library(ggplot2)
library(flextable)
library(dplyr)

Ejercicio 2

Sea el número de llamadas telefónicas que recibe un conmutador durante un intervalo de 5 minutos una variable aleatoria X con la siguiente función de probabilidad:

\[ f(x) = \frac{e^{-2}2^x}{x!}, \quad para \quad x = 0, 1, 2... \]

a) Determine la probabilidad de que X sea igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 y elabore la tabla y grafíquela

lambda <- 2
x_v <- 0:6
prob_v <- dpois(x = x_v, lambda = lambda)
tabla_1 <- data.frame(x = x_v,f_x = prob_v)

flextable(tabla_1)

x

f_x

0

0.13533528

1

0.27067057

2

0.27067057

3

0.18044704

4

0.09022352

5

0.03608941

6

0.01202980

cat("la probabilidad de que X sea igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 es:", sum(prob_v))
## la probabilidad de que X sea igual a 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 es: 0.9954662

Gráfica de la función de probabilidad

ggplot(tabla_1, aes(x = x, y = f_x)) +
  geom_point(col = "darkblue", size = 3) +
  geom_segment(aes(x = x, xend = x, y = 0, yend = f_x), 
               linetype = "dashed", col = "darkblue") +
  labs(title = "Función de Probabilidad de Poisson (λ = 2)",
       x = "Número de llamadas (x)",
       y = "P(X = x)") +
  theme_minimal()

b) Determine la función de distribución acumulada para estos valores de X

F_x <- ppois(q = x_v, lambda = lambda)

tabla_acum <- data.frame(
  x = x_v,
  f_x = prob_v,
  F_x = F_x
)

flextable(tabla_acum)

x

f_x

F_x

0

0.13533528

0.1353353

1

0.27067057

0.4060058

2

0.27067057

0.6766764

3

0.18044704

0.8571235

4

0.09022352

0.9473470

5

0.03608941

0.9834364

6

0.01202980

0.9954662

c) Determine P(1 < X < 5)

prob_c <- sum(dpois(x = 2:4, lambda = lambda))

cat("P(1 < X < 5) =", round(prob_c, 4))
## P(1 < X < 5) = 0.5413

Ejercicio 3

El tiempo Z, en minutos, entre llamadas a un sistema de alimentación eléctrica tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

\[ f(z) = \begin{cases} \frac{1}{10}e^{-z/10}, & 0 < z < \infty \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]

a) Grafique la función de densidad

param <- 0.1 
z_v <- seq(0, 60, by = 0.1)
f_z <- dexp(z_v, rate = param)

df_3 <- data.frame(z = z_v, densidad = f_z)

ggplot(df_3, aes(x = z, y = densidad)) +
  geom_line(col = "darkred") +
  labs(title = "Función de Densidad Exponencial",
       x = "Tiempo Z",
       y = "f(z)") +
  theme_minimal()

b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya llamadas en un lapso de 20 minutos?

P(Z ≤ 20)

prob_b <- pexp(20, rate = param)

cat("P(Z ≤ 20) =", prob_b )
## P(Z ≤ 20) = 0.8646647

Ejercicio 4

Encuentre el valor esperado y la varianza de la variable aleatoria que tiene la función de densidad del ejercicio anterior.

parame <- 0.1

E_Z <- 1 / parame
Var_Z <- 1 / (parame^2)

cat("Valor Esperado E(Z) =", E_Z)
## Valor Esperado E(Z) = 10
cat("Varianza Var(Z) =", Var_Z)
## Varianza Var(Z) = 100

Ejercicio 5

Un factor importante en el combustible sólido para proyectiles es la distribución del tamaño de las partículas. Cuando las partículas son demasiado grandes se presentan problemas importantes. A partir de datos de producción históricos se determinó que la distribución del tamaño (en micras) de las partículas se caracteriza por la función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} 3x^{-4}, & x > 1 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \]

a) Grafique la función de distribución acumulativa

f_x5 <- function(x) {
  ifelse(x > 1, 3 * x^(-4), 0)
}

F_x5 <- function(x) {
  ifelse(x <= 1, 0, 1 - x^(-3))
}
x_v5 <- seq(1, 10, by = 0.01)
F_vals <- F_x5(x_v5)
df5_acum <- data.frame(x = x_v5, F_x = F_vals)

ggplot(df5_acum, aes(x = x, y = F_x)) +
  geom_line(col = "purple") +
  labs(title = "Función de Distribución Acumulativa",
       x = "Tamaño de partícula (micras)",
       y = "F(x)") +
  theme_minimal()

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una partícula tomada al azar del combustible fabricado sea mayor que 4 micras?

P(X > 4)

prob_b5 <- 1 - F_x5(4)

cat("P(X > 4) =", prob_b5)
## P(X > 4) = 0.015625

Respuesta del inciso b: 0.0156

Ejercicio 6

En los negocios es importante planear y llevar a cabo investigación para anticipar lo que ocurrirá al final del año. La investigación sugiere que el espectro de utilidades (pérdidas) de cierta empresa, con sus respectivas probabilidades, es el siguiente:

utilidades <- c(-15000, 0, 15000, 25000, 40000, 50000, 100000, 150000, 200000)
probabilidades <- c(0.05, 0.15, 0.15, 0.30, 0.15, 0.10, 0.05, 0.03, 0.02)

tabla_6 <- data.frame(
  Utilidad = utilidades,
  Probabilidad = probabilidades
)

flextable(tabla_6)

Utilidad

Probabilidad

-15,000

0.05

0

0.15

15,000

0.15

25,000

0.30

40,000

0.15

50,000

0.10

100,000

0.05

150,000

0.03

200,000

0.02

a) ¿Cuál es la utilidad esperada?

E_utilidad <- sum(utilidades * probabilidades)

cat("La utilidad esperada es: $", E_utilidad)
## La utilidad esperada es: $ 33500

b) ¿Cuál es la desviación estándar de las utilidades?

E_X2 <- sum(utilidades^2 * probabilidades)
Var_utilidad <- E_X2 - E_utilidad^2
SD_utilidad <- sqrt(Var_utilidad)

cat("E(X²) =", E_X2, "\n")
## E(X²) = 2697500000
cat("Varianza =", round(Var_utilidad, 2), "\n")
## Varianza = 1575250000
cat("Desviación estándar = $", round(SD_utilidad, 2))
## Desviación estándar = $ 39689.42