Ejemplo: Distribución normal — Camisetas promocionales

Una fábrica textil ha estimado que las alturas de los posibles compradores siguen una distribución normal con media \(\mu = 165.4\) cm y desviación estándar \(\sigma = 8.3\) cm. La fábrica confecciona tres tallas: L, XL y XXL.

Se desea responder a las siguientes preguntas:

  1. Si la talla L es hasta 161 cm, la XL hasta 179 cm, y la XXL por encima de 179 cm, ¿qué proporción de camisetas debe fabricarse de cada tipo?
  2. Si la empresa desea fabricar el 15% de L, 63% de XL y 22% de XXL, ¿cuáles serán los límites de altura para cada talla?
  3. Si se escoge una muestra de 5 patrones, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 sean talla L hasta 163 cm?
  4. Si se escoge una muestra de 30000 patrones, ¿cuántas camisetas se espera que tengan una talla L entre 160 y 162 cm?

Solución

Sea \(X\) la variable aleatoria que representa la altura (cm) de los compradores potenciales. Entonces:

\[X \sim N(165.4, 8.3^2)\]

En R:

mu <- 165.4
sigma <- 8.3

1) Proporciones de camisetas según los cortes dados

Nos piden las proporciones:

\[P(X \le 161), ; P(161 < X \le 179), ; P(X > 179)\]

En R:

p_L <- pnorm(161, mean = mu, sd = sigma)
p_XL <- pnorm(179, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(161, mean = mu, sd = sigma)
p_XXL <- 1 - pnorm(179, mean = mu, sd = sigma)

round(c(L = p_L, XL = p_XL, XXL = p_XXL), 4)
##      L     XL    XXL 
## 0.2980 0.6513 0.0507

\[P(X\le 161)=0.2980\] \[P(161<X\le179)=0.6513\] \[P(X>179)=0.0507\]

Interpretación: Se deberían fabricar aproximadamente 30% L, 65.13% XL y 5.07% XXL.

2) Límites de altura si se desea fabricar 15%, 63% y 22%

Buscamos los puntos \(h_1\) y \(h_2\) tales que:

\[P(X\le h_1)=0.15\] \[P(X\le h_2)=0.78\]

En R:

h_L <- qnorm(0.15, mean = mu, sd = sigma)
h_XL <- qnorm(0.78, mean = mu, sd = sigma)

round(c(L_hasta = h_L, XL_hasta = h_XL), 2)
##  L_hasta XL_hasta 
##   156.80   171.81

\[h_L=156.83 ; cm\] \[h_{XL}=171.80 ; cm\]

Interpretación: Para lograr las proporciones deseadas:

  • Talla L: hasta 156.8 cm
  • Talla XL: de 156.8 a 171.80 cm
  • Talla XXL: más de 171.80 cm

3) Probabilidad de que al menos 2 de 5 camisetas sean talla L (hasta 163 cm)

Primero calculamos:

\[p = P(X \le 163)\]

En R:

p <- pnorm(163, mean = mu, sd = sigma)
p
## [1] 0.3862308

\[p=0.386\]

Definimos \(Y\) como el número de camisetas L en una muestra de 5:

\[Y \sim Binomial(n=5, p=0.386\]

Queremos \(P(Y\ge2)=1-P(Y\le1)\).

En R:

n <- 5
prob_Y_ge2 <- 1 - pbinom(1, size = n, prob = p)
prob_Y_ge2
## [1] 0.6388438

\[P(Y\ge2)=0.6388438\]

Interpretación: Hay un 63.886% de probabilidad de que al menos dos de las cinco camisetas sean talla L.

4) Número esperado de camisetas L entre 160 y 162 cm (de 30000)

Calculamos la probabilidad:

\[P(160 \le X \le 162)=P(X\le162)-P(X\le160)\]

En R:

p_interval <- pnorm(162, mean = mu, sd = sigma) - pnorm(160, mean = mu, sd = sigma)
n2 <- 30000
expected <- n2 * p_interval

round(c(probabilidad = p_interval, cantidad_esperada = expected), 4)
##      probabilidad cantidad_esperada 
##            0.0834         2501.5190

\[P(160 \le X \le 162)=0.0897\] \[\text{Cantidad esperada} = 30,000(0.0897)=2691\]

Interpretación: Se espera que aproximadamente 2691 camisetas correspondan a alturas entre 160 y 162 cm.