Parcial 1
Parcial 1
2025-10-3
2025-10-3
EJERCICIO 3.7
F <- function(X){
ifelse(X < 0, 0,
ifelse(X < 1, (X^2)/2,
ifelse(X < 2, 1 - ((2-X)^2)/2, 1)))
}
p.a <- F(1.2) - F(0)
cat("a) P(X < 1.2) = ", round(p.a,3), "\n")## a) P(X < 1.2) = 0.68## b) P(0.5 < X < 1) = 0.375F <- function(x) {
ifelse(x < 0, 0,
ifelse(x < 1, (x^2) / 2,
ifelse(x < 2, 1 - ((2 - x)^2) / 2, 1)))
}Gráfica de la función de densidad
f <- function(x) {
ifelse(x >= 0 & x < 1 , x,
ifelse(x >= 1 & x < 2, 2-x, 0))
}
x_vals <- seq(0, 2, length.out = 200)
plot(x_vals, f(x_vals), type = "l", lwd = 2, col = "blue",
main = "Función de densidad f(x)",
xlab = "x (en unidades de 100 horas)", ylab = "f(x)")
polygon(c(0, x_vals, 2), c(0, f(x_vals), 0), col = rgb(0,0,1,0.2), border = NA)
EJERCICIO 3.9
La proporcíon de personas que responden a ciertas encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua \(\small m\) que tiene la siguiente funcion de densidad:
\[ f(m) = \begin{cases} \frac {2(m+2)}{5}, &0< m <1 \\ 0, & \textit{ en otro caso.} \end{cases} \] Ahora con esto podemos iniciar a determinar cada pregunta:
a) Demuestre que P(0<m<1)=1.
En este caso se utiliza la segunda condicion condicion de funcion de densidad:
\[ \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty}f(m)=1 \end{aligned} \]
Ahora como la funcion se encuetra restringida en el intervalo \(\small0< m <1\) remplazamos lo extremos de la integral con este intervalo
\[ \begin{aligned} \int_{0}^{1} \frac {2(m+2)}{5} dm\\ \end{aligned} \]
Resolvemos la integral con el siguiente codigo
f.m <- function(m){
ifelse(0<m & m<1, (2*(m+2))/5,0)
}
a <- integrate(f.m, lower =0, upper = 1)$value
a## [1] 1Como podemos comprobar el resultado de esta integral es igual a 1, se cumple que \(\small P(0< m <1)=1.\) y desmuetra que toda la probabilidad esta entre \(\small 0\) y \(\small 1\)
fn.m <- function(m){
ifelse(0<m & m<1, (2*(m+2))/5,0)
}
m_vals <- seq(-0.5, 1.5, length.out = 80) # genere 80 valores de x, extendiendo el rango para los trasos donde f(x)=0
y_vals <- fn.m(m_vals)# evalue la funcion en cada punto de X
dm <- data.frame(x = m_vals, y = y_vals)
ggplot(dm, aes(x = x, y = y)) +
geom_line(color = "blue", size =1 ) +# dibujo la funcion
geom_area(fill = "skyblue", alpha = 0.4) +
labs(
title = " Grafico de densidad f(m)",
x = "m",
y = "y"
) +
theme_minimal(base_size = 14)
b) Probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas contactadas repondan a este tipo de encuestas.
f.m <- function(m){
ifelse((1/4)<m & m<(1/2), (2*(m+2))/5,0)
}
a <- integrate(f.m, lower =0, upper = 1)$value
a## [1] 0.2375La probabilidad de \(\small f(m)\) en el intervalo de \(\small 1/4< m <1/2\) es de \(\small 0.2375\)
f.m <- function(m){
ifelse((1/4)<m & m<(1/2), (2*(m+2))/5,0)
}
m_valos <- seq(-0.25, 1.25, length.out = 80) # genere 80 valores de x, extendiendo el ranfo pra los traos donde f(x)=0
y_valos <- f.m(m_valos)# evalue la funcion en cada punto de m
dfm <- data.frame(x = m_valos, y = y_valos)
ggplot(dfm, aes(x = x, y = y)) +
geom_line(color = "springgreen4", size =1 ) +# dibujo la funcion
geom_area(fill = "#54FF9F", alpha = 0.3) + # dibuja la integral
labs(
title = " f(m) en el intervalor 1/4< m <1/2 ",
x = "m",
y = "y"
) +
theme_minimal(base_size = 14)
EJERCICIO 3.12
Q_vals <- c(1, 3, 5, 7)
p_Q <- c(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)
J <- function(q) {
ifelse(q < 1, 0,
ifelse(q < 3, 1/4,
ifelse(q < 5, 1/2,
ifelse(q < 7, 3/4, 1))))
}
p_a <- p_Q[Q_vals == 5]
cat("a) P(q = 5) = ", p_a, "\n")## a) P(q = 5) = 0.25## b) P(q > 3) = 0.5## c) P(1.4 < q < 6) = 0.5num <- sum(p_Q[Q_vals <= 5 & Q_vals >= 2])
den <- sum(p_Q[Q_vals >= 2])
p_d <- num / den
cat("c) P(q ≤ 5 | q ≥ 2) = ", p_d, "\n")## c) P(q ≤ 5 | q ≥ 2) = 0.6666667
EJERCICIO 3.13
La distribución de probabilidad de X, el número de imperfecciones que se encuentran en cada 10 metros de una tela sintética que viene en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por
\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline f(x) & 0.41 & 0.37 & 0.16 & 0.05 & 0.01 \\ \end{array} \]
a) Tabla de probabilidades
Construimos una tabla que se asocia a los posibles valores de X con sus probabilidades.
v | f.v |
|---|---|
0 | 0.41 |
1 | 0.37 |
2 | 0.16 |
3 | 0.05 |
4 | 0.01 |
Grafico de dispersion discreto
Generamos la grafica de la funcion de probabilidad, donde cada punto que vemos indicara la probabilidad de ocurrencia de una valor especifico de X
library(ggplot2)
ggplot(tabla3.13, aes(x = v, y =f.v))+
geom_point(size =3,col = "blue")+
geom_segment(aes(x = v, xend = v, y =0, yend = f.v),
col="blue",linetype="dashed")+
labs(title=" Grafico de la función de probabilidad del número de imperfecciones")
b) Función de distribución acumulativa
La funcion de distribuccion acumulada F(x) se obtiene sumandos las probabilidades acumuladas hasta cada valor de x:
\[ F(X) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0, \\ 0.41 & \text{si } 0 \le x < 1, \\ 0.78 & \text{si } 1 \le x < 2, \\ 0.94 & \text{si } 2 \le x < 3, \\ 0.99 & \text{si } 3 \le x < 4, \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases} \]
Representamos esta función de distribución acumulada con un ejm de evaluacion de la funcion de la siguiente manera:
F.v <- function(v){
ifelse(v<0,0,
ifelse(v<1,0.41,
ifelse(v < 2, 0.78,
ifelse(v < 3,0.94,
ifelse(v<4,0.99,1)))))
}
F.v(1.7)## [1] 0.78EJERCICIO 3.21
Considere la función de densidad
\[ f(x) = \begin{cases} {K} \sqrt{z}, & \textit{0 < z < 1} , \\ 0, & \textit{En otro caso} \end{cases} \]
a) Evalúe K
Función de densidad: \[ \int_0^1 f(z)\,dz = 1 \]
Entonces: \[ \int_0^1 k\sqrt{z}\,dz = 1 \Rightarrow k \left[\frac{z^{3/2}}{3/2}\right]_0^1 = 1 \Rightarrow k \cdot \frac{2}{3} = 1 \Rightarrow k = \frac{3}{2} \]
f <- function(z) ifelse(z > 0 & z < 1, (3/2)*sqrt(z), 0)
curve(f(x), from=0, to=1, col="blue", lwd=2, ylim=c(0,1),
ylab="f (z)", xlab="z", main="Función de Densidad f(z)")
abline(h=0, col="darkgray")
b) Calcule F(z) y utilice el resultado para evaluar P(0.3 < X < 0.6)
La función de distribución acumulada es: \[ F(z) = \begin{cases} 0, & z \le 0,\\ z^{3/2}, & 0 < z < 1,\\ 1, & z \ge 1. \end{cases} \]
F <- function(z) ifelse(z < 0, 0, ifelse(z <= 1, z^(3/2), 1))
prob <- F(0.6) - F(0.3)
paste0("P(0.3 < X < 0.6) = ", round(prob,4))## [1] "P(0.3 < X < 0.6) = 0.3004"curve(F(x), from=0, to=1.2, col="red", lwd=2, ylim=c(0,1),
ylab="F(z)", xlab="z", main="Función de Distribución F(z)")
abline(h=1, col="gray", lty=2)
EJERCICIO 3.27
El tiempo que pasa, en horas, antes de que una parte importante de un equipo electrónico que se utiliza para fabricar un reproductor de DVD empiece a fallar tiene la siguiente función de densidad:
\[ f(t) = \begin{cases} \frac {1}{2000}\cdot e^{(-t/2000)}, & \textit{si } t \geq 0, \\ 0, & \textit{ t < 0} \end{cases} \]
$$ F(x)= \[\begin{cases} 0, & t < 0 \\ 1- e^{-t/2000}, & t \geq 0 \\ \end{cases}\]$$ El 1-e^{-t/2000} sale de derivar la funcion densidad inicial.
a) Calcular F(x)
F.t <- function(t){
ifelse(t < 0,0, integrate(f.t,lower= 0, upper = t)$value)
} #Funcion de distribucion acumulada
F.t(2000)## [1] 0.6321206
b) P(T>1000)
Determine la probabilidad de que el componente (y, por lo tanto, el reproductor de DVD) funcione durante más de 1000 horas antes de que sea necesario reemplazar el componente.
## [1] 0.6065307