Planteamiento

Una determinada librería recientemente inaugurada ofrece, además de la propia consulta de libros, los servicios de cafetería. Para una próxima exposición en la Feria del libro, la empresa ha decidido solicitar a una fábrica textil la elaboración de camisetas promocionales de la librería. La fábrica textil, decide hacer camisetas de tres tallas: L, XL, XXL. Dado que todas las camisetas serán bastante anchas, lo que hará optar por una talla u otra será la altura. Para ello, la fábrica, tras realizar el estudio pertinente, concluye que las alturas de los posibles compradores potenciales seguirán una distribución normal, con media 165,4 cm. y desviación estándar 8,3 cm.

Supongamos que la fábrica ya tiene los patrones hechos, y recomienda la talla L hasta 161 cm., talla XL hasta 179 cm. y talla XXL para alturas superiores. Bajo estas condiciones, ¿qué proporción de camisetas de cada tipo es razonable que se fabriquen?

Proporción de cada tipo de camiseta

media <- 165.4
sd <- 8.3

corte_L <- 161
corte_XL <- 179


p_L   <- pnorm(corte_L, mean = media, sd = sd)                       
p_XL  <- pnorm(corte_XL, mean = media, sd = sd) - p_L               
p_XXL <- 1 - pnorm(corte_XL, mean = media, sd = sd)                  


porc <- function(p) paste0(round(100*p, 3), "%")

cat("Proporciones esperadas según la Normal (media =", media, "sd =", sd, "):\n")
## Proporciones esperadas según la Normal (media = 165.4 sd = 8.3 ):
cat("  Talla L   (≤", corte_L, "cm): ", p_L, "=" ,porc(p_L), "\n")
##   Talla L   (≤ 161 cm):  0.2980142 = 29.801%
cat("  Talla XL  (", corte_L, "-", corte_XL, "] cm): ", p_XL, "=", porc(p_XL), "\n")
##   Talla XL  ( 161 - 179 ] cm):  0.6513327 = 65.133%
cat("  Talla XXL (>", corte_XL, "cm): ", p_XXL, "=" , porc(p_XXL), "\n")
##   Talla XXL (> 179 cm):  0.05065307 = 5.065%

Límites de altura según proporciones deseadas

Supongamos que, por razones de mercado, la empresa desea fabricar el 15% de camisetas talla L, 63% talla XL y 22% talla XXL.
Con base en la distribución normal original (media = 165.4, desviación estándar = 8.3), calcularemos los límites de altura que dividen esas proporciones.

media <- 165.4
sd <- 8.3


p_L_deseado <- 0.15
p_XL_deseado <- 0.63
p_XXL_deseado <- 0.22


limite_L <- qnorm(p_L_deseado, mean = media, sd = sd)                    
limite_XL <- qnorm(p_L_deseado + p_XL_deseado, mean = media, sd = sd)   
limite_XXL <- Inf                                                        


cat("Límites de altura para las proporciones deseadas:\n")
## Límites de altura para las proporciones deseadas:
cat("  Talla L   (≤", round(limite_L, 2), "cm)\n")
##   Talla L   (≤ 156.8 cm)
cat("  Talla XL  (>", round(limite_L, 2), "y ≤", round(limite_XL, 2), "cm)\n")
##   Talla XL  (> 156.8 y ≤ 171.81 cm)
cat("  Talla XXL (>", round(limite_XL, 2), "cm)\n")
##   Talla XXL (> 171.81 cm)

Probabilidad de que al menos 2 de 5 camisetas sean talla L (≤ 163 cm)

Queremos la probabilidad de que, en una muestra de 5 patrones, al menos 2 correspondan a talla L definida como altura ≤ 163 cm.
Primero calculamos la probabilidad individual \(p = P(\text{altura} ≤ 163)\) usando la normal; luego usamos la distribución binomial \(X \sim \text{Binomial}(n=5, p)\) y hallamos \(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1)\).

media <- 165.4
sd <- 8.3


umbral_L_163 <- 163


p_l_163 <- pnorm(umbral_L_163, mean = media, sd = sd)


n <- 5


p_al_menos_2 <- 1 - pbinom(1, size = n, prob = p_l_163)


cat("Probabilidad individual P(altura ≤", umbral_L_163, "cm) =", round(p_l_163, 6), "\n")
## Probabilidad individual P(altura ≤ 163 cm) = 0.386231
cat("En porcentaje: ", paste0(round(100 * p_l_163, 4), "%\n"))
## En porcentaje:  38.6231%
cat("\n")
cat("Para una muestra de n =", n, ":\n")
## Para una muestra de n = 5 :
cat("  P(al menos 2 de 5 sean talla L) =", round(p_al_menos_2, 6), "\n")
##   P(al menos 2 de 5 sean talla L) = 0.638844
cat("En porcentaje: ", paste0(round(100 * p_al_menos_2, 4), "%\n"))
## En porcentaje:  63.8844%

Cantidad estimada de camisetas talla L entre 160 y 162 cm (muestra de 30,000)

Calcularemos la proporción de personas cuya altura está entre 160 y 162 cm usando la distribución normal (μ = 165.4, σ = 8.3), y luego estimaremos cuántas camisetas de talla L (en ese rango) corresponderían en una muestra de 30,000 patrones.

media <- 165.4
sd <- 8.3


lim_inf <- 160
lim_sup <- 162


p_160_162 <- pnorm(lim_sup, mean = media, sd = sd) - pnorm(lim_inf, mean = media, sd = sd)


total <- 30000


estimacion <- round(total * p_160_162)


cat("Proporción P(160 < = altura ≤ 162) =", round(p_160_162, 6), "\n")
## Proporción P(160 < = altura ≤ 162) = 0.083384
cat("En porcentaje:", paste0(round(100 * p_160_162, 4), "%\n"))
## En porcentaje: 8.3384%
cat("\n")
cat("De un total de", total, "patrones, se estiman aproximadamente", estimacion, "camisetas en ese rango.\n")
## De un total de 30000 patrones, se estiman aproximadamente 2502 camisetas en ese rango.