Servidor Simulacion

Objetivo

Generar dos conjuntos de datos mediante simulación y réplicas:

Tiempo de atención en banco: 𝑋∼𝑁(𝜇=15,𝜎=5).

20 observaciones por réplica.
30 réplicas y registrar el promedio de cada una.

Tiempo entre llegadas: 𝑌∼Exponencial(media=3.5).

20 observaciones por réplica (parametrizado, ver n_exp).
30 réplicas y registrar el promedio de cada una.

Luego, con las 30 medias de réplica de cada caso, calcular el IC del 95% para la media poblacional y analizar diferencias entre distribuciones.

Réplicas

R <- 30

Caso Normal

n_norm <- 20
mu_norm <- 15
sd_norm <- 5

Caso Exponencial

n_exp <- 20
mu_exp <- 3.5
lambda_exp <- 1 / mu_exp

Función: IC t de Student para un vector de observaciones x

ci_t <- function(x, conf = 0.95) {
n <- length(x)
m <- mean(x)
s <- sd(x)
tcrit <- qt(1 - (1 - conf)/2, df = n - 1)
se <- s / sqrt(n)
hw <- tcrit * se
c(media = m, n = n, s = s, se = se, tcrit = tcrit,
IC_inf = m - hw, IC_sup = m + hw)
}

Simulación con replicate() Para la Exponencial se usa 𝑛=20 por réplica, en simetría con el caso Normal.

Normal(15, 5) — 20 observaciones por réplica, 30 réplicas -> 30 promedios

means_norm <- replicate(R, mean(rnorm(n_norm, mean = mu_norm, sd = sd_norm)))

Exponencial(media=3.5) — n_exp observaciones por réplica, 30 réplicas -> 30 promedios

means_exp <- replicate(R, mean(rexp(n_exp, rate = lambda_exp)))

Primeras medias.

head_norm <- head(means_norm, 10)
head_exp <- head(means_exp, 10)

data.frame(replica = 1:10,
media_normal = round(head_norm, 4),
media_exponencial = round(head_exp, 4))

##    replica media_normal media_exponencial
## 1        1      15.7377            2.9569
## 2        2      17.0011            3.7250
## 3        3      15.8823            3.5497
## 4        4      14.2290            2.9436
## 5        5      15.6072            5.6229
## 6        6      13.8320            2.9542
## 7        7      15.9122            2.3582
## 8        8      16.1468            3.0805
## 9        9      14.7820            2.3220
## 10      10      13.9880            2.9227

Estimación e IC 95% (usando las 30 medias)

ci_norm <- ci_t(means_norm, conf = 0.95)
ci_exp <- ci_t(means_exp, conf = 0.95)

ic_tabla <- data.frame(
Conjunto = c("Normal(15,5) — medias por réplica",
"Exponencial(media=3.5) — medias por réplica"),
n_replicas = c(as.integer(ci_norm["n"]), as.integer(ci_exp["n"])),
media_muestral = c(ci_norm["media"], ci_exp["media"]),
sd_de_medias = c(ci_norm["s"], ci_exp["s"]),
se_gran_media = c(ci_norm["se"], ci_exp["se"]),
t_critico = c(ci_norm["tcrit"],ci_exp["tcrit"]),
IC95_inf = c(ci_norm["IC_inf"], ci_exp["IC_inf"]),
IC95_sup = c(ci_norm["IC_sup"], ci_exp["IC_sup"])
)

knitr::kable(ic_tabla, digits = 4, caption = "IC 95% para la media (basado en 30 medias de réplica).")

IC 95% para la media (basado en 30 medias de réplica).
Conjunto	n_replicas	media_muestral	sd_de_medias	se_gran_media	t_critico	IC95_inf	IC95_sup
Normal(15,5) — medias por réplica	30	14.9587	0.9816	0.1792	2.0452	14.5922	15.3252
Exponencial(media=3.5) — medias por réplica	30	3.2657	0.7053	0.1288	2.0452	3.0023	3.5290

par(mfrow = c(1, 2))
hist(means_norm, breaks = 10, main = "Medias por réplica — Normal",
xlab = "media réplica", ylab = "Frecuencia")
lines(density(means_norm), lwd = 2)

hist(means_exp,  breaks = 10, main = "Medias por réplica — Exponencial",
xlab = "media réplica", ylab = "Frecuencia")
lines(density(means_exp), lwd = 2)

par(mfrow = c(1, 1))

Análisis y comparación

Cobertura respecto a los valores teóricos

mu_en_ic_norm <- (mu_norm >= ic_tabla$IC95_inf[1] && mu_norm <= ic_tabla$IC95_sup[1])
mu_en_ic_exp  <- (mu_exp  >= ic_tabla$IC95_inf[2] && mu_exp  <= ic_tabla$IC95_sup[2])

data.frame(
Conjunto = c("Normal(15,5)", "Exponencial(media=3.5)"),
mu_teorico = c(mu_norm, mu_exp),
dentro_IC95 = c(mu_en_ic_norm, mu_en_ic_exp)
)

##                 Conjunto mu_teorico dentro_IC95
## 1           Normal(15,5)       15.0        TRUE
## 2 Exponencial(media=3.5)        3.5        TRUE

Expectativas teóricas sobre la variabilidad de las medias de réplica La desviación estándar de una media muestral es 𝜎/√𝑛.

Normal:σ=5⇒ σˉX≈5/√20≈1.118.
Exponencial: σ=media=3.5⇒σYˉ≈3.5/√20≈0.783.

Por tanto, con estos parámetros, las medias por réplica de la Exponencial tenderán a ser menos dispersas que las de la Normal. Además, al promediar 𝑛=20 valores, ambas distribuciones de medias se vuelven más simétricas (CLT), pero la Normal ya parte de simetría, mientras que la Exponencial (asimétrica en crudo) muestra medias notablemente más simétricas y estables.

R <- 30
tcrit <- qt(0.975, df = R - 1)
sd_media_norm <- sd_norm / sqrt(n_norm)
sd_media_exp <- mu_exp / sqrt(n_exp)
se_gran_media_norm <- sd_media_norm / sqrt(R)
se_gran_media_exp <- sd_media_exp / sqrt(R)
half_norm <- tcrit * se_gran_media_norm
half_exp <- tcrit * se_gran_media_exp

data.frame(
Conjunto = c("Normal", "Exponencial"),
sd_media_replicas = c(sd_media_norm, sd_media_exp),
se_de_la_gran_media = c(se_gran_media_norm, se_gran_media_exp),
semiancho_IC95_esperado = c(half_norm, half_exp)
)

##      Conjunto sd_media_replicas se_de_la_gran_media semiancho_IC95_esperado
## 1      Normal         1.1180340           0.2041241               0.4174808
## 2 Exponencial         0.7826238           0.1428869               0.2922365

Es decir:

Con 𝑛=20 por réplica y 𝑅=30, los IC 95% se centran cerca de los valores teóricos (15 y 3.5) y usualmente los contienen.
La Exponencial con media 3.5 muestra CI más estrechos que la Normal con 𝜎=5 porque su variabilidad teórica es menor (𝜎=3.5<5).
El promedio de 20 observaciones reduce la asimetría de la Exponencial (CLT), de modo que la distribución de medias por réplica luce más normal.
Si se cambia𝑛o los parámetros (𝜇,𝜎), la anchura de los IC y la forma de las distribuciones cambiarían en consecuencia.

datos_norm <- data.frame(replica = 1:R, media = means_norm)
datos_exp  <- data.frame(replica = 1:R, media = means_exp)

knitr::kable(head(datos_norm, 10), digits = 4, caption = "Primeras 10 medias — Normal")

Primeras 10 medias — Normal
replica	media
1	15.7377
2	17.0011
3	15.8823
4	14.2290
5	15.6072
6	13.8320
7	15.9122
8	16.1468
9	14.7820
10	13.9880

knitr::kable(head(datos_exp,  10), digits = 4, caption = "Primeras 10 medias — Exponencial")

Primeras 10 medias — Exponencial
replica	media
1	2.9569
2	3.7250
3	3.5497
4	2.9436
5	5.6229
6	2.9542
7	2.3582
8	3.0805
9	2.3220
10	2.9227

TODO:

knitr::kable(datos_norm, digits = 4)

replica	media
1	15.7377
2	17.0011
3	15.8823
4	14.2290
5	15.6072
6	13.8320
7	15.9122
8	16.1468
9	14.7820
10	13.9880
11	15.9370
12	13.1292
13	15.1935
14	12.6510
15	15.1717
16	14.1372
17	15.3753
18	14.0223
19	14.1907
20	15.7384
21	14.3720
22	15.8017
23	14.7693
24	15.7860
25	14.2163
26	14.2905
27	15.8219
28	15.6425
29	14.7942
30	14.6013

knitr::kable(datos_exp,  digits = 4)

replica	media
1	2.9569
2	3.7250
3	3.5497
4	2.9436
5	5.6229
6	2.9542
7	2.3582
8	3.0805
9	2.3220
10	2.9227
11	3.3187
12	3.3946
13	3.2573
14	4.0238
15	2.0899
16	4.4027
17	2.5957
18	3.4044
19	3.3201
20	3.6144
21	3.1499
22	2.5941
23	3.3310
24	3.3696
25	4.0716
26	3.3225
27	2.1881
28	2.9777
29	3.4767
30	3.6313

ILUSTRACION 1

ILUSTRACION 2

Servidor Simulacion

Jesús Díaz Meza

2025-10-22