{R}\), \(a\ne 0\), demuestre que \(f_Y(k)=f_X\big(\frac{k-b}{a}\big)\) para todo \(k\in \mathbb{R}\) y

\[F_Y(t)= \begin{cases} F_X\big(\frac{t-b}{a}\big) & \text{si $a>0$} \\ 1- F_X\big(\frac{t-b}{a}\big) + f_X\big(\frac{t-b}{a}\big) & \text{si $a<0$} \end{cases}\]

  1. Sea \(X\) una variable aleatoria que tiene función de probabilidad \(f_X\) dada por \(f_X(k) = {2\choose k} (0,3)^k(0,7)^{2-k}\), donde \(k\in \mathbb{N}\) y \(0\leq k\leq 2\). Si \(Y=2X\), encuentre: (a) La función de probabilidad \(f_Y\) de \(Y\); (b) La función de distribución acumulada \(F_Y\) de \(Y\).
  1. Distribución de \(Y=aX+b\) (caso continuo). Si \(X\) es una variable aleatoria continua con función de distribución \(F_X\) y densidad de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X)\) con la función de distribución \(F_Y\) y de densidad de probabilidad \(f_Y\). Si \(Y=aX + b\) para todo \(a,b\in\mathbb{R}\), \(a\ne 0\), aplique el teorema de transformación para demostrar que \(f_Y(y)= \frac{1}{|a|}f_X\big(\frac{y-b}{a}\big)\) y \[F_Y(t)= \begin{cases} F_X\big(\frac{t-b}{a}\big) & \text{si $a>0$} \\ 1- F_X\big(\frac{t-b}{a}\big) & \text{si $a<0$} \end{cases}\]
  1. Resuelva nuevamente el ejercicio 25, calculando primero \(F_Y\) y luego \(f_Y\).
  1. Repita el ejercicio 25, pero ahora \(X\) tiene distribución exponencial con parámetro 2.

3.0.11 Ejercicios del 28 al 31

  1. Distribución de \(Y=aX^2\) para \(a>0\) (caso discreto). Si \(X\) es una variable aleatoria discreta con funciones de distribución \(F_X\) y de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X)\) con la funciones de distribución \(F_Y\) y de probabilidad \(f_Y\). Si \(Y=a\,X^2\) para una constante \(a> 0\), demuestre que \[f_Y(k)= \begin{cases} 0, & \text{$k< 0$} \\ f_X(0), & \text{$k= 0$} \\ f_X(\sqrt{k/a}) + f_X(-\sqrt{k/a}), & \text{$k> 0$} \end{cases}\]

\[ F_Y(t)= \begin{cases} 0 & \text{$t< 0$} \\ f_X(0), & \text{$t= 0$} \\ F_X(\sqrt{t/a}) - F_X(-\sqrt{t/a}) + f_X(-\sqrt{t/a}), & \text{$t> 0$} \end{cases}\]

  1. Repita el ejercicio 28, pero ahora \(Y=2X^2\).
  1. Distribución de \(Y=aX^2\) para \(a<0\) (caso discreto). Si \(X\) es una variable aleatoria discreta con funciones de distribución \(F_X\) y de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X)\) con la funciones de distribución \(F_Y\) y de probabilidad \(f_Y\). Si \(Y=a\,X^2\) para una constante \(a< 0\), demuestre que \[f_Y(k)= \begin{cases} 0, & \text{$k>0$} \\ f_X(0), & \text{$k= 0$} \\ f_X(\sqrt{k/a}) + f_X(-\sqrt{k/a}), & \text{$k< 0$} \end{cases}\]

\[ F_Y(t)= \begin{cases} 1- F_X(\sqrt{t/a}) + F_X(-\sqrt{t/a}) + f_X(\sqrt{t/a}), & \text{$t< 0$}\\ 1-f_X(0), & \text{$t= 0$} \\ 1, & \text{$t> 0$} \end{cases}\]

  1. Repita el ejercicio 30, pero ahora \(Y=-2X^2\).

3.0.12 Ejercicios del 32 al 38

  1. Distribución de \(Y=aX^2\) para \(a>0\) (caso continuo). Si \(X\) es una variable aleatoria continua con función de distribución \(F_X\) y densidad de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X)\) con la función de distribución \(F_Y\) y densidad de probabilidad \(f_Y\). Si \(Y=a\,X^2\) para una constante \(a> 0\), aplique el teorema de transformación para demostrar que \[f_Y(y)= \begin{cases} 0, & \text{$y\leq 0$} \\ \frac{1}{2 a\sqrt{y/a}}[f_X(\sqrt{y/a}) + f_X(-\sqrt{y/a})], & \text{$y> 0$} \end{cases}\]

\[ F_Y(t)= \begin{cases} 0, & \text{$t\leq 0$} \\ F_X(\sqrt{t/a}) - F_X(-\sqrt{t/a}), & \text{$t> 0$} \end{cases}\]

  1. Resuelva nuevamente el 32, sin aplicar el de transformación, calculando primero \(F_Y\) y luego \(f_Y\).
  1. Repita el ejercicio 32, pero ahora \(X\) tiene distribución exponencial con parámetro 2. y \(Y=2X^2\).
  1. Distribución de \(Y=aX^2\) para \(a<0\) (caso continuo). Si \(X\) es una variable aleatoria continua con función de distribución \(F_X\) y densidad de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X)\) con la función de distribución \(F_Y\) y densidad de probabilidad \(f_Y\). Si \(Y=a\,X^2\) para una constante \(a< 0\), aplique el teorema de transformación para demostrar que \[f_Y(y)= \begin{cases} 0, & \text{$y\geq 0$} \\ -\frac{1}{2 a\sqrt{y/a}}[f_X(\sqrt{y/a}) + f_X(-\sqrt{y/a})], & \text{$y< 0$} \end{cases}\]

\[ F_Y(t)= \begin{cases} 1, & \text{$t\geq 0$} \\ 1- F_X(\sqrt{t/a}) + F_X(-\sqrt{t/a}), & \text{$t< 0$} \end{cases}\]

  1. Resuelva nuevamente el 35, sin aplicar el teorema de transformación, calculando primero \(F_Y\) y luego \(f_Y\).
  1. Repita el ejercicio 35, pero ahora \(X\) tiene distribución exponencial con parámetro 2 y \(Y=-2X^2\).
  1. Distribución de \(Y=X^n\) (caso continuo). Si \(X\) es una variable aleatoria continua con función de distribución \(F_X\) y densidad de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X) = X^n\). Halle la función de distribución acumulada \(F_Y\) y densidad de probabilidad \(f_Y\). Sugerencia: Distinga los caso \(n\) par y \(n\) impar.

3.0.13 Ejercicios del 39 al 42

  1. Distribución de \(Y=a|X|\) para \(a>0\) (caso discreto). Si \(X\) es una variable aleatoria discreta con funciones de distribución \(F_X\) y de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X)\) con la funciones de distribución \(F_Y\) y de probabilidad \(f_Y\). Si \(Y=a|X|\) para una constante \(a> 0\), encuentre \(f_Y\) y \(F_Y\).
  1. Repita el ejercicio 39 con \(Y=2|X|\).
  1. Distribución de \(Y=a|X|\) para \(a<0\) (caso discreto). Si \(X\) es una variable aleatoria discreta con funciones de distribución \(F_X\) y de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X)\) con la funciones de distribución \(F_Y\) y de probabilidad \(f_Y\). Si \(Y=a|X|\) para una constante \(a< 0\), encuentre \(f_Y\) y \(F_Y\).
  1. Repita el ejercicio 41 con \(Y=-2|X|\).

3.0.14 Ejercicios del 43 al 50

  1. Distribución de \(Y=a|X|\) para \(a>0\) (caso continuo). Si \(X\) es una variable aleatoria continua con función de distribución \(F_X\) y densidad de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X)\) con la función de distribución \(F_Y\) y densidad de probabilidad \(f_Y\). Si \(Y=a|X|\) para una constante \(a>0\), encuentre \(f_Y\) y \(F_Y\) aplicando el teorema de transformación.
  1. Resuelva nuevamente el ejercicio 43, pero sin aplicar el teorema de transformación, calculando primero \(F_Y\) y luego \(f_Y\).
  1. Repita el ejercicio 43, pero ahora \(X\) tiene distribución exponencial con parámetro 2 y \(Y=2|X|\).
  1. Distribución de \(Y=a|X|\) para \(a<0\) (caso continuo). Si \(X\) es una variable aleatoria continua con función de distribución \(F_X\) y densidad de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X)\) con la función de distribución \(F_Y\) y densidad de probabilidad \(f_Y\). Si \(Y=a|X|\) para una constante \(a<0\), encuentre \(f_Y\) y \(F_Y\) aplicando el teorema de transformación.
  1. Resuelva nuevamente el ejercicio 47, pero sin aplicar el teorema de transformación, calculando primero \(F_Y\) y luego \(f_Y\).
  1. Repita el ejercicio 47, pero ahora \(X\) tiene distribución exponencial con parámetro 2 y \(Y=-2|X|\).
  1. Distribución de \(Y=\sqrt{|X|}\) (caso continuo). Si \(X\) es una variable aleatoria continua con función de distribución \(F_X\) y densidad de probabilidad \(f_X\), entonces las siguientes funciones \(g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}\) definen las variables aleatorias \(Y=g(X)\) con la función de distribución \(F_Y\) y densidad de probabilidad \(f_Y\). Si \(Y=\sqrt{|X|}\), encuentre \(f_Y\) y \(F_Y\).

Anexos

A. Tablas estadísticas: Click derecho aquí.

B. Apéndice de tablas y diagramas: Click aquí.

Texto guía

  1. Llinás, H. (2014). Introducción a la teoría de probabibilidad. Barranquilla: Editorial Universidad del Norte.

Bibliografía complementaria

  1. LLinás, H., Rojas, C. (2005). Estadística descriptiva y distribuciones de probabilidad. Barranquilla: Editorial Universidad del Norte.

  2. Consultar mis Notas de clase en Estadística I.

  3. Consultar mis Notas de clase: Cap. 2 (Descriptiva).

  4. Consultar mis otras Notas de clase.

  5. Consultar el documento RPubs :: Enlace y materiales de ayuda.

 

  
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