第9回 代表的な離散分布（6.1–6.5）
今日のポイント
- 結果が2通り（成功／失敗）しかない試行をベルヌーイ試行という． 成功を 1，失敗を 0 とした確率変数の分布をベルヌーイ分布という．
- 独立かつ同一な n 回のベルヌーイ試行における成功回数の分布を2項分布という．
- まれな現象が起こる回数は，小数の法則によりポアソン分布にしたがう．
- 独立かつ同一なベルヌーイ試行における初成功までの失敗回数の分布を幾何分布， r 回成功までの失敗回数の分布を負の2項分布という．
- 壺の中の N 個の玉のうち M 個が当たりのとき， n 個を非復元抽出したときの当たりの個数の分布を超幾何分布という．
1 ベルヌーイ分布（p. 111）
定義 1 結果が2通り（成功／失敗）しかない試行をベルヌーイ試行という．
例 1 コイントス．
定義 2 ベルヌーイ試行における成功を 1， 失敗を 0 とした確率変数の分布をベルヌーイ分布という．
注釈. 成功確率 p のベルヌーイ確率変数は X:=\begin{cases} 1 & \text{with pr.\ $p$} \\ 0 & \text{with pr.\ $1-p$} \\ \end{cases} pmf は p_X(x)=\begin{cases} p & \text{for $x=1$} \\ 1-p & \text{for $x=0$} \\ 0 & \text{for $x \ne 0,1$} \\ \end{cases} 平均と分散は \begin{align*} \operatorname{E}(X) & :=1 \cdot p+0 \cdot (1-p) \\ & =p \\ \operatorname{var}(X) & :=(1-p)^2 \cdot p+(0-p)^2 \cdot (1-p) \\ & =(1-p)^2p+p^2(1-p) \\ & =p(1-p) \end{align*}
2 2項分布（p. 111）
定義 3 独立かつ同一な n 回のベルヌーイ試行における成功回数の分布を2項分布という．
注釈. 試行回数 n，成功確率 p の2項分布を \mathrm{Bin}(n,p) と書く． ベルヌーイ分布は \mathrm{Bin}(1,p)．
定理 1 X \sim \mathrm{Bin}(n,p) の pmf は p_X(x)=\begin{cases} {}_nC_xp^x(1-p)^{n-x} & \text{for $x=0,\dots,n$} \\ 0 & \text{for $x \ne 0,\dots,n$} \\ \end{cases}
証明. 特定の x 回で成功し，残りの n-x 回で失敗する確率は p^x(1-p)^{n-x}． n 回のうち x 回成功する組み合わせの数は {}_nC_x．
注釈. 2項定理は \begin{align*} (p+q)^n & =(p+q)\dotsm(p+q) \\ & =p^n+np^{n-1}q+\dots+npq^{n-1}+q^n \\ & =\sum_{x=0}^n{}_nC_xp^xq^{n-x} \end{align*} q:=1-p とすれば \mathrm{Bin}(n,p) の pmf．
注釈. 2項係数 {}_nC_x はパスカルの3角形で求まる． \begin{align*} (p+q)^1 & =p+q \\ (p+q)^2 & =p^2+2pq+q^2 \\ (p+q)^3 & =p^3+3p^2q+3pq^2+q^3 \\ (p+q)^4 & =p^4+4p^3q+6p^2q^2+4pq^3+q^4 \\ & \vdots \end{align*}
例 2 \mathrm{Bin}(n,p) の pmf の例は 図 1 の通り．
定理 2 X \sim \mathrm{Bin}(n,p) なら \begin{align*} \operatorname{E}(X) & =np \\ \operatorname{var}(X) & =np(1-p) \end{align*}
証明 (1). 期待値の定義通り計算する． 教科書 p. 113 参照．
証明 (2). mgf を用いる． 教科書 p. 130 参照．
証明 (3). X_1,\dots,X_n を独立かつ同一な分布をもつベルヌーイ確率変数とすると X=X_1+\dots+X_n 期待値の線形性より \begin{align*} \operatorname{E}(X) & =\operatorname{E}(X_1+\dots+X_n) \\ & =\operatorname{E}(X_1)+\dots+\operatorname{E}(X_n) \\ & =np \end{align*} X_1,\dots,X_n の独立性より（第 7 章参照） \begin{align*} \operatorname{var}(X) & =\operatorname{var}(X_1+\dots+X_n) \\ & =\operatorname{var}(X_1)+\dots+\operatorname{var}(X_n) \\ & =np(1-p) \end{align*}
3 ポアソン分布（p. 113）
まれな現象が起こる回数の分布を考える． 例えば
- プロシア陸軍の各師団で1年間に馬に蹴られて死んだ兵士の数
- ある地域の1日当たり交通事故件数
- ある本の1ページ当たり誤植数
ある時間（空間）における成功回数の分布は次のように考える．
- 平均成功回数を \lambda とする． 時間を n 分割し，各時間での平均成功回数が \lambda/n となるようにする．
- n を大きくとれば，各時間で 2 回以上成功する確率は 0 とみなせる． このとき各時間での成功回数は成功確率 \lambda/n のベルヌーイ分布．
- したがって全体での成功回数は \mathrm{Bin}(n,\lambda/n)． この n \to \infty の極限をとる．
定理 3 (小数の法則) \lim_{n \to \infty} {}_nC_x\left(\frac{\lambda}{n}\right)^x\left(1-\frac{\lambda}{n}\right)^{n-x} =\frac{\lambda^x}{x!}\mathrm{e}^{-\lambda}
証明. 教科書 p. 115 参照．
定義 4 ポアソン分布の pmf は p_X(x):=\begin{cases} \lambda^x\mathrm{e}^{-\lambda}/x! & \text{for $x=0,1,\dots$} \\ 0 & \text{for $x \ne 0,1,\dots$} \\ \end{cases}
注釈. \mathrm{Poi}(\lambda) と書く． すなわち \mathrm{Poi}(\lambda):=\lim_{n \to \infty}\mathrm{Bin}\left(n,\frac{\lambda}{n}\right)
注釈. 関数 f(\lambda) のマクローリン展開は f(\lambda)=f(0)+f'(0)\lambda+\frac{f''(0)}{2!}\lambda^2+\dotsb 指数関数 f(\lambda)=\mathrm{e}^{\lambda} に適用すると \mathrm{e}^{\lambda}=1+\lambda+\frac{\lambda^2}{2!}+\dotsb 両辺を \mathrm{e}^{\lambda} で割ると 1 =\mathrm{e}^{-\lambda}+\lambda\mathrm{e}^{-\lambda} +\frac{\lambda^2\mathrm{e}^{-\lambda}}{2!}+\dotsb 右辺はポアソン分布の pmf．
例 3 \mathrm{Poi}(\lambda) の pmf の例は 図 2 の通り．
定理 4 X \sim \mathrm{Poi}(\lambda) なら \begin{align*} \operatorname{E}(X) & =\lambda \\ \operatorname{var}(X) & =\lambda \end{align*}
証明 (1). 期待値の定義通り計算する． 教科書p. 115参照．
証明 (2). mgf を用いるのが簡単． 教科書p. 130参照．
注釈. X \sim \mathrm{Bin}(n,\lambda/n) とすると \begin{align*} \operatorname{E}(X) & =n\left(\frac{\lambda}{n}\right) \\ & =\lambda \\ \operatorname{var}(X) & =n\left(\frac{\lambda}{n}\right)\left(1-\frac{\lambda}{n}\right) \\ & =\lambda\left(1-\frac{\lambda}{n}\right) \end{align*} この n \to \infty の極限と理解してもよい．
4 幾何分布と負の2項分布（p. 116）
定義 5 独立かつ同一なベルヌーイ試行における初成功までの失敗回数の分布を幾何分布という．
定義 6 独立かつ同一なベルヌーイ試行における r 回成功までの失敗回数の分布を負の2項（パスカル）分布という．
注釈. 成功回数 r，成功確率 p の負の2項分布を \mathrm{NB}(r,p) と書く． 幾何分布は \mathrm{NB}(1,p)．
定理 5 X \sim \mathrm{NB}(r,p) の pmf は p_X(x)=\begin{cases} {}_{r+x-1}C_xp^r(1-p)^x & \text{for $x=0,1,\dots$} \\ 0 & \text{for $x \ne 0,1,\dots$} \\ \end{cases}
証明. 特定の r 回で成功し，x 回で失敗する確率は p^r(1-p)^x． r+x 回目は成功する． 残りの r+x-1 回のうち x 回失敗する組み合わせの数は {}_{r+x-1}C_x．
例 4 \mathrm{NB}(r,p) の pmf の例は 図 3 の通り．
5 超幾何分布（p. 109）
定義 7 取り出したものを戻しながら繰り返す抽出を復元抽出という．
定義 8 取り出したものを戻さずに繰り返す抽出を非復元抽出という．
定義 9 壺の中の N 個の玉のうち M 個が当たりとする． n 個を非復元抽出したときの当たりの個数の分布を超幾何分布という．
注釈. 復元抽出なら \mathrm{Bin}(n,M/N)．
定理 6 超幾何分布の pmf は， p_X(x)=\begin{cases} {}_MC_x \cdot {}_{N-M}C_{n-x}/{}_NC_n & \text{for $x=x_{\min},\dots,x_{\max}$} \\ 0 & \text{for $x \ne x_{\min},\dots,x_{\max}$} \\ \end{cases} ただし \begin{align*} x_{\min} & :=\max\{0,n-(N-M)\} \\ x_{\max} & :=\min\{n,M\} \end{align*}
証明. N 個から n 個取り出す組み合わせの数は {}_NC_n． M 個の当たりから x 個取り出す組み合わせの数は {}_MC_x． N-M 個のハズレから n-x 個取り出す組み合わせの数は {}_{N-M}C_{n-x}．
6 離散一様分布（p. 119）
定義 10 \{1,\dots,N\} 上の離散一様分布の pmf は p_X(x):=\begin{cases} 1/N & \text{for $x=1,\dots,N$} \\ 0 & \text{for $x \ne 1,\dots,N$} \\ \end{cases}
注釈. \mathrm{U}\{1,\dots,N\} と書く．
例 5 公正なコイントスやサイコロ．
まとめ
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