Integrantes:

• Michael Andres Ortiz Bernal
• Magda Sofia Carvajal Burgos
• Samuel Rodriguez Marañon
• Darwin Samir Padilla Viloria 
#Librerias 
library(flextable)
library(dplyr)
library(MASS)
library(ggplot2)

Ejercicio 3.7

El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} x, & 0 < x < 1, \\[6pt] 2 - x, & 1 \le x < 2, \\[6pt] 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora

  1. menos de 120 horas.

  2. entre 50 y 100 horas.

Solución:

Primero debemos verificar que Verificar que \(\small f(x)\) es una función de densidad.

Primera condición:

\(\small f(x)\geq0\) para todo \(x\) en su dominio, la cual vemos que si se cumple.

Segunda condición:

# Función de densidad
f.x <- function(x){
  ifelse(x < 0, 0,
         ifelse(x < 1, x,
                ifelse(x < 2, 2 - x, 0)))
}

# Verificación del área total
a <- integrate(f.x, lower = 0, upper = 2)$value
a
## [1] 1

Confirmamos que el área bajo la curva para todo su dominio es 1, por lo tanto \(\small f(x)\) es una función de probabilidad válida.

x. <- seq(-0.5, 2.5, by = 0.001)
plot(x., f.x(x.), main="Gráfica de la función de densidad",
     col="brown", type="l", xlab="x (en cientos de horas)", ylab="f(x)")

tb <- data.frame(x., f.x(x.))

Ahora Calculamos las probabilidades

  1. Esto representa la probabilidad de que una familia utilice la aspiradora menos de 120 horas en un año (ya que \(\small X\) está medido en centenas de horas, es decir 1.2 × 100 = 120).
# Definimos la función de distribución acumulativa
F.x <- function(x){
  ifelse(x < 0, 0,
         ifelse(x < 1, x^2 / 2,
                ifelse(x < 2, 2*x - x^2/2 - 1, 1)))
}

# Calculamos P(X < 1.2)
P.a <- F.x(1.2)

cat("La probabilidad de que la familia use la aspiradora menos de 120 horas es:", P.a, "\n")
## La probabilidad de que la familia use la aspiradora menos de 120 horas es: 0.68

Respuesta:

Existe una probabilidad del 68% de que la familia use su aspiradora menos de 120 horas al año.

# Área para X < 1.2
tb2 <- subset(tb, 0 <= x. & x. <= 1.2)
gr2 <- ggplot(tb, aes(x = x., y = f.x(x.))) +
  geom_line(col="brown") +
  geom_area(data = tb2, aes(x = x., y = f.x(x.)), fill="brown", alpha=0.5) +
  labs(title = "Área bajo la curva hasta 1.2 (P = 0.68)") +
  theme_bw()+
    theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold", size = 14)
  )
gr2

  1. Esto representa la probabilidad de que la familia utilice la aspiradora entre 50 y 100 horas en el año. \(\small P(0.5 < X < 1) = F(1) - F(0.5)\)
# Cálculo de la probabilidad entre 0.5 y 1
P.b <- F.x(1) - F.x(0.5)


cat("La probabilidad de que la familia use la aspiradora entre 50 y 100 horas es:", P.b, "\n")
## La probabilidad de que la familia use la aspiradora entre 50 y 100 horas es: 0.375

Respuesta:

Hay una probabilidad del 37.5% de que la familia use su aspiradora entre 50 y 100 horas al año.

# Área para 0.5 < X < 1
tb1 <- subset(tb, 0.5 <= x. & x. <= 1)
gr1 <- ggplot(tb, aes(x = x., y = f.x(x.))) +
  geom_line(col="purple") +
  geom_area(data = tb1, aes(x = x., y = f.x(x.)), fill="purple", alpha=0.5) +
  labs(title = "Área bajo la curva entre 0.5 y 1 (P = 0.375)") +
  theme_bw()+
  theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold", size = 14)
  )
gr1

Ejercicio 3.9

La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{2(x + 2)}{5}, & 0 < x < 1, \\[8pt] 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} \] a) Demuestre que P(0 < X < 1) = 1.

  1. Calcule la probabilidad de que más de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta.

Solución:

Primero debemos verificar que Verificar que \(\small f(x)\) es una función de densidad.

Primera condición:

\(\small f(x)\geq0\) para todo \(x\) en su dominio, la cual vemos que si se cumple.

Segunda condición:

# Definimos la función de densidad f(x)
f.x <- function(x){
  ifelse(x <= 0 | x >= 1, 0,
         2 * (x + 2) / 5)
}

# Verificación
a <- integrate(f.x, lower = 0, upper = 1)$value
a    
## [1] 1

Confirmamos que el área bajo la curva para todo su dominio es 1, por lo tanto \(\small f(x)\) es una función de probabilidad válida.

# Secuencia para graficar
x. <- seq(-0.2, 1.2, by = 0.001)
tb <- data.frame(x. = x., fx = f.x(x.))

# Gráfica base (plot)
plot(x., f.x(x.), type = "l", col = "brown", lwd = 2,
     main = "Función de densidad (ejercicio 3.9)",
     xlab = "x (proporción)", ylab = "f(x)")

pasamos a la construcción de la función de distribución acumulada \(\small F(x)\)

\[ F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\[6pt] \dfrac{x^2 + 4x}{5}, & 0 \le x < 1, \\[6pt] 1, & x \ge 1. \end{cases} \]

#Definir F(x) por tramos
F.x <- function(x){
  ifelse(x < 0, 0,
         ifelse(x < 1, (x^2 + 4*x) / 5,
                1))
}

cat("F(0) =", F.x(0), "  F(1) =", F.x(1), "\n")
## F(0) = 0   F(1) = 1
a <- F.x(1) - F.x(0)
cat("F(1) - F(0) =", a)
## F(1) - F(0) = 1

Respuesta:

Esto muestra que \(\small P(0 < X < 1) = F(1) - F(0) = 1\)

#Cálculo de la probabilidad P(1/4 < X < 1/2)
lower <- 1/4
upper <- 1/2

P.b <- integrate(f.x, lower = lower, upper = upper)$value


cat("Como fracción: "); print(fractions(P.b)); cat("\n")
## Como fracción:
## [1] 19/80
cat("P(1/4 < X < 1/2) =", P.b)
## P(1/4 < X < 1/2) = 0.2375

Respuesta:

La probabilidad de que entre el 25% y el 50% de los contactados respondan es 0.2375%

# Sombrado entre 1/4 y 1/2
tb_shade <- subset(tb, x. >= lower & x. <= upper)
gr <- ggplot(tb, aes(x = x., y = fx)) +
  geom_line(col = "purple") +
  geom_area(data = tb_shade, aes(x = x., y = fx), fill = "purple", alpha = 0.5) +
  labs(title = paste0("Área entre ", lower, " y ", upper, " (P = ", round(P.b,4), ")"),
       x = "x (proporción)", y = "f(x)") +
  theme_bw()+
      theme(
    plot.title = element_text(hjust = 0.5, face = "bold", size = 14)
  )
gr

Ejercicio 3.12

Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de varios años.Dado que la función de distribución acumulativa de T,el número de años para el vencimiento de un bono que se elige al azar, es F(t) = 0, t < 1, 1 4 , 1 ≤ t < 3, 1 2 , 3 ≤ t < 5, 3 4 , 5 ≤ t < 7, 1, t ≥ 7, calcule a) P(T = 5); b) P(T > 3); c) P(1.4 < T < 6); d ) P(T ≤ 5 | T ≥ 2);

SOLUCION PUNTO 3.12

De acuerdo a la informacion proporcionada, para ilustrar de mejor manera el periodo en que caducen los bonos es mediante una tabla, de acuerdoa esto tendremos:

#---DATOS PUNTO 3.12---

#Valores posibles para T (Periodo antes de que caduzcan los bonos)

t <- c(1,3,5,7)


#Probabilidades asociadas 

p <- c(1/4,1/4,1/4,1/4)


#---CALCULOS---

# a) P(T = 5)

P_T_5 <- p[t == 5]


# b) P(T > 3)

P_T_Mayor3 <- sum(p[t > 3])


# c) P(1.4 < T < 6)

P_T_Entre <- sum(p[t > 1.4 & t < 6])


# d) P(T <= 5 | T >= 2)

num <- sum(p[t >= 2 & t <= 5])

den <- sum(p[t >= 2])

P_cond <- num/den


#---TABLA CON RESULTADOS---

tabla <- data.frame(
  Evento = c(
    "a) P(T = 5)",
    "b) P(T > 3)",
    "c) P(1.4 < T < 6)",
    "d) P(T <= 5 | T >= 2)"
  ),
  Probabilidad = c(P_T_5, P_T_Mayor3, P_T_Entre, P_cond)
)
flextable(tabla)

Evento

Probabilidad

a) P(T = 5)

0.2500000

b) P(T > 3)

0.5000000

c) P(1.4 < T < 6)

0.5000000

d) P(T <= 5 | T >= 2)

0.6666667

CONCLUSION:

Se analiza una variable aleatoria discretaque representa la cantidad de años hasta el vencimiento de un bono, evidenciando comoen las variables discretas la probabilidad se concentra en valores especificos y se calcula mediante los saltos de la CDT.

Ejercicio 3.13

La distribución de probabilidad de \(\small X\), el número de imperfecciones que se encuentran en cada 10 metros de una tela sintética que viene en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por

\[ \begin{array}{c|c} x & f(x) \\ \hline 0 & 0.41 \\ 1 & 0.37 \\ 2 & 0.16 \\ 3 & 0.05 \\ 4 & 0.01 \\ \end{array} \]

Se muestra función de probabilidad para la elaboración de la gráfica.

tabla3 <- data.frame(x = 0:4, f.x=c(0.41,0.37,0.16,0.05,0.01))

flextable(tabla3)

x

f.x

0

0.41

1

0.37

2

0.16

3

0.05

4

0.01

x <- 0:4

ggplot(tabla3, aes(x = x, y =f.x))+
  geom_point(size =3,col = "purple")+
  geom_segment(aes(x = x, xend = x, y =0, yend = f.x),
               col="purple",linetype="dashed")+
  labs(title="Gráfica Función de Probabilidad")

Se construye la función de distribución acumulativa de X.

\[ F(X) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0, \\ 0.41 & \text{si } 0 \le x < 1, \\ 0.78 & \text{si } 1 \le x < 2, \\ 0.94 & \text{si } 2 \le x < 3, \\ 0.99 & \text{si } 3 \le x < 4, \\ 1 & \text{si } x \ge 4 \end{cases} \]

Se elabora la funcion de distribucion en R.

F.x <- function(x){
  ifelse(x<0,0,
         ifelse(x<1,0.41,
                ifelse(x < 2, 0.78,
                       ifelse(x < 3,0.94,
                              ifelse(x<4,0.99,1)))))
}

F.x(2.8)
## [1] 0.94

Conclusión 3.13:

La función acumulativa evidencia una distribución discreta concentrada en los valores bajos de \(\small X\) lo que indica que la mayoría de los rollos presentan pocas imperfecciones. El valor \(\small F(2.8)= 0.94\) indica una alta probabilidad de que \(\small X\) sea menor que 2.8 reflejando que el material tiene buena calidad.

Ejercicio 3.21

Considere la función de densidad \[ f(x) = \begin{cases} k\sqrt{x}, & \textit {si } \hspace{0.1cm} 0<x<1, \\ \\ 0, &\textit {en otro caso}. \end{cases} \] a) Evalúe \(\small k\). \
b) Calcule \(\small F(x)\) y utilice el resultado para evaluar
\[ P \hspace{0.1cm} (0.3 < x < 0.6). \]

f <- function(x, k) {
  ifelse(x > 0 & x < 1, k * sqrt(x), 0)
}

# a) Calcular k tal que el área bajo la curva sea 1
integrando <- function(x) sqrt(x)
area <- integrate(integrando, lower = 0, upper = 1)$value
k <- 1 / area
k 
## [1] 1.5
# b) Función de distribución acumulada F(x)
F <- function(x) {
  ifelse(x <= 0, 0,
         ifelse(x < 1, x^(3/2),
                1))
}

# Probabilidad de que 0.3 < X < 0.6
prob <- F(0.6) - F(0.3)
prob
## [1] 0.3004412

Conclusión 3.21:

El valor de \(\small k = 1.5\) asegura que la densidad esté normalizada.De igual manera \(\small P \hspace{0.1cm} (0.3 < X < 0.6) = 0.3004412\), indica un 30% de probabilidad de que \(\small X\) se encuentre en ese rango.

Ejercicio 3.27

El tiempo que pasa, en horas, antes de que una parte importante de un equipo electrónico que se utiliza para fabricar un reproductor de DVD empiece a fallar tiene la siguiente función de densidad: f (x) = 1 2000 exp(−x/ 2000), 0, x < 0. x ≥ 0, ) Calcule F(x). b) Determine la probabilidad de que el componente (y, por lo tanto, el reproductor de DVD) funcionedurante más de 1000 horas antes de que sea necesario reemplazar el componente. c) Determine la probabilidad de que el componente falle antes de 2000 horas.

SOLUCION PUNTO 3.27

De acuerdo a la informacion proporcionada, para ilustrar de mejor manera los resultados es mediante una tabla, de acuerdoa esto tendremos:

#---DATOS PUNTO 3.27---

lambda <- 1/2000

# a) Funcion de distribucion acumulada F(x)--

F <- function(x){ifelse(x < 0, 0, 1 - exp(-lambda * x))}


# b) P(X > 1000)--

P_Mas_1000 <- exp(-lambda * 1000)


# c) P(X < 2000)--

P_Menos_2000 <- 1 - exp(-lambda * 2000)


#---TABLA CON RESULTADOS---

tabla2 <- data.frame(
  Inciso = c(
    "a) F(x)",
    "b) P(X > 1000)",
    "c) P(X < 2000)"),
  Resultado = c("F(x) = 1 - e^(-x/2000)",
                round(P_Mas_1000,5),
                round(P_Menos_2000,5))

)

flextable(tabla2)

Inciso

Resultado

a) F(x)

F(x) = 1 - e^(-x/2000)

b) P(X > 1000)

0.60653

c) P(X < 2000)

0.63212

CONCLUSION:

Se evaluan variables aleatorias continuas con distribucion exponencial, mostrando sus resultados la probabilidad de que el equipo funcione mas del 1000 horas es cercana al 61%, mientras que la de fallar en 2000 horas es aproximadamente del 63%.