中級統計学：復習テスト9

注意

すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．正答に修正した上で，復習テスト9〜13を順に重ねて左上でホチキス止めし，第2回中間試験実施日（11月14日の予定）に提出すること．

1. 以下の組み合わせの数を求めなさい．

1. {}_2C_0

2. {}_3C_1

3. {}_4C_2

4. {}_5C_3

解答例

\begin{align*} {}_2C_0 & =\frac{2!}{0!(2-0)!} \\ & =1 \end{align*}

\begin{align*} {}_3C_1 & =\frac{3!}{1!(3-1)!} \\ & =3 \end{align*}

\begin{align*} {}_4C_2 & =\frac{4!}{2!(4-2)!} \\ & =6 \end{align*}

\begin{align*} {}_5C_3 & =\frac{5!}{3!(5-3)!} \\ & =10 \end{align*}

1. 2項分布の定義を書きなさい．

2. \mathrm{Bin}(n,p) の pmf を書きなさい．

3. X \sim \mathrm{Bin}(5,.5) として p_X(0),\dots,p_X(5) を求めなさい（注：全部足すと 1 になるはず）．

解答例

1. 独立かつ同一な n 回のベルヌーイ試行における成功回数の分布を2項分布という．

p_X(x)=\begin{cases} {}_nC_xp^x(1-p)^{n-x} & \text{for $x=0,1,\dots,n$} \\ 0 & \text{for $x \ne 0,1,\dots,n$} \\ \end{cases}

\begin{align*} p_X(0) & ={}_5C_0\left(\frac{1}{2}\right)^0\left(\frac{1}{2}\right)^{5-0} \\ & =\frac{5!}{0!(5-0)!}\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\ & =\frac{1}{32} \\ p_X(1) & ={}_5C_1\left(\frac{1}{2}\right)^1\left(\frac{1}{2}\right)^{5-1} \\ & =\frac{5!}{1!(5-1)!}\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\ & =\frac{5}{32} \\ p_X(2) & ={}_5C_2\left(\frac{1}{2}\right)^2\left(\frac{1}{2}\right)^{5-2} \\ & =\frac{5!}{2!(5-2)!}\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\ & =\frac{10}{32} \\ p_X(3) & ={}_5C_3\left(\frac{1}{2}\right)^3\left(\frac{1}{2}\right)^{5-3} \\ & =\frac{5!}{3!(5-3)!}\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\ & =\frac{10}{32} \\ p_X(4) & ={}_5C_4\left(\frac{1}{2}\right)^4\left(\frac{1}{2}\right)^{5-4} \\ & =\frac{5!}{4!(5-4)!}\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\ & =\frac{5}{32} \\ p_X(5) & ={}_5C_5\left(\frac{1}{2}\right)^5\left(\frac{1}{2}\right)^{5-5} \\ & =\frac{5!}{5!(5-5)!}\left(\frac{1}{2}\right)^5 \\ & =\frac{1}{32} \end{align*}