Planteamiento

Una determinada librería recientemente inaugurada ofrece, además de la propia consulta de libros, los servicios de cafetería.
Para una próxima exposición en la Feria del Libro, la empresa ha decidido solicitar a una fábrica textil la elaboración de camisetas promocionales.

La fábrica decide hacer camisetas de tres tallas: L, XL y XXL.
Las alturas de los posibles compradores siguen una distribución normal:

\[ X \sim N(\mu = 165.4, \sigma = 8.3) \]

Proporción esperada de cada talla

\[ \begin{aligned} P(L) &= P(X \leq 161) \\ P(XL) &= P(161 < X \leq 179) \\ P(XXL) &= P(X > 179) \end{aligned} \]

Estandarizando:

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

\[ Z_L = \frac{161 - 165.4}{8.3} = -0.53, \quad Z_{XL} = \frac{179 - 165.4}{8.3} = 1.64 \]

\[ P(Z \leq -0.53) = 0.2981, \quad P(Z \leq 1.64) = 0.9495 \]

\[ \begin{aligned} P(L) &= 0.2981 \\ P(XL) &= 0.9495 - 0.2981 = 0.6514 \\ P(XXL) &= 1 - 0.9495 = 0.0505 \end{aligned} \]

\[ \boxed{ P(L) = 29.8\%, \quad P(XL) = 65.1\%, \quad P(XXL) = 5.1\% } \]

Límites de altura para proporciones específicas

\[ P(L) = 0.15, \quad P(XL) = 0.63, \quad P(XXL) = 0.22 \]

\[ P(X \leq x_1) = 0.15, \quad P(X \leq x_2) = 0.78 \]

\[ Z_1 = -1.04 \Rightarrow x_1 = 165.4 + (-1.04)(8.3) = 156.76 \] \[ Z_2 = 0.77 \Rightarrow x_2 = 165.4 + (0.77)(8.3) = 171.79 \]

\[ \boxed{ \text{Talla L: } X \leq 156.8, \quad \text{Talla XL: } 156.8 < X \leq 171.8, \quad \text{Talla XXL: } X > 171.8 } \]

Probabilidad de que al menos 2 de 5 camisetas sean talla L hasta 163 cm

\[ p = P(X \leq 163) = P\left(Z \leq \frac{163 - 165.4}{8.3}\right) = P(Z \leq -0.29) = 0.3859 \]

Sea \(Y \sim Binomial(n = 5, p = 0.3859)\):

\[ P(Y \geq 2) = 1 - [P(Y=0) + P(Y=1)] \]

\[ P(Y=0) = (0.6141)^5 = 0.0868, \quad P(Y=1) = 5(0.3859)(0.6141)^4 = 0.2725 \]

\[ P(Y \geq 2) = 1 - (0.0868 + 0.2725) = 0.6407 \]

\[ \boxed{P(Y \geq 2) = 0.6407 \Rightarrow 64.1\%} \]

Camisetas entre 160 y 162 cm (muestra de 30,000)

\[ P(160 < X < 162) = P(X < 162) - P(X < 160) \]

\[ Z_1 = \frac{160 - 165.4}{8.3} = -0.65, \quad P(Z_1) = 0.2578 \] \[ Z_2 = \frac{162 - 165.4}{8.3} = -0.41, \quad P(Z_2) = 0.3409 \]

\[ P(160 < X < 162) = 0.3409 - 0.2578 = 0.0831 \]

\[ 30,000 \times 0.0831 = 2,493 \]

\[ \boxed{\text{Aproximadamente 2,493 camisetas entre 160 y 162 cm.}} \]