1. Нормальное распределение \(\mathcal{N}(0,1)\)

Сгенерируем выборку из \(\mathcal{N}(0,1)\) размера \(n = 100\):

normal_sample <- rnorm(100)

Построим гистограмму полученной выборки и теоретического распределения:

par(bg = "gray94")
hist(normal_sample, col = "darkseagreen1", breaks = 30, xlim = c(-4,4), prob = TRUE)
x <- seq(-4,4,0.01)
lines(x,dnorm(x), lwd = 3, col = "lightcoral")

Изобразим функцию распределения на нoрмальной вероятности бумаге:

par(bg = "gray94")
qqnorm(normal_sample, col = "darkseagreen4")
qqline(normal_sample, col = "lightcoral", lwd = 2)

Проведем тест на нормальность распределения c помощбю теста Колмогорова-Смирнова на уровне значимости \(\alpha = 0.05\):

test <- ks.test(normal_sample, "pnorm",mean(normal_sample), sd(normal_sample))
test
## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  normal_sample
## D = 0.057742, p-value = 0.8927
## alternative hypothesis: two-sided

По итогам теста гипотеза о нормальности распределения на заданном уровне значимости принята, так как \(\alpha < 0.8926895\)

2. Распределение Коши \(C(0,1)\)

Сгенерируем выборку из \(C(0,1)\) размера \(n = 100\):

cauchy_sample <- rcauchy(100)

Построим гистограмму полученной выборки и теоретического распределения:

par(bg = "gray94")
hist(cauchy_sample, col = "darkseagreen1",include.lowest=TRUE,breaks = 100, xlim = c(-20,20), prob = TRUE, ylim = c(0, max(1/pi, 0.4)))
x <- seq(-20,20,0.01)
lines(x,dcauchy(x), lwd = 3, col = "lightcoral")
lines(x,dnorm(x), lwd = 3, col = "lightskyblue")
legend("topright",c("C(0,1)", "N(0,1)"), lty = 1, col = c("lightcoral", "lightskyblue"), lwd = 3)

Изобразим функцию распределения на нoрмальной вероятности бумаге:

par(bg = "gray94")
qqnorm(cauchy_sample, col = "darkseagreen4")
qqline(cauchy_sample, col = "lightcoral", lwd = 2)

Проведем тест на нормальность распределения c помощбю теста Колмогорова-Смирнова на уровне значимости \(\alpha = 0.05\):

test <- ks.test(cauchy_sample, "pnorm",mean(cauchy_sample), sd(cauchy_sample))
test
## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  cauchy_sample
## D = 0.34353, p-value = 1.123e-10
## alternative hypothesis: two-sided

По итогам теста гипотеза о нормальности распределения на заданном уровне значимости отклонена, так как \(\alpha > 1.1229617\times 10^{-10}\)

3. Нормальное распределение \(\mathcal{N}(0,0.2)\)

Сгенерируем выборку из \(\mathcal{N}(0,1)\) размера \(n = 100\):

normal_sample <- rnorm(100, sd = .2)

Построим гистограмму полученной выборки и теоретического распределения:

par(bg = "gray94")
hist(normal_sample, col = "darkseagreen1", breaks = 10, xlim = c(-4,4), prob = TRUE)
x <- seq(-4,4,0.01)
lines(x,dnorm(x, sd = .2), lwd = 3, col = "lightcoral")
lines(x,dnorm(x), lwd = 3, col = "lightskyblue")
legend("topright",c("N(0,0.2)", "N(0,1)"), lty = 1, col = c("lightcoral", "lightskyblue"), lwd = 3)

Изобразим функцию распределения на нoрмальной вероятности бумаге:

par(bg = "gray94")
qqnorm(normal_sample, col = "darkseagreen4")
qqline(normal_sample, col = "lightcoral", lwd = 2)

Проведем тест на нормальность распределения c помощбю теста Колмогорова-Смирнова на уровне значимости \(\alpha = 0.05\):

test <- ks.test(normal_sample, "pnorm",mean(normal_sample), sd(normal_sample))
test
## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  normal_sample
## D = 0.068792, p-value = 0.7312
## alternative hypothesis: two-sided

По итогам теста гипотеза о нормальности распределения на заданном уровне значимости принята, так как \(\alpha < 0.7312451\)

4. Экспоненциальное распределение \(Exp(1)\)

Сгенерируем выборку из \(Exp(1)\) размера \(n = 100\):

exp_sample = rexp(100)

Построим гистограмму полученной выборки и теоретического распределения:

par(bg = "gray94")
hist(exp_sample, col = "darkseagreen1", breaks = 50, xlim = c(0,6), prob = TRUE, ylim = c(0,1))
x <- seq(0,6,0.01)
lines(x,dexp(x), lwd = 3, col = "lightcoral")
lines(x,dnorm(x), lwd = 3, col = "lightskyblue")
legend("topright",c("Exp(1)", "N(0,1)"), lty = 1, col = c("lightcoral", "lightskyblue"), lwd = 3)

Изобразим функцию распределения на нoрмальной вероятности бумаге:

par(bg = "gray94")
qqnorm(exp_sample, col = "darkseagreen4")
qqline(exp_sample, col = "lightcoral", lwd = 2)

Проведем тест на нормальность распределения c помощбю теста Колмогорова-Смирнова на уровне значимости \(\alpha = 0.05\):

test <- ks.test(exp_sample, "pnorm",mean(exp_sample), sd(exp_sample))
test
## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  exp_sample
## D = 0.19238, p-value = 0.00122
## alternative hypothesis: two-sided

По итогам теста гипотеза о нормальности распределения на заданном уровне значимости отклонена, так как \(\alpha > 0.0012203\)

5. Распределение Лапласа

Сгенерируем выборку размера \(n = 100\):

dlaplace <- function(x, mu = 0, sigma = 1) sigma/2*exp(-sigma*abs(x-mu))
rlaplace <- function(n,mu = 0, sigma = 1){
  U = runif(n,0,1)
  sign = ifelse(rbinom(n,1,.5)>.5,1,-1)     
  y = mu + sign*sigma/sqrt(2)*log(1-U)  
  y
}
laplace_sample <- rlaplace(100)

Построим гистограмму полученной выборки и теоретического распределения:

par(bg = "gray94")
hist(laplace_sample,col = "darkseagreen1", xlim = c(-4,4), breaks = 20, prob = TRUE)
x <- seq(-4,4,0.01)
lines(x,dlaplace(x), lwd = 3, col = "lightcoral")
lines(x,dnorm(x), lwd = 3, col = "lightskyblue")
legend("topright",c("Laplace", "N(0,1)"), lty = 1, col = c("lightcoral", "lightskyblue"), lwd = 3)

Изобразим функцию распределения на нoрмальной вероятности бумаге:

par(bg = "gray94")
qqnorm(laplace_sample, col = "darkseagreen4")
qqline(exp_sample, col = "lightcoral", lwd = 2)

Проведем тест на нормальность распределения c помощбю теста Колмогорова-Смирнова на уровне значимости \(\alpha = 0.05\):

test <- ks.test(laplace_sample, "pnorm",mean(laplace_sample), sd(laplace_sample))
test
## 
##  One-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  laplace_sample
## D = 0.092582, p-value = 0.3581
## alternative hypothesis: two-sided

По итогам теста гипотеза о нормальности распределения на заданном уровне значимости принята, так как \(\alpha < 0.3580887\)