Enunciado.

Una determinada librería recientemente inaugurada ofrece, además de la propia consulta de libros, los servicios de cafetería. Para una próxima exposición en la Feria del libro, la empresa ha decidido solicitar a una fábrica textil la elaboración de camisetas promocionales de la librería. La fábrica textil, decide hacer camisetas de tres tallas: L, XL, XXL. Dado que todas las camisetas serán bastante anchas, lo que hará optar por una talla u otra será la altura. Para ello, la fábrica, tras realizar el estudio pertinente, concluye que las alturas de los posibles compradores potenciales seguirán una distribución normal, con media 165,4 cm. y desviación estándar 8,3 cm.

  1. Supongamos que la fábrica ya tiene los patrones hechos, y recomienda la talla L hasta 161 cm., talla XL hasta 179 cm. y talla XXL para alturas superiores. Bajo estas condiciones, ¿qué proporción de camisetas de cada tipo es razonable que se fabriquen?

  2. Supongamos, ahora, que por razones de mercado, la empresa cree conveniente fabricar el 15% de camisetas de la talla L, el 63% de la talla XL y el 22% restante de la talla XXL. ¿Cuáles serán los límites de alturas con que se tendría que diseñar cada talla?

  3. Supongamos que se escoge una muestra de 5 patrones ya hechos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de las camisetas fabricadas tengan una talla L hasta 163 cm.

  4. Supongamos que se escoge una muestra de 30000 patrones ya hechos. ¿Aproximadamente cuántas camisetas tienen una talla L entre 160 y 162 cm.

Solución:

Tenemos que \[ X\sim N(\mu=165.4 \; , \; \sigma=8.3) \]

Parte a.

Supongamos que la fábrica ya tiene los patrones hechos, y recomienda la talla L hasta 161 cm., talla XL hasta 179 cm. y talla XXL para alturas superiores. Bajo estas condiciones, ¿qué proporción de camisetas de cada tipo es razonable que se fabriquen?

w = Talla L \[ P(w)=P(w \leq161) \]

propw<-pnorm(161,165.4,8.3)
propw
## [1] 0.2980142

x = Talla XL \[ P(x)=P(161<x\leq179) \;\; =\;\;P(x\leq179) -P(x<161) \]

propx<-pnorm(179,165.4,8.3)-pnorm(161,165.4,8.3)
propx
## [1] 0.6513327

y = Talla XXL \[ P(y)=P(y>179)\;\;=\;\;1-P(x<179) \]

propy<- 1-pnorm(179,165.4,8.3)
propy
## [1] 0.05065307

Entonces:

Es razonable que la proporción de la talla L sea aproximadamente del 29.8%.

La proporción de la talla XL es aproximadamente del 65.13%.

La proporción de la talla XXL es de aproximadamente el 5.06%.

Parte b.

Supongamos, ahora, que por razones de mercado, la empresa cree conveniente fabricar el 15% de camisetas de la talla L, el 63% de la talla XL y el 22% restante de la talla XXL. ¿Cuáles serán los límites de alturas con que se tendría que diseñar cada talla?

w = Talla L

x = Talla XL

y = Talla XXL

\[ P(w\leq k)=0.15 \]

alfa <- 0.15
mean <- 165.4
sd <- 8.3
qnorm(alfa, mean, sd)
## [1] 156.7976

\[ P(x\leq k)=0.78 \]

alfa<-0.78
mean<-165.4
sd<-8.3
qnorm(alfa,mean,sd)
## [1] 171.8092

Con esto ya hallamos los limites:

\[ w\leq 156.79 \\ 156.79<x\leq 171.8 \\ 171.8<y \]

Parte c.

Supongamos que se escoge una muestra de 5 patrones ya hechos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de las camisetas fabricadas tengan una talla L hasta 163 cm.

w = Talla L

c = # camisetas

\[ P(w\leq 163)\\P(c\geq2)\;=\;1-P(c\leq1) \]

probw <- pnorm(163, 165.4, 8.3)
p <- probw
n <- 5

probabilidad <- 1 - pbinom(1, n, p)
probabilidad
## [1] 0.6388438

La probabilidad es del 63.88%.

Parte d.

Supongamos que se escoge una muestra de 30000 patrones ya hechos. ¿Aproximadamente cuántas camisetas tienen una talla L entre 160 y 162 cm.

\[ P(w)=(160\leq w \leq 162) \;\;=\;\; P(w\leq162)-P(w\leq 160) \]

probpw<- pnorm(162,165.4,8.3)-pnorm(160,165.4,8.3)
probpw
## [1] 0.08338397

\[ 0.08338397 \times 30000 \]

ap<-0.08338397* 30000
ap
## [1] 2501.519

Aproximadamente 2501 camisas estan entre los 160cm y 162cm.