Ejercicios capitulo 3

Ejercicio 3.7

La variable aleatoria continua𝑋representa el número total de horas que una familia usa su aspiradora en un año, medidas en unidades de 100 horas (p. ej.,\(𝑋 = 1.2\) equivale a 120 horas reales). Su función de densidad es:

\[ f(x) = \begin{cases} x, & 0 < x < 1, \\\\ 2 - x, & 1 \le x < 2, \\\\ 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora:

a) menos de 120 horas

Comprobación: \(f(x)\) es una función de densidad válida

funcion <- function(x){
  ifelse(x > 0 & x < 1, x,
         ifelse(x >= 1 & x < 2, 2 - x, 0))}
  
prob01    <- integrate(funcion, lower = 0, upper = 1)$value  
prob12    <- integrate(funcion, lower = 1, upper = 2)$value   
prob_total <- integrate(funcion, lower = -Inf, upper = Inf)$value

prob_total

## [1] 1

Menos de 120 horas corresponde a \(X < 1.2\), ya que \(X\) está expresada en centenas de horas.

\[ P(X < 1.2) = \int_{0}^{1} x \,dx + \int_{1}^{1.2} (2-x) \,dx \]

prob_a <- integrate(funcion, lower = 0, upper = 1.2)$value
prob_a

## [1] 0.68

Por lo tanto:

$$

P(X<1.2)=0.68

$$

b) entre 50 y 100 horas

Entre 50 y 100 horas corresponde al intervalo \(0.5 < X < 1\).

\[ P(0.5 < X < 1) = \int_{0.5}^{1} x \,dx \]

prob_b <- integrate(funcion, lower = 0.5, upper = 1)$value
prob_b

## [1] 0.375

Por lo tanto:

\[ P(0.5<X<1)=0.375 \]

Existe una probabilidad del 37.5% de que la familia utilice la aspiradora entre 50 y 100 horas en el año.

Gráfica de la función de densidad

valores_x <- seq(-0.2, 2.2, length.out = 1000)
datos <- data.frame(x = valores_x, fx = funcion(valores_x))
zona_a <- datos %>% filter(x >= 0 & x <= 1.2)
zona_b <- datos %>% filter(x >= 0.5 & x <= 1)

ggplot(datos, aes(x = x, y = fx)) +
  geom_line(linewidth = 1, color = "purple") +
  geom_area(data = zona_a, aes(x = x, y = fx), fill = "purple", alpha = 0.3) +
  geom_area(data = zona_b, aes(x = x, y = fx), fill = "blue", alpha = 0.3) +
  labs(
    title = "Funcion de densidad f(x)",
    x = "X",
    y = "f(x)"
  ) +
  theme_minimal(base_size = 12)

Función de distribución acumulada

La función de distribución acumulada \(F(x)\) se obtiene integrando la densidad desde 0 hasta \(x\):

F_x <- function(x){
  ifelse(x <= 0, 0,
    ifelse(x < 1, (x^2)/2,
      ifelse(x < 2, (-x^2)/2 + 2*x - 1, 1)))
}

datos_F <- data.frame(x = seq(-0.5, 2.5, length.out = 400))
datos_F$Fx <- F_x(datos_F$x)

ggplot(datos_F, aes(x = x, y = Fx)) +
geom_line(color = "blue", size = 1) +
labs(
title = "Función de distribución acumulada F(x)",
x = "X",
y = "F(x)"
) +
theme_minimal(base_size = 12)

Ejercicio 3.9

La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:

f(x) = (2(x+2))/5, para 0 < x < 1

f(x) = 0, en otro caso

a) Demuestre que P(0 < X < 1) = 1

funcion <- function(x){ ifelse(x > 0 & x < 1, (2*(x+2))/5, 0) }
prob_total <- integrate(funcion, lower = 0, upper = 1)$value
prob_total

## [1] 1

El área bajo la curva entre 0 y 1 es igual a 1, por lo tanto la función es una densidad válida.

b) Calcule P(1/4 < X < 1/2)

probabilidad <- integrate(funcion, lower = 1/4, upper = 1/2)$value
probabilidad

## [1] 0.2375

La probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas respondan a la encuesta es el valor mostrado arriba.

Gráfica de la función de densidad

valores_x <- seq(-0.2, 1.2, length.out = 1000)
datos <- data.frame(x = valores_x, fx = funcion(valores_x))
datos_area <- datos %>% filter(x >= 0.25 & x <= 0.5)

ggplot(datos, aes(x = x, y = fx)) +
  geom_line(size = 1, color = "purple") +
  geom_area(data = datos_area, aes(x = x, y = fx), fill = "purple", alpha = 0.4) +
  labs(title = "Densidad f(x) = 2(x+2)/5", x = "x", y = "f(x)") +
  theme_minimal()

Función de distribución acumulada (F(x))

Integrando la densidad desde 0 hasta x se obtiene:

F(x) = (x² + 4x)/5, para 0 < x < 1

Para x ≤ 0, F(x) = 0 y para x ≥ 1, F(x) = 1

funcion_acumulada <- function(x){
  ifelse(x <= 0, 0,
         ifelse(x < 1, (x^2 + 4*x)/5, 1))
}

datos_F <- data.frame(x = seq(-0.5, 1.5, length.out = 300)) %>%
  mutate(Fx = funcion_acumulada(x))

ggplot(datos_F, aes(x = x, y = Fx)) +
  geom_line(color = "blue", size = 1) +
  labs(title = "Función de distribución acumulada F(x)", x = "x", y = "F(x)") +
  theme_minimal()

Ejercicio 3.12

Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen despues de varios años. Dado que la función de distribución acumulativa de T, el numero de años para el vencimiento de un bono que se elige al azar, es

\[ F(t) = \begin{cases} 0 & \textit t < 1, \\ \frac {1}{4} & \textit 1 \le t < 3, \\ \frac {1}{2} & \textit 3 \le t < 5, \\ \frac {3}{4} & \textit5 \le t < 7, \\ 1 & \textit t \ge 7 \end{cases} \]

Definición de la función de distribución acumulativa F(t)

F_t <- function(t){
  ifelse(t < 1, 0,     
    ifelse(t < 3, 1/4,  
      ifelse(t < 5, 1/2,  
        ifelse(t < 7, 3/4,  
          1))))
}

a) P(T = 5)

prob_a <- F_t(5) - F_t(4.999999) 
cat("a) P(T = 5) =", prob_a, "\n")

## a) P(T = 5) = 0.25

b) P(T > 3)

prob_b <- 1 - F_t(3)
cat("b) P(T > 3) =", prob_b, "\n")

## b) P(T > 3) = 0.5

c) P(1.4 < T < 6)

prob_c <- F_t(6) - F_t(1.4)
cat("c) P(1.4 < T < 6) =", prob_c, "\n")

## c) P(1.4 < T < 6) = 0.5

d) P(T ≤ 5| T ≥ 2)

denominador <- 1 - F_t(1.999999) 
numerador <- F_t(5) - F_t(1.999999)
prob_d <- numerador / denominador
cat("d) P(T <= 5 | T >= 2) =", prob_d, "\n")

## d) P(T <= 5 | T >= 2) = 0.6666667

Gráfica de la función de distribución acumulativa

library(ggplot2)

t <- c(1, 3, 5, 7)
F_t_vals <- c(1/4, 1/2, 3/4, 1)
df_312 <- data.frame(t = t, F_t = F_t_vals)

df_step_312 <- data.frame(
  t = c(0, t),
  F_t = c(0, F_t_vals)
)

df_vertical <- data.frame(
  t_start = t,
  y_start = c(0, F_t_vals[-length(F_t_vals)]), 
  y_end = F_t_vals                           
)

ggplot(df_step_312, aes(x = t, y = F_t)) +
  geom_segment(data = df_step_312[-nrow(df_step_312),], 
               aes(x = t, xend = t + c(1, 2, 2, 2), 
                   y = F_t, yend = F_t),
               color = "darkblue", linewidth = 1.2) +
  geom_segment(data = df_vertical,
               aes(x = t_start, xend = t_start, y = y_start, yend = y_end),
               linetype = "dotted", color = "darkblue", linewidth = 1.2) +
  geom_point(data = df_312, aes(x = t, y = F_t), color = "purple", size = 3) +
  geom_point(data = df_vertical, aes(x = t_start, y = y_start),
             shape = 1, color = "purple", size = 3) + 
  scale_x_continuous(breaks = t, limits = c(0, 8)) +
  scale_y_continuous(breaks = seq(0, 1, 0.25), limits = c(0, 1.05)) +
  labs(title = "Función de Distribución Acumulativa F(t)",
       x = "Tiempo (t) en años", y = "F(t)") +
  theme_minimal()

Función de probabilidad f(t)

t_vals <- c(1, 3, 5, 7)
f_t_vals <- rep(1/4, 4)
df_prob <- data.frame(t = t_vals, f_t = f_t_vals)

ggplot(df_prob, aes(x = factor(t), y = f_t)) +
geom_segment(aes(xend = factor(t), y = 0, yend = f_t), color = "purple", linetype = "dashed", linewidth = 1) +
geom_point(size = 3, color = "purple") +
labs(title = "Función de Probabilidad f(t)",
x = "Tiempo (t) en años",
y = "f(t) = P(T = t)") +
theme_minimal(base_size = 12)

Ejercicio 3.13 — Distribución discreta

La distribución de probabilidad de \(X\), número de imperfecciones en 10 m de tela, es:

x	0	1	2	3	4
p(x)	0.41	0.37	0.16	0.05	0.01

a) Función de probabilidad \(p(x)\)

x_vals <- 0:4
p_vals <- c(0.41, 0.37, 0.16, 0.05, 0.01)
barplot(height = p_vals, names.arg = x_vals,
        xlab = "x", ylab = "p(x)", main = "Función de probabilidad p(x)")

b) Función de distribución acumulativa \(F(x)\) y su gráfica.

$$

F(x)=

\[\begin{cases} 0, & x<0,\\ 0.41, & 0\le x<1,\\ 0.78, & 1\le x<2,\\ 0.94, & 2\le x<3,\\ 0.99, & 3\le x<4,\\ 1, & x\ge 4. \end{cases}\]

$$

F_step <- function(x){
  ifelse(x < 0, 0,
  ifelse(x < 1, 0.41,
  ifelse(x < 2, 0.78,
  ifelse(x < 3, 0.94,
  ifelse(x < 4, 0.99, 1)))))
}
xs <- seq(-0.5, 4.5, by = 0.01)
plot(xs, F_step(xs), type = "s", xlab = "x", ylab = "F(x)",
     main = "Función de distribución acumulativa F(x)")
abline(h = c(0,1), lty = 3); abline(v = 0:4, lty = 3)

3.21 — Densidad continua

Sea la función de densidad \[ f(x)=\begin{cases} k\sqrt{x}, & 0<x<1,\\ 0, & \text{en otro caso}. \end{cases} \] Pida: (a) evaluar \(k\). (b) calcular \(F(x)\) y usarlo para evaluar \(P(0.3<X<0.6)\). (c) graficar \(f(x)\) y \(F(x)\).

a) Constante de normalización \(k\).

\[ \int_0^1 k\sqrt{x}\,dx=1 \;\Rightarrow\; k=\tfrac{3}{2}. \]

b) Función de distribución acumulativa \(F(x)\) y probabilidad solicitada.

\[ F(x)=\begin{cases} 0, & x\le 0,\\ x^{3/2}, & 0<x<1,\\ 1, & x\ge 1. \end{cases} \]

\[ P(0.3<X<0.6)=F(0.6)-F(0.3)=0.6^{3/2}-0.3^{3/2}. \]

Valor numérico: 0.300441

c) Gráficas de \(f(x)\) y \(F(x)\).

f <- function(x) ifelse(x>0 & x<1, (3/2)*sqrt(x), 0)
xs <- seq(-0.2, 1.2, by = 0.001)
plot(xs, f(xs), type = "l", xlab = "x", ylab = "f(x)",
     main = "Densidad f(x) = (3/2)√x en (0,1)")
abline(h = 0, lty = 3); abline(v = c(0,1), lty = 3)

F <- function(x){
  ifelse(x <= 0, 0,
  ifelse(x < 1, x^(3/2), 1))
}
plot(xs, F(xs), type = "l", xlab = "x", ylab = "F(x)",
     main = "Función de distribución F(x)")
abline(h = c(0,1), lty = 3); abline(v = c(0,1), lty = 3)

Ejercicio 3.27

El tiempo que pasa, en horas, antes de que una parte importante de un equipo electrónico falle tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2000} e^{-x/2000}, & x \ge 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} \]

a) Calcular F(x)

Sabemos que:

\[ F(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x \frac{1}{2000} e^{-t/2000} dt \]

\[ F(x) = 1 - e^{-x/2000}, \quad x \ge 0 \]

F.x <- function(x){
  ifelse(x < 0, 0, 1 - exp(-x/2000))
}

valores_x <- seq(0, 10000, by = 100)
df <- data.frame(x = valores_x, Fx = F.x(valores_x))

ggplot(df, aes(x, Fx)) +
  geom_line(color = "purple", linewidth = 1) +
  labs(title = "Función de distribución acumulada F(x)",
       x = "x (horas)",
       y = "F(x)") +
  theme_minimal()