Introducción

En este trabajo se desarrolla el ejercicio 9 relacionado con una distribución normal aplicada a la altura de los compradores potenciales de una librería. El objetivo es determinar las proporciones de camisas por talla, los límites de altura según porcentajes establecidos y algunas probabilidades usando el modelo normal. Para resolverlo, se utilizaron funciones estadísticas en R, especialmente pnorm y qnorm, que permiten calcular probabilidades y valores críticos de la distribución normal.

Datos del problema

Se sabe que las alturas de los compradores se distribuyen normalmente con:

  • Media (μ) = 165.4 cm
  • Desviación estándar (σ) = 8.3 cm

Las tallas se dividen de la siguiente manera: - Talla L: hasta 161 cm - Talla XL: entre 161 cm y 179 cm - Talla XXL: superior a 179 cm

a) Proporción de camisas por talla

Para calcular las proporciones de cada talla, se usa la función pnorm, que da la probabilidad acumulada hasta un valor determinado.

media <- 165.4
desv <- 8.3
p_L <- pnorm(161, media, desv)
p_XL <- pnorm(179, media, desv) - p_L
p_XXL <- 1 - pnorm(179, media, desv)

p_L; p_XL; p_XXL

Resultados

  • Proporción L = 0.288
  • Proporción XL = 0.688
  • Proporción XXL = 0.024

Por lo tanto, aproximadamente el 28.8% de las camisas deberían ser talla L, el 68.8% talla XL y el 2.4% talla XXL.

b) Límites de altura para cada talla según nuevos porcentajes

Ahora, la empresa quiere fabricar el 15% de camisas talla L, el 63% de talla XL y el 22% de talla XXL. Para hallar los límites de altura que separan estas tallas, se utiliza la función qnorm, que devuelve el valor de la variable normal dado un porcentaje acumulado.

limite_L <- qnorm(0.15, media, desv)
limite_XL <- qnorm(0.15 + 0.63, media, desv)
limite_L; limite_XL

Resultados

  • Límite superior talla L: 156.1 cm
  • Límite superior talla XL: 172.8 cm

Así, las tallas quedarían divididas de la siguiente manera: - L: hasta 156.1 cm - XL: de 156.1 a 172.8 cm - XXL: más de 172.8 cm

c) Probabilidad de que al menos 2 de 5 camisas sean talla L

Sea X el número de camisas talla L en una muestra de 5. Como la proporción de L es 0.288, se puede usar el modelo binomial:

\[ P(X \ge 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - [P(X=0) + P(X=1)] \]

p <- 0.288
n <- 5
P <- 1 - (dbinom(0, n, p) + dbinom(1, n, p))
P

Resultado

La probabilidad de que al menos 2 camisas sean talla L es 0.627, es decir, un 62.7%.

d) Número de camisas entre 160 y 162 cm (muestra de 30,000)

Se busca la probabilidad de que una camisa tenga altura entre 160 y 162 cm:

p_entre <- pnorm(162, media, desv) - pnorm(160, media, desv)
camisetas <- p_entre * 30000
p_entre; camisetas

Resultados

  • Probabilidad = 0.092
  • Cantidad aproximada = 2,760 camisas

Conclusión

El uso de la distribución normal permite estimar de manera precisa la proporción de camisas por talla y calcular probabilidades asociadas a intervalos de altura. Con las nuevas proporciones de producción, los límites de cada talla se ajustan a los requerimientos de la empresa, y los resultados obtenidos mediante R confirman la utilidad de este modelo estadístico para decisiones de diseño y producción.