1 Objetivo

Generar datos simulados para dos distribuciones (Normal y Exponencial) con n = 20 y R = 30 réplicas; calcular la media por réplica; construir y reportar intervalos de confianza (95%) para la media poblacional; comparar y discutir resultados; y (opcional) evidenciar que las medias se aproximan a la normalidad (CLT).

2 Parámetros

params <- list(
  seed      = 1234L,
  n         = 20L,
  R         = 30L,
  mu_norm   = 15,
  sd_norm   = 5,
  mean_exp  = 3.5
)
set.seed(params$seed)
params
## $seed
## [1] 1234
## 
## $n
## [1] 20
## 
## $R
## [1] 30
## 
## $mu_norm
## [1] 15
## 
## $sd_norm
## [1] 5
## 
## $mean_exp
## [1] 3.5

3 Funciones auxiliares

ic_95_t <- function(v) {
  m  <- mean(v); s <- sd(v); N <- length(v)
  se <- s / sqrt(N); t_crit <- qt(0.975, df = N - 1)
  c(inf = m - t_crit * se, sup = m + t_crit * se)
}

ic_replica_t <- function(x, alpha = 0.05) {
  n  <- length(x)
  m  <- mean(x)
  s  <- sd(x)
  se <- s / sqrt(n)
  tcrit <- qt(1 - alpha/2, df = n - 1)
  c(inf = m - tcrit * se, sup = m + tcrit * se)
}

4 Simulación y medias por réplica

# Normal(mu=15, sd=5)
medias_normal <- replicate(params$R, mean(rnorm(params$n, params$mu_norm, params$sd_norm)))

# Exponencial(media=3.5) -> rate = 1/mean
medias_expon  <- replicate(params$R, mean(rexp(params$n, rate = 1/params$mean_exp)))

# Tabla con las 30 medias para ambas distribuciones (para entregar)
tabla_medias <- data.frame(
  replica = 1:params$R,
  media_normal = medias_normal,
  media_exponencial = medias_expon
)
knitr::kable(head(tabla_medias, 10), digits = 4, caption = "Primeras 10 de las 30 medias por réplica.")
Primeras 10 de las 30 medias por réplica.
replica media_normal media_exponencial
1 13.7467 2.8079
2 12.1147 3.0537
3 12.7783 3.2202
4 16.4357 3.0322
5 16.0056 3.7062
6 14.4347 4.9138
7 14.4913 3.2757
8 16.1786 2.5248
9 16.0935 2.6494
10 14.8330 2.9433 
write.csv(tabla_medias, file.path(out_dir, "tabla_medias_30_replicas.csv"), row.names = FALSE)

5 IC 95% usando las 30 medias (t sobre las medias)

ic_norm <- ic_95_t(medias_normal)
ic_exp  <- ic_95_t(medias_expon)

resumen <- data.frame(
  Distribución = c("Normal(15,5)", "Exponencial(media=3.5)"),
  n_replicas   = c(params$R, params$R),
  `Media de las medias` = c(mean(medias_normal), mean(medias_expon)),
  `Desviación estándar de las medias` = c(sd(medias_normal), sd(medias_expon)),
  IC95_inferior = c(ic_norm["inf"], ic_exp["inf"]),
  IC95_superior = c(ic_norm["sup"], ic_exp["sup"])
)
knitr::kable(resumen, digits = 4, caption = "IC 95% para la media poblacional (vía t-Student aplicado a las 30 medias).")
IC 95% para la media poblacional (vía t-Student aplicado a las 30 medias).
Distribución n_replicas Media.de.las.medias Desviación.estándar.de.las.medias IC95_inferior IC95_superior
Normal(15,5) 30 14.8936 1.1729 14.4556 15.3316
Exponencial(media=3.5) 30 3.4837 0.6542 3.2394 3.7280 
write.csv(resumen, file.path(out_dir, "resumen_IC_95.csv"), row.names = FALSE)

6 Gráficas de diagnóstico (medias)

hist(medias_normal, breaks = 8, main = "Medias (30 réplicas) - Normal(15,5)",
     xlab = "Media por réplica", ylab = "Frecuencia")
xseq <- seq(min(medias_normal), max(medias_normal), length.out = 200)
dens <- dnorm(xseq, mean = mean(medias_normal), sd = sd(medias_normal))
dens <- dens * diff(hist(medias_normal, plot = FALSE)$breaks)[1] * length(medias_normal)
lines(xseq, dens, lwd = 2)

qqnorm(medias_normal, main = "QQ-plot de medias - Normal(15,5)")
qqline(medias_normal, col = "red", lwd = 2)

hist(medias_expon, breaks = 8, main = "Medias (30 réplicas) - Exponencial(media=3.5)",
     xlab = "Media por réplica", ylab = "Frecuencia")
xseq <- seq(min(medias_expon), max(medias_expon), length.out = 200)
dens <- dnorm(xseq, mean = mean(medias_expon), sd = sd(medias_expon))
dens <- dens * diff(hist(medias_expon, plot = FALSE)$breaks)[1] * length(medias_expon)
lines(xseq, dens, lwd = 2)

qqnorm(medias_expon, main = "QQ-plot de medias - Exponencial(media=3.5)")
qqline(medias_expon, col = "red", lwd = 2)

7 Determinación del tipo de distribución que siguen las medias (Stat:fit)

Nota: Si no cuentas con ProModel/Stat:fit, aquí justificamos la normalidad de las medias con QQ-plots y Shapiro; además, dejamos la visual IC por réplica y cobertura como apoyo didáctico.

En esta sección se construyen 30 IC (95%) por réplica a partir de los datos crudos de cada muestra (tamaño \(n=20\)), y se reporta la tasa de cobertura con respecto a la media verdadera.

build_replica_intervals <- function(R, n, gen_fun, true_mean, out_prefix, ...) {
  ICs <- matrix(NA_real_, nrow = R, ncol = 2, dimnames = list(NULL, c("inf","sup")))
  means <- numeric(R)
  for (r in 1:R) {
    x <- gen_fun(n, ...)
    means[r] <- mean(x)
    ICs[r,] <- ic_replica_t(x)
  }
  coverage <- (ICs[,1] <= true_mean) & (true_mean <= ICs[,2])
  cov_rate <- mean(coverage)
  df <- data.frame(replica = 1:R, media = means, IC_inf = ICs[,1], IC_sup = ICs[,2], cubre = coverage)
  write.csv(df, file.path(out_dir, paste0(out_prefix, "_ICs_por_replica.csv")), row.names = FALSE)
  
  plot(NA, xlim = range(ICs), ylim = c(0.5, R + 0.5),
       xlab = "Intervalo de Confianza (95%)", ylab = "Réplica",
       main = paste0("IC por réplica (95%) - ", out_prefix,
                     "\nCobertura: ", sprintf('%.1f%%', 100*cov_rate),
                     " | Línea vertical = media verdadera"))
  abline(v = true_mean, lty = 2)
  for (i in 1:R) {
    col <- if (coverage[i]) "forestgreen" else "red3"
    segments(ICs[i,1], i, ICs[i,2], i, lwd = 2, col = col)
    points(means[i], i, pch = 20)
  }
  invisible(list(df = df, coverage = cov_rate))
}

res_norm_rep <- build_replica_intervals(params$R, params$n, rnorm, params$mu_norm, "Normal_15_5",
                                        mean = params$mu_norm, sd = params$sd_norm)

res_exp_rep  <- build_replica_intervals(params$R, params$n, rexp, params$mean_exp, "Exponencial_3_5",
                                        rate = 1/params$mean_exp)

8 Comentario / Discusión breve

9 Nota sobre Stat:fit (ProModel)

Si se solicita usar Stat:fit para “identificar la distribución de las medias”, la expectativa es que las medias se ajusten a algo cercano a Normal (por CLT). Si no se dispone de ProModel, se pueden reportar nuestros QQ-plots y, opcionalmente, el test de Shapiro-Wilk como evidencia metodológica.

shapiro_norm <- shapiro.test(medias_normal)
shapiro_expo <- shapiro.test(medias_expon)
data.frame(
  Distribucion = c("Medias Normal", "Medias Exponencial"),
  W = c(unname(shapiro_norm$statistic), unname(shapiro_expo$statistic)),
  p_value = c(shapiro_norm$p.value, shapiro_expo$p.value)
)
Distribucion W p_value
Medias Normal 0.9316338 0.0542709
Medias Exponencial 0.9364667 0.0730857

10 Apéndice

sessionInfo()
## R version 4.5.1 (2025-06-13 ucrt)
## Platform: x86_64-w64-mingw32/x64
## Running under: Windows 11 x64 (build 22631)
## 
## Matrix products: default
##   LAPACK version 3.12.1
## 
## locale:
## [1] LC_COLLATE=Spanish_Colombia.utf8  LC_CTYPE=Spanish_Colombia.utf8   
## [3] LC_MONETARY=Spanish_Colombia.utf8 LC_NUMERIC=C                     
## [5] LC_TIME=Spanish_Colombia.utf8    
## 
## time zone: America/Bogota
## tzcode source: internal
## 
## attached base packages:
## [1] stats     graphics  grDevices utils     datasets  methods   base     
## 
## loaded via a namespace (and not attached):
##  [1] digest_0.6.37     R6_2.6.1          fastmap_1.2.0     xfun_0.52        
##  [5] cachem_1.1.0      knitr_1.50        htmltools_0.5.8.1 rmarkdown_2.29   
##  [9] lifecycle_1.0.4   cli_3.6.5         sass_0.4.10       jquerylib_0.1.4  
## [13] compiler_4.5.1    rstudioapi_0.17.1 tools_4.5.1       evaluate_1.0.4   
## [17] bslib_0.9.0       yaml_2.3.10       rlang_1.1.6       jsonlite_2.0.0

11 11 Interpretación de las gráficas

En esta sección se explica cómo leer e interpretar cada una de las gráficas generadas por el análisis para que puedas comentarlas con precisión en tu entrega.

11.1 Histogramas de las medias (Normal y Exponencial)

  • Qué muestran: la distribución de las 30 medias por réplica (no de los datos crudos).
  • Por qué importan: si las medias se ven aproximadamente simétricas y con forma de campana, respalda la idea de que las medias son ~Normales por el Teorema Central del Límite (CLT), incluso cuando los datos originales (Exponencial) son asimétricos.
  • Cómo leerlos: comparamos el histograma con una curva normal superpuesta (basada en la media y desviación de las 30 medias). Si la curva “calza” razonablemente con las barras, hay buen soporte de normalidad para las medias.
  • Qué decir en el informe: “El histograma de las medias para Normal y para Exponencial muestra forma aproximadamente normal; esto, junto con el CLT, respalda el uso de IC con t-Student.”

11.2 QQ-plots de las medias

  • Qué muestran: comparan los cuantiles de las 30 medias con los de una Normal teórica.
  • Cómo leerlos: si los puntos caen cerca de la línea recta, las medias son compatibles con normalidad. Desviaciones leves en colas son comunes con muestras pequeñas (30 puntos).
  • Conclusión típica: para la Normal(15,5) los puntos deben alinearse bien; para la Exponencial(media=3.5) puede haber pequeñas desviaciones en colas, pero la tendencia será cercana a la recta, tal como predice el CLT.

11.3 IC por réplica y tasa de cobertura

  • Qué muestran: 30 intervalos de confianza (95%) construidos con los datos crudos (n=20) de cada réplica. La línea vertical indica la media verdadera (15 o 3.5).
  • Colores: verde = el IC incluye la media verdadera (cubre); rojo = no la incluye.
  • Cómo leerlos: cuenta visualmente cuántas barras verdes/rojas hay. El porcentaje de verdes es la tasa de cobertura. Para IC 95% y supuestos correctos, esperamos alrededor de 95% de cobertura (con variación muestral por tener solo 30 réplicas).
  • Qué decir en el informe: “La cobertura observada es cercana al 95% esperado; por lo tanto, el procedimiento de IC es coherente con la teoría.”