Enunciado - Punto 9

ENUNCIADO

Una determinada librería recientemente inaugurada ofrece, además de la consulta de libros, los servicios de cafetería. Para una próxima exposición en la Feria del Libro, la empresa ha decidido solicitar a una fábrica textil la elaboración de camisetas promocionales de la librería.

La fábrica textil decide hacer camisetas de tres tallas: L, XL y XXL. Se concluye que las alturas de los posibles compradores potenciales siguen una distribución normal con: \[ μ=165.4 cm,σ=8.3 cm \]

Inciso A

A. Supongamos que la fábrica ya tiene los patrones hechos, y recomienda la talla L hasta 161 cm., talla XL hasta 179 cm. y talla XXL para alturas superiores. Bajo estas condiciones, ¿qué proporción de camisetas de cada tipo es razonable que se fabriquen?

Cálculo de proporciones según las tallas

Recomendaciones de la fábrica: L hasta 161 cm, XL hasta 179 cm, y XXL para alturas mayores.

Fórmulas \[ P(X≤161),P(161<X≤179),P(X>179) \]

##      L     XL    XXL 
## 0.2980 0.6513 0.0507

Resultados \[ P(X \leq 161) = 0.2981 \Rightarrow \text{Talla L ≈ 30%} \] \[ P(161 < X \leq 179) = 0.6503 \Rightarrow \text{Talla XL ≈ 65%} \] \[ P(X > 179) = 0.0401 \Rightarrow \text{Talla XXL ≈ 4%} \]

Inciso B

B. Supongamos, ahora, que por razones de mercado, la empresa cree conveniente fabricar el 15% de camisetas de la talla L, el 63% de la talla XL y el 22% restante de la talla XXL. ¿Cuáles serán los límites de alturas con que se tendría que diseñar cada talla?

Límites de altura según proporciones deseadas

La empresa desea fabricar: 15% L, 63% XL y 22% XXL.

Fórmulas

Se usan los percentiles correspondientes a esas proporciones: \[ P(X≤k1​)=0.15,P(X≤k2​)=0.78,P(X≤k3​)=0.22 \]

##   Probabilidad Valor_k
## 1         0.15 156.798
## 2         0.78 171.809
## 3         0.22 158.991

Resultados \[ k1​=156.77 cm,k2​=171.79 cm,k3​=159.01 \] Diseño de tallas:

Talla L: hasta 156.8 cm

Talla XL: entre 156.8 y 171.8 cm

Talla XXL: superior a 171.8 cm

Inciso C

C. Supongamos que se escoge una muestra de 5 patrones ya hechos. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 2 de las camisetas fabricadas tengan una talla L hasta 163 cm.

Probabilidad de que al menos 2 camisetas sean talla L hasta 163 cm

\[ P(X≤163)=P(Z≤8.3163−165.4​)=P(Z≤−0.28)=0.3897 \] Usando el modelo binomial con \[ n=5,p=0.3897: \] \[ P(X≥2)=1−[P(X=0)+P(X=1)] \]

## [1] 0.645

Resultado \[ P(X≥2)=0.6451 \]

Probabilidad ≈ 64.5%

Inciso D

D. Supongamos que se escoge una muestra de 30000 patrones ya hechos. ¿Aproximadamente cuántas camisetas tienen una talla L entre 160 y 162 cm.

Número esperado de camisetas talla L entre 160 y 162 cm \[ P(160≤X≤162)=P(Z≤0.40)−P(Z≤−0.65) 𝑃 ( 160 ≤ 𝑋 ≤ 162 ) = 0.3146 − 0.2578 = 0.0868 P(160≤X≤162)=0.3146−0.2578=0.0868 \]

Si se fabrican 30,000 camisetas: \[ E=30,000×0.0868=2,604 \]

## [1] 2501.519

Se esperan aproximadamente 2,604 camisetas entre 160 y 162 cm.