Simulación de Variables Aleatorias y Estimación por Intervalo de Confianza

Introducción El objetivo de esta actividad es simular dos sistemas (atención Normal y llegadas Exponencial) , generar 30 réplicas de sus promedios, y calcular los intervalos de confianza del 95% para la media . Finalmente, se utiliza Stat::Fit para verificar la distribución de las medias muestrales.
Generación de Datos

A continuación, se presentan los datos generados para las simulaciones.

2.1 Simulación 1: Distribución Normal Se simulan 30 réplicas del promedio de 20 clientes con \(\mu=15\) y \(\sigma=5\).

# Simulación Normal
set.seed(123) # Para replicar resultados
r <- 30 # Número de réplicas
n_clientes <- 20 # Clientes por réplica
confianza <- 0.95

media_normal <- 15
desv_normal <- 5

# Vector para guardar los 30 promedios
promedios_normal <- numeric(r)

# Bucle para las 30 réplicas
for (i in 1:r) {
  # 1. Simular los 20 clientes
  tiempos_atencion <- rnorm(n = n_clientes, mean = media_normal, sd = desv_normal)
  # 2. Guardar el promedio de esta réplica
  promedios_normal[i] <- mean(tiempos_atencion)
}

print(promedios_normal)

##  [1] 15.70812 14.74371 15.53243 14.40041 16.87547 13.20310 14.80825 14.13332
##  [9] 15.83445 14.33221 15.29742 14.80830 14.88379 16.04741 16.97471 14.80494
## [17] 15.25109 14.62870 15.14293 14.26677 13.94018 16.03292 14.81796 16.50615
## [25] 16.34905 13.62300 16.26086 15.50509 14.79653 13.75702

2.2 Simulación 2: Distribución Exponencial
Se simulan 30 réplicas del promedio de 20 llegadas con \(\mu=3.5\).

# Simulación Exponencial
n_llegadas <- 20 # Asumimos n=20
media_exponencial <- 3.5
# R usa 'rate' (lambda = 1 / media)
rate_exponencial <- 1 / media_exponencial 

# Vector para guardar los 30 promedios
promedios_exponencial <- numeric(r)

# Bucle para las 30 réplicas
for (i in 1:r) {
  # 1. Simular las 20 llegadas
  tiempos_llegada <- rexp(n = n_llegadas, rate = rate_exponencial)
  # 2. Guardar el promedio de esta réplica
  promedios_exponencial[i] <- mean(tiempos_llegada)
}

print(promedios_exponencial)

##  [1] 4.128988 4.585578 2.883060 4.145512 2.433087 5.055695 2.420080 3.680780
##  [9] 3.666126 5.784791 3.814230 3.536007 3.273484 3.077473 3.484573 3.514125
## [17] 3.001881 3.330810 2.939259 3.131979 3.081971 4.381512 3.474137 4.233632
## [25] 3.391420 3.213681 4.132584 4.064521 3.356930 3.208657

Tabla de Resultados e Intervalos de Confianza
Se calculan la media muestral, desviación estándar y el IC del 95% para ambos conjuntos de 30 promedios.

# --- Cálculos de IC ---
ic_normal <- t.test(promedios_normal, conf.level = confianza)
ic_exponencial <- t.test(promedios_exponencial, conf.level = confianza)

# --- Creación de la Tabla ---
datos_tabla <- data.frame(
  Simulacion = c("Normal (Atención Banco)", "Exponencial (Llegada Clientes)"),
  Media_Muestral_X_barra = c(ic_normal$estimate, ic_exponencial$estimate),
  Desviacion_Estandar_s = c(sd(promedios_normal), sd(promedios_exponencial)),
  IC_95_Inferior = c(ic_normal$conf.int[1], ic_exponencial$conf.int[1]),
  IC_95_Superior = c(ic_normal$conf.int[2], ic_exponencial$conf.int[2]),
  Media_Teorica_Mu = c(media_normal, media_exponencial)
)

# --- Impresión de la Tabla Formateada ---
kable(datos_tabla, 
      caption = "Tabla de Resumen: Estadísticos e Intervalos de Confianza (95%)",
      digits = 4, # Redondeamos a 4 decimales
      col.names = c("Simulación", "Media Muestral (x̄)", "Desv. Estándar (s)", "Límite IC 95% Inf.", "Límite IC 95% Sup.", "Media Teórica (μ)")
)

Tabla de Resumen: Estadísticos e Intervalos de Confianza (95%)
Simulación	Media Muestral (x̄)	Desv. Estándar (s)	Límite IC 95% Inf.	Límite IC 95% Sup.	Media Teórica (μ)
Normal (Atención Banco)	15.1089	0.9667	14.7479	15.4699	15.0
Exponencial (Llegada Clientes)	3.6142	0.7299	3.3417	3.8868	3.5

Interpretación de la Tabla

Para la Simulación Normal, el IC del 95% que se calculó en la tabla, contiene la media teórica de 15.
Para la simulación Exponencial, el IC del 95% que se calculó en la tabla contiene la media teórica de 3.5.
Ambas simulaciones son validadas estadísticamente, ya que el intervalo de confianza captura el parámetro poblacional verdadero.

Análisis de Distribución con Stat::Fit (Punto 5) Se utilizaron los 30 promedios de cada simulación en Stat::fit para determinar la distribución que mejor se ajusta.

4.1 Resultados de promedios_normal Como se esperaba, al analizar los promedios de la Simulación Normal, Stat::Fit no rechaza la Distribución Normal . Los parámetros encontrados (Media \(\approx 15.1\)) son consistentes con la simulación. Resultado de Stat::Fit para los promedios Normales

4.2 Resultados de promedios_exponencial Este es el resultado clave. Debido a que cuando analizamos los promedios de la Simulación Exponencial encontramos:

Resultado de Stat::Fit para los promedios Exponenciales

Stat::fit RECHAZA la Distribución Exponencial original.
Stat::fit NO RECHAZA la Dsitribución Normal.

Análisis Final Ahora pasaremos a explicar las diferencias observadas y la interpretación de los resultados.

Los resultados de Stat::Fit demuestran visual y estadísticamente el Teorema del Límite Central (TLC).

¿Cuál es la diferencia observada? La diferencia principal estaba en los datos originales está en que unos eran Normales (simétricos) y otros Exponenciales (sesgados).
¿Por qué los resultados de Stat::Fit son similares? El TLC establece que, sin importar la distribución original (Exponencial), la distribución de las medias muestrales (nuestros 30 promedios) siempre tenderá a comportarse como una Distribución Normal (asumiendo \(n\) y \(r\) suficientes).
Conclusión: Nuestros resultados confirman esto. Stat::Fit rechazó la Exponencial pero aceptó la Normal para los promedios exponenciales. Es gracias a este teorema que fue estadísticamente válido usar el t.test (que asume normalidad) en ambos conjuntos de datos en la Sección 3.

Simulación de Variables Aleatorias y Estimación por Intervalo de Confianza

Carlos Pérez

2025-10-22

Interpretación de la Tabla