Planteamiento

Una determinada librería recientemente inaugurada ofrece, además de la propia consulta de libros, los servicios de cafetería.
Para una próxima exposición en la Feria del Libro, la empresa ha decidido solicitar a una fábrica textil la elaboración de camisetas promocionales.

La fábrica decide hacer camisetas de tres tallas: L, XL y XXL.
Las alturas de los posibles compradores siguen una distribución normal:

\[ X \sim N(\mu = 165.4, \sigma = 8.3) \]

a) Proporción esperada de cada talla

\[ P(L) = P(X \le 161), \quad P(XL) = P(161 < X \le 179), \quad P(XXL) = P(X > 179) \]

Estandarizando:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

\[ Z_L = \frac{161 - 165.4}{8.3} = -0.53, \quad Z_{XL} = \frac{179 - 165.4}{8.3} = 1.64 \]

Entonces:

\[ P(Z \le -0.53) = 0.2981, \quad P(Z \le 1.64) = 0.9495 \]

\[ P(L) = 0.2981, \quad P(XL) = 0.9495 - 0.2981 = 0.6514, \quad P(XXL) = 1 - 0.9495 = 0.0505 \]

\[ P(L)=29.8\%, \quad P(XL)=65.1\%, \quad P(XXL)=5.1\% \]

mu <- 165.4
sigma <- 8.3

p_L  <- pnorm(161, mean = mu, sd = sigma)
p_XL <- pnorm(179, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(161, mean = mu, sd = sigma)
p_XXL <- 1 - pnorm(179, mean = mu, sd = sigma)

cat("P(L):", round(p_L, 4), "\n")
## P(L): 0.298
cat("P(XL):", round(p_XL, 4), "\n")
## P(XL): 0.6513
cat("P(XXL):", round(p_XXL, 4), "\n")
## P(XXL): 0.0507

b) Límites de altura para proporciones específicas

La empresa desea fabricar el 15% de camisetas talla L, el 63% de talla XL y el 22% de talla XXL.
Por tanto:

\[ P(L) = 0.15, \quad P(XL) = 0.63, \quad P(XXL) = 0.22 \]

Sabemos que:

\[ P(X \le x_1) = 0.15, \quad P(X \le x_2) = 0.78 \]

Estandarizando:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

De las tablas de la distribución normal estándar:

\[ Z_1 = -1.04, \quad Z_2 = 0.77 \]

Sustituyendo:

\[ x_1 = \mu + Z_1 \sigma = 165.4 + (-1.04)(8.3) = 156.76 \] \[ x_2 = \mu + Z_2 \sigma = 165.4 + (0.77)(8.3) = 171.79 \]

Por lo tanto:

\[ \text{Talla L: } X \le 156.8, \quad \text{Talla XL: } 156.8 < X \le 171.8, \quad \text{Talla XXL: } X > 171.8 \]

# Proporciones deseadas
p_L <- 0.15
p_XL <- 0.63
p_XXL <- 0.22

# Cálculo de los percentiles
x1 <- qnorm(p_L, mean = mu, sd = sigma)       # límite superior para L
x2 <- qnorm(p_L + p_XL, mean = mu, sd = sigma) # límite superior para XL


# Resultados
cat("x1 =", round(x1, 2), "cm\n")
## x1 = 156.8 cm
cat("x2 =", round(x2, 2), "cm\n")
## x2 = 171.81 cm
cat("\nTalla L: X ≤", round(x1, 2), "cm")
## 
## Talla L: X ≤ 156.8 cm
cat("\nTalla XL:", round(x1, 2), "< X ≤", round(x2, 2), "cm")
## 
## Talla XL: 156.8 < X ≤ 171.81 cm
cat("\nTalla XXL: X >", round(x2, 2), "cm\n")
## 
## Talla XXL: X > 171.81 cm

c) Probabilidad de que al menos 2 de 5 camisetas sean talla L hasta 163 cm

Se desea conocer la probabilidad de que al menos 2 de las 5 camisetas fabricadas correspondan a una talla L,
es decir, que la altura sea menor o igual a 163 cm.

\[ X \sim N(\mu = 165.4, \sigma = 8.3) \]

Primero se calcula la probabilidad individual:

\[ p = P(X \le 163) \]

Estandarizando:

\[ Z = \frac{163 - 165.4}{8.3} = -0.29 \]

De las tablas:

\[ P(Z \le -0.29) = 0.3859 \]

Entonces:

\[ p = 0.3859 \]

Si se escogen 5 camisetas, el número de camisetas talla L (hasta 163 cm) sigue una distribución binomial:

\[ Y \sim Binomial(n = 5, p = 0.3859) \]

Se desea:

\[ P(Y \ge 2) = 1 - [P(Y = 0) + P(Y = 1)] \]

\[ P(Y = 0) = (1 - p)^5, \quad P(Y = 1) = 5p(1 - p)^4 \]

\[ P(Y \ge 2) = 1 - [(1 - p)^5 + 5p(1 - p)^4] \]

# Probabilidad individual
p <- pnorm(163, mean = mu, sd = sigma)

# Parámetros binomiales
n <- 5

# Probabilidad de al menos 2
p_y_ge2 <- 1 - (dbinom(0, n, p) + dbinom(1, n, p))

# Resultados
cat("Probabilidad individual (p):", round(p, 4), "\n")
## Probabilidad individual (p): 0.3862
cat("Probabilidad de al menos 2 camisetas talla L:", round(p_y_ge2, 4), "\n")
## Probabilidad de al menos 2 camisetas talla L: 0.6388
cat("\nInterpretación: Aproximadamente", round(p_y_ge2*100, 1), "% de probabilidad.")
## 
## Interpretación: Aproximadamente 63.9 % de probabilidad.

d) Número esperado de camisetas con talla L entre 160 y 162 cm

Se desea estimar cuántas camisetas de una muestra de 30,000 tendrán una altura entre 160 cm y 162 cm.
Sabemos que:

\[ X \sim N(\mu = 165.4, \sigma = 8.3) \]

Entonces:

\[ P(160 < X < 162) = P(X < 162) - P(X < 160) \]

Estandarizando:

\[ Z_1 = \frac{160 - 165.4}{8.3} = -0.65, \quad Z_2 = \frac{162 - 165.4}{8.3} = -0.41 \]

De las tablas de la normal estándar:

\[ P(Z_1) = 0.2578, \quad P(Z_2) = 0.3409 \]

Por lo tanto:

\[ P(160 < X < 162) = 0.3409 - 0.2578 = 0.0831 \]

Si se fabrican 30,000 camisetas:

\[ 30,000 \times 0.0831 = 2,493 \]

Aproximadamente 2,493 camisetas tendrán una altura entre 160 cm y 162 cm.