Una determinada librería recientemente inaugurada ofrece, además de la propia consulta de libros, los servicios de cafetería. Para una próxima exposición en la Feria del libro, la empresa ha decidido solicitar a una fábrica textil la elaboración de camisetas promocionales de la librería. La fábrica textil, decide hacer camisetas de tres tallas: L, XL, XXL. Dado que todas las camisetas serán bastante anchas, lo que hará optar por una talla u otra será la altura. Para ello, la fábrica, tras realizar el estudio pertinente, concluye que las alturas de los posibles compradores potenciales seguirán una distribución normal, con media 165,4 cm. y desviación estándar 8,3 cm.
Supongamos que la fábrica ya tiene los patrones hechos, y recomienda la talla L hasta 161 cm., talla XL hasta 179 cm. y talla XXL para alturas superiores. Bajo estas condiciones, ¿qué proporción de camisetas de cada tipo es razonable que se fabriquen?
\[ \textbf{Datos:} \quad X \sim N(\mu = 165.4,\; \sigma = 8.3) \]
Queremos calcular las proporciones: \[ P_L = P(X \le 161), \quad P_{XL} = P(161 < X \le 179), \quad P_{XXL} = P(X > 179). \]
Primero, estandarizamos: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
Entonces: \[ \begin{aligned} P_L &= P\left(Z \le \frac{161 - 165.4}{8.3}\right) = P(Z \le -0.53) = 0.2981, \\[6pt] P_{XL} &= P\left(-0.53 < Z \le \frac{179 - 165.4}{8.3}\right) = P(-0.53 < Z \le 1.64) = P(Z \le 1.64) - P(Z \le -0.53) = 0.9495 - 0.2981 = 0.6514, \\[6pt] P_{XXL} &= 1 - P(Z \le 1.64) = 1 - 0.9495 = 0.0505. \end{aligned} \]
\[ \boxed{ \begin{aligned} P_L &= 0.298 \; (29.8\%),\\ P_{XL} &= 0.658 \; (65.1\%),\\ P_{XXL} &= 0.044 \; (5.1\%). \end{aligned} } \]
media <- 165.4
desv <- 8.3
p_L <- pnorm(161, mean = media, sd = desv)
p_XL <- pnorm(179, mean = media, sd = desv) - p_L
p_XXL <- 1 - pnorm(179, mean = media, sd = desv)
proporciones <- c(L = p_L, XL = p_XL, XXL = p_XXL)
proporciones## L XL XXL
## 0.29801420 0.65133273 0.05065307Supongamos, ahora, que por razones de mercado, la empresa cree conveniente fabricar el 15% de camisetas de la talla L, el 63% de la talla XL y el 22% restante de la talla XXL. ¿Cuáles serán los límites de alturas con que se tendría que diseñar cada talla?
\[ \textbf{Datos:}\qquad X \sim N(\mu=165.4,\ \sigma=8.3) \] Se desea fabricar las tallas con proporciones: \[ P(\text{L})=0.15,\qquad P(\text{XL})=0.63,\qquad P(\text{XXL})=0.22. \] Si llamamos \(a\) al límite superior de L (es decir, L: \(X\le a\)) y \(b\) al límite superior de XL (es decir, XL: \(a<X\le b\), y XXL: \(X>b\)), entonces \[ P(X\le a)=0.15,\qquad P(X\le b)=P(X\le a)+P(a<X\le b)=0.15+0.63=0.78. \]
y luego los límites en centímetros: \[ \begin{aligned} a &= 165.4 + 8.3(-1.0364333895) \approx 156.798\ \text{cm},\\[6pt] b &= 165.4 + 8.3(0.7721932142) \approx 171.809\ \text{cm}. \end{aligned} \]
\[ \textbf{Interpretación:}\quad \text{Talla L: } X\le 156.80\ \text{cm},\quad \text{Talla XL: } 156.80 < X \le 171.81\ \text{cm},\quad \text{Talla XXL: } X > 171.81\ \text{cm}. \]
media <- 165.4
desv <- 8.3
p_L <- 0.15
p_XL <- 0.63
p_XXL <- 0.22
limite_L <- qnorm(p_L, mean = media, sd = desv)
limite_XL <- qnorm(p_L + p_XL, mean = media, sd = desv)
c(L_hasta = limite_L, XL_hasta = limite_XL)## L_hasta XL_hasta
## 156.7976 171.8092Supongamos que se escoge una muestra de 5 patrones ya hechos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de las camisetas fabricadas tengan una talla L hasta 163 cm.
\[ \textbf{Datos:}\qquad X \sim N(\mu=165.4,\ \sigma=8.3),\qquad n=5 \] Se considera como talla L a las alturas \(\le 163\ \text{cm}\). Sea \(p\) la probabilidad de que una persona tenga talla L: \[ p = P(X \le 163) = \Phi\!\left(\frac{163-165.4}{8.3}\right) = \Phi\!\left(\frac{-2.4}{8.3}\right) = \Phi(-0.28)\approx 0.38. \]
Si \(Y\) es el número de camisetas L en una muestra de \(n=5\), entonces \[ Y \sim \operatorname{Bin}(n=5,p=0.38). \] Nos piden \(P(Y\ge 2)\). \[ \begin{aligned} P(Y\ge 2) &= 1 - \big[P(Y=0)+P(Y=1)\big] \\ &= 1 - \Big[(1-p)^5 + 5p(1-p)^4\Big]. \end{aligned} \]
Sustituyendo numéricamente: \[ \begin{aligned} (1-p)^5 &\approx (1-0.38)^5 \approx 0.082,\\[4pt] 5p(1-p)^4 &\approx 5(0.38)(1-0.38)^4 \approx 0.27,\\[6pt] P(Y\ge 2) &\approx 1 - (0.082 + 0.27) \\ &\approx 1 - 0.36 \\ &\approx 0.6388 \end{aligned} \]
\[ \boxed{P(Y\ge 2)\approx 0.6388\quad (\text{aprox. }63.88\% ).} \]
media <- 165.4
desv <- 8.3
p <- pnorm(163, mean = media, sd = desv)
p## [1] 0.3862308n <- 5
prob_al_menos_2 <- 1 - pbinom(1, size = n, prob = p)
prob_al_menos_2## [1] 0.6388438Supongamos que se escoge una muestra de 30000 patrones ya hechos. ¿Aproximadamente cuántas camisetas tienen una talla L entre 160 y 162 cm.
\[ \textbf{Datos:}\qquad X \sim N(\mu=165.4,\ \sigma=8.3),\qquad N=30000 \] Se solicita la cantidad aproximada de camisetas cuya altura está entre 160 y 162 cm, es decir, calcular \[ p = P(160 \le X \le 162) = \Phi\!\left(\frac{162-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{160-\mu}{\sigma}\right). \]
Calculamos las puntuaciones \(z\): \[ \begin{aligned} z_{160} &= \frac{160-165.4}{8.3} = \frac{-5.4}{8.3} \approx -0.6506024096,\\[4pt] z_{162} &= \frac{162-165.4}{8.3} = \frac{-3.4}{8.3} \approx -0.4096385542. \end{aligned} \]
por lo tanto \[ p = \Phi(z_{162}) - \Phi(z_{160}) \approx 0.3410355553 - 0.2576515872 = 0.0833839680. \]
El número esperado de camisetas en ese intervalo en una muestra de \(N=30000\) es \[ \text{esperado} = N \cdot p \approx 30000 \times 0.0833839680 \approx 2501.51904. \]
\[ \boxed{\text{Aproximadamente } 2502\ \text{camisetas (redondeando).}} \]
media <- 165.4
desv <- 8.3
p <- pnorm(162, mean = media, sd = desv) - pnorm(160, mean = media, sd = desv)
p## [1] 0.08338397esperado <- 30000 * p
p## [1] 0.08338397esperado## [1] 2501.519