En una planta de refinación de cobre, un concentrado de cobre se calienta a 500°C. Después de 5 minutos se observa que la temperatura ha disminuido a 430°C. La temperatura ambiente en la planta es 25°C.
Se asume que el proceso de enfriamiento sigue la Ley de Enfriamiento de Newton, que establece que la rapidez con la que cambia la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del ambiente.
Las variables de interés son dos:
Por la ley de enfríamiento de Newton, la velocidad de enfriamiento del cuerpo es directamente proporcional a la diferencia de temperatura con el medio ambiente. Esto se expresa con la siguiente ecuación diferencial:
\[\frac{dT}{dt} = a(T - T_m)...(1)\]
donde a es una constante a determinar y \(T_m\) es la temperatura del medio ambiente que está dado: \(T_m = 25°C\).
Esta ecuación diferencial se puede resolver por separación de variables:
\[\frac{dT}{T - T_m} = adt\] \[\therefore \int \frac{dT}{T - T_m} = a \int dt\] \[\therefore ln(T - T_m) = at + ac\] \[\therefore T - T_m = e^{ac} e^{at}\] Sin pérdida de generalidad, podemos reemplazar la constante \(e^{ac}\) por \(c\). Además, reemplazamos \(T_m = 25\):
\[T = 25 + ce^{at}...(2)\] Esta es la solución general de la ecuación diferencial.
Se usan las condiciones iniciales y la información de enfriamiento del cuerpo para encontrar los valores de las constantes \(a\) y \(c\).
Condiciones iniciales: cuando \(t=0\), \(T=500°C\):
\[\therefore 500 = 25 + ce^0\] \[\therefore c = 475\] Además, tenemos la información que \(T = 430°C\) cuando \(t=5 \ min\):
\[\therefore 430 = 25 + 475e^{5a}\] \[\therefore \frac{430-25}{475} = e^{5a}\] \[\therefore a = \frac{ln(0,8526)}{5}\] \[\therefore a = -0,03189\] Entonces la solución particular es:
\[T = 25 + 475e^{-0,03189t}...(3)\]
Para encontrar el tiempo en que el cuerpo llegue a una cierta temperatura, debemos reordenar la solución particular (3), expresando t como función de T:
\[\frac{T - 25}{475} = e^{-0,03189t}\] \[ln \left( \frac{T - 25}{475} \right) = -0,03189t\] \[\therefore t = \frac{ ln \left( \frac{T - 25}{475} \right)}{-0,03189}\] Reemplazar \(T=50\):
\[t = 92,33 \ min\] Deben pasar 92,33 minutos para que la temperatura del concentrado descienda a 50°C.
Un tanque de un proceso industrial tiene una capacidad de 2.000 litros. Se llena de agua y en ella se disuelve 30 kg de ácido sulfúrico. El tanque tiene un mezclador eléctrico que mantiene la solución siempre mezclada de manera uniforme. Una vez mezclado homogéneamente, empieza a ingresar agua pura por la cañería de entrada a la velocidad de \(40 \ cm^3/s\) y por la cañería de salida sale solución a la misma velocidad.
Las variables involucradas son las siguientes:
Además, el problema tiene constantes:
Por definición, la concentración está dada por:
\[\rho = \frac{m}{V}...(1)\] Reordenando:
\[m = \rho V...(1')\] Entonces, la masa de ácido sulfúrico que sale del tanque en cada segundo es \(\rho f\), ya que f es el volumen de líquido que sale cada segundo. Además, esta masa es la derivada de m con respecto a t, y es negativa, porque la masa de ácido sulfúrico disminuye al salir:
\[\therefore \frac{dm}{dt} = -\rho f...(2)\]
Derivar (1’) con respecto a t:
\[\frac{dm}{dt} = V\frac{d \rho}{dt}\] Sustituir en (2):
\[V\frac{d \rho}{dt} = -\rho f\] \[\therefore \frac{d \rho}{dt} = -\frac{f}{V} \rho...(3)\]
Esta es la ecuación diferencial que modela la concentración de la solución en función del tiempo.
Esta ecuación diferencial es separable:
\[\frac{d \rho}{\rho} = -\frac{f}{V} dt\] \[\therefore \int \frac{d \rho}{\rho} = -\frac{f}{V} \int dt\]
\[\therefore ln\rho = -\frac{f}{V}t + c\] \[\therefore \rho(t) = ce^{-\frac{f}{V}t}...(4)\]
Esta es la solución general de la concentración en función del tiempo.
Para determinar la solución específica, debemos determinar la constante c. Para ello, tenemos que calcular la concentración inicial: \(\rho(0)\). Para ser consistente con las unidades, hay que convertir kg a g y litros a \(cm^3\):
\[\rho(0) = \frac{m_0}{V}= \frac{30 \cdot 10^3}{2000 \cdot 10^3} = 0,015 \ g/cm^3\] Sustituir \(\rho(0)\) y \(t=0\) en (4):
\[\rho(0) = ce^0\] \[\therefore c = 0,015\] Sustituir c, f y V en la solución general (4):
\[\rho(t) = 0,015e^{-\frac{40}{2000 \cdot 10^3}t}\] \[\therefore \rho(t) = 0,015e^{-2 \cdot 10^{-5} t}...(5)\] Esta es la solución particular.
Para encontrar el tiempo, debemos reordenar la ecuación (5), despejando el tiempo t en función de la concentración \(\rho\).
\[t = -\frac{ln(\rho/0,015)}{2 \cdot 10^{-5}}\] Cuando \(\rho\) es igual al 10% de su valor inicial, \(\rho = 0,1 \cdot 0,015\):
\[t = -\frac{ln(0,1 \cdot 0,015/0,015)}{2 \cdot 10^{-5}}\] \[\therefore t = -\frac{ln(0,1)}{2 \cdot 10^{-5}}\] \[\therefore t = 115.129 \ segundos\] Convertir a horas: \[t = 31,98 \ horas\] Deben pasar casi 32 horas para que la solución baje al 10% de su concentración inicial.
Se realiza un estudio para reforestar un terreno cuyo bosque nativo ha sido destruido por un incendio. Mediante el estudio se determina que el terreno puede sostener un máximo de 10.000 árboles. Cuando la cantidad de árboles es baja, la velocidad de reproducción de los árboles es aproximadamente proporcional a la cantidad de árboles existentes, pero esta se va ralentizando en la medida en que la población crece y se va acercando al tope máximo factible. Matemáticamente la velocidad de crecimiento del bosque está dada por la ecuación diferencial logística:
\[\frac{dy}{dt} = 0.2y(t) \left( 1 - \frac{y(t)}{10000} \right)...(1)\]
donde y(t) es la cantidad de árboles en un tiempo t medido en años.
Para iniciar el proyecto de reforestación se plantan 100 árboles, y luego se dejan para que se reproduzcan solas.
La ecuación diferencial es separable:
\[\frac{dy}{y(1-y/10000)} = 0.2dt\] \[\therefore \int \frac{dy}{y(1-y/10000)} = 0.2 \int dt\] Separar el lado izquierdo en fracciones parciales:
\[\int \frac{dy}{y} + \int \frac{dy}{10000 - y} = 0.2 \int dt\] \[\therefore lny + ln(10000-y) = 0.2t + c\] \[\therefore ln \left( \frac{y}{10000-y} \right) = 0.2t + c\] \[\therefore t = 5ln \left( \frac{y}{10000-y} \right) + c...(2)\] Esta es la solución general, de t en función de y.
Para encontrar c y por ende la solución particular, reemplazar t=0 e y=100:
\[0 = 5ln \left( \frac{100}{10000-100} \right) + c\] \[\therefore c = 22.98\]
Entonces la solución particular es:
\[\therefore t = 5ln \left( \frac{y}{10000-y} \right) + 22.98...(3)\]
Para determinar el tiempo para que la población de árboles llegue a 9.000, sustituir y=9000:
\[t = 5ln \left( \frac{9000}{10000-9000} \right) + 22.98\] \[\therefore t = 5 \cdot ln(9) + 22.98...(3)\] \[\therefore t = 33.97\] En casi 34 años la población de árboles llegará a 9.000.
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