Valentina Palma De La Hoz

Juan Delgado Africano

Daniel Chitán Palma

Danna Guzmán Rivas

knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, fig.align = 'center')

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3.7

El número total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un año es una variable aleatoria continua \(X\) que tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x)= \begin{cases} x, & 0 < x < 1,\\ 2 - x, & 1 \le x < 2,\\ 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

Calcule la probabilidad de que en un periodo de un año una familia utilice su aspiradora A) menos de 120 horas; B) entre 50 y 100 horas.

f <- function(x) {
  ifelse(x > 0 & x < 1, x,
         ifelse(x >= 1 & x < 2, 2 - x, 0))
}

prob_a <- integrate(f, lower = 0, upper = 1.2)$value

prob_b <- integrate(f, lower = 0.5, upper = 1)$value

cat("A) P(X < 1.2) =", prob_a, "\n")

## A) P(X < 1.2) = 0.68

cat("B) P(0.5 < X < 1) =", prob_b, "\n")

## B) P(0.5 < X < 1) = 0.375

GRÁFICA A:

f.x <- function(x) {
  ifelse(x > 0 & x < 1, x,
         ifelse(x >= 1 & x < 2, 2 - x, 0))
}

x. <- seq(-1, 2, by = 0.001)
y. <- sapply(x., f.x)

tb <- data.frame(x., y.)
tb1 <- subset(tb, 0 <= x. & x. <= 1.2)
gr1 <- ggplot(tb, aes(x = x., y = y.)) +
  geom_line(col = "purple", linewidth = 1.2) +
  geom_area(data = tb1, aes(x = x., y = y.), fill = "purple", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = 1.2, linetype = "dashed", color = "red") +
  labs(title = "Área bajo la curva: P(X < 1.2)",
       x = "x (en unidades de 100 horas)",
       y = "f(x)") +
  theme_bw() +
  annotate("text", x = 1.5, y = 0.8,
           label = paste("P(X < 1.2) =", round(integrate(f.x, 0, 1.2)$value, 3)),
           color = "black", size = 4) +
  theme(plot.title = element_text(hjust=0.5))

gr1

GRÁFICA B:

tb2 <- subset(tb, 0.5 <= x. & x. <= 1)

gr2 <- ggplot(tb, aes(x = x., y = y.)) +
  geom_line(col = "deeppink2", linewidth = 1.2) +
  geom_area(data = tb2, aes(x = x., y = y.),
            fill = "deeppink2", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = 0.5, linetype = "dashed", color = "darkblue") +
  geom_vline(xintercept = 1, linetype = "dashed", color = "darkblue") +
  labs(title = "Área bajo la curva: P(0.5 < X < 1)",
       x = "x (en unidades de 100 horas)",
       y = "f(x)") +
  theme_bw() +
  annotate("text", x = 1.3, y = 0.8,
           label = paste("P(0.5 < X < 1) =", round(integrate(f.x, 0.5, 1)$value, 3)),
           color = "black", size = 4) +
    theme(plot.title = element_text(hjust=0.5))
gr2

3.9

La proporción de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{2(x + 2)}{5}, & 0 < x < 1,\\ 0, & \text{en otro caso.} \end{cases} \]

Demuestre que \(P(0 < X < 1) = 1.\)
Calcule la probabilidad de que más de \(\tfrac{1}{4}\) pero menos de \(\tfrac{1}{2}\) de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta.

f.x <- function(x) {
  ifelse(x > 0 & x < 1, 2*(x + 2)/5, 0)
}

p_total <- integrate(f.x, lower = 0, upper = 1)$value      
p_interval <- integrate(f.x, lower = 0.25, upper = 0.5)$value

cat("A. P(0 < X < 1) =", p_total, "\n")

## A. P(0 < X < 1) = 1

cat("B. P(1/4 < X < 1/2) =", p_interval, "\n")

## B. P(1/4 < X < 1/2) = 0.2375

GRÁFICA A:

f.x <- function(x) {
  ifelse(x > 0 & x < 1, 2*(x + 2)/5, 0)
}

x. <- seq(-1, 2, by = 0.001)
y. <- sapply(x., f.x)

tb <- data.frame(x., y.)

tb1 <- subset(tb, 0 <= x. & x. <= 1)

gr3 <- ggplot(tb, aes(x = x., y = y.)) +
  geom_line(col = "steelblue", linewidth = 1.2) +
  geom_area(data = tb1, aes(x = x., y = y.),
            fill = "steelblue", alpha = 0.5) +
  labs(title = "Área bajo la curva entre 0 ≤ X ≤ 1: P(0 < X < 1) = 1",
       x = "x (proporción de personas que responden)",
       y = "f(x)") +
  theme_bw() +
  annotate("text", x = 1.3, y = 0.6,
           label = paste("Área =", round(integrate(f.x, 0, 1)$value, 2)),
           size = 4) +
    theme(plot.title = element_text(hjust=0.5))
gr3

GRÁFICA B:

f.x <- function(x){
  ifelse(0 < x & x < 1, (2 * (x + 2)) / 5, 0)
}

x. <- seq(-1, 2, by = 0.001)
y. <- sapply(x., f.x)

tb <- data.frame(x., y.)

tb2 <- subset(tb, 0.25 <= x. & x. <= 0.5)

gr4 <- ggplot(tb, aes(x = x., y = y.)) +
  geom_line(color = "orange") +
  geom_area(data = tb2, aes(x = x., y = y.), fill = "orange", alpha = 0.5) +
  labs(title = "Área bajo la curva entre 0.25 ≤ X ≤ 0.5") +
  theme_bw() +
    theme(plot.title = element_text(hjust=0.5))

gr4

3.12

Una empresa de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen después de varios años. Dado que la función de distribución acumulativa de \(T\), el número de años para el vencimiento de un bono que se elige al azar, es:

\[ F(t) = \begin{cases} 0, & t < 1,\\ \dfrac{1}{4}, & 1 \le t < 3,\\ \dfrac{1}{2}, & 3 \le t < 5,\\ \dfrac{3}{4}, & 5 \le t < 7,\\ 1, & t \ge 7, \end{cases} \]

calcule:

\(P(T = 5)\);
\(P(T > 3)\);
\(P(1.4 < T < 6)\);
\(P(T \le 5 \mid T \ge 2)\).

F <- function(t){
  ifelse(t<1,0,
         ifelse(t<3,1/4,
                ifelse(t<5,1/2,
                       ifelse(t<7,3/4,1))))
}

punto “a” P(t=5)

usando la formula: \[ P(T=t)=F(t)-F(t-(1e-6)) \]

PT5 <- function(t) {
  F(t)-F(t-(1e-6))
}
fractions(PT5(5))

## [1] 1/4

punto “b” P(t>3)

usando su definicion general \[ P(t>3)=1-P(T\le3)=1-F(3) \]

PTm3 <- 1-F(3)
fractions(PTm3)

## [1] 1/2

punto “c” P(1.4<T<6)

usando su definicion general \[ P(1.4<T<6)=F(6)-F(1.4) \]

PTc <- F(6)-F(1.4)
fractions(PTc)

## [1] 1/2

punto “d” P(t≤5|t≥ 2)

usando la formula de probabilidad condicional \[ P(t≤5|t≥ 2)=\frac{P(2≤T≤5)}{P(T≥2)} \] donde: \[ P(2≤T≤5)=F(5)-F(2) \] y : \[ P(T≥2)=1-F(2) \]

p1 <- F(5)-F(2)
p2 <- 1-F(2)
PCd <- p1/p2
fractions(PCd)

## [1] 2/3

Gráfica de la función de probabilidad

t.val <- c(1,3,5,7)
p.val <- c(F(1), F(3)-F(1), F(5)-F(3), F(7)-F(5))
p.val <- c(p.val[1], diff(F(t.val)))  
df.prob <- data.frame(t = t.val, P = p.val)
ggplot(df.prob, aes(x=t, y=P))+
geom_col(fill="skyblue", color="black", width=0.6)+
geom_text(aes(label=round(P,2)), vjust=-0.5)+
labs(title="Función de probabilidad P(T=t)",
x="t (años)",
y="P(T=t)")+
theme_minimal()+
theme(plot.title = element_text(hjust=0.5))

Grafica de distribución acumulativa

t <- seq(0,8,by=0.1)
d.F <- data.frame(t=t, F=F(t))
s <- data.frame(
   t = c(1, 3, 5, 7),
  F.a = c(0, 1/4, 1/2, 3/4),   
  F.ab = c(1/4, 1/2, 3/4, 1)   
)
ggplot(d.F, aes(x=t, y=F))+
  geom_step(color="darkblue",linewidth=1.2)+
  geom_point(data=s,aes(x=t,y=F.a),shape=16,color="gold",size=3)+
  geom_point(data=s,aes(x=t,y=F.ab),shape=1,color="green",size=3,stronke=1.2)+
  labs(title="funcion de distrivución acumulativa F(t)",
       x="t(años)",
       y="F(t)")+
  theme_minimal()+
  theme(plot.title = element_text(hjust=0.5))

3.13

La distribución de probabilidad de \(X\), el número de imperfecciones que se encuentran en cada 10 metros de una tela sintética que viene en rollos continuos de ancho uniforme, está dada por:

\[ \begin{array}{c|ccccc} x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline f(x) & 0.41 & 0.37 & 0.16 & 0.05 & 0.01 \end{array} \]

Construya la función de distribución acumulativa de \(X\).

funcion de distibucion de acumulativa F(x)

x <- 0:4
f <- c(0.41, 0.37, 0.16, 0.05, 0.01)
sum(f)

## [1] 1

df <- data.frame(x, f)
F.x <- cumsum(f)
df.F <- data.frame(x,f, F.x)
df.F

Gráfica de la función de probabilidad f(x)

ggplot(df, aes(x=factor(x), y=f))+
  geom_col(fill="lightblue", color="black", width=0.6)+
  geom_text(aes(label=round(f,2)), vjust=-0.5, size=3.5)+
  labs(title="Función de probabilidad f(x)",
       x="Número de imperfecciones (X)",
       y="f(x)")+
  theme_minimal()+
  theme(plot.title = element_text(hjust=0.5))

### Gráfica de la función de distribución acumulativa F(x)

F_left <- c(0, head(F.x, -1))   
df.F_plot <- data.frame(x = df.F$x, F_closed = df.F$F.x, F_open = F_left)
ggplot(df.F_plot, aes(x = x)) +
  geom_step(aes(y = F_closed), color = "darkblue", linewidth = 1.2, direction = "hv") +
  geom_point(aes(y = F_closed), shape = 16, size = 3, color = "orange") +
  geom_point(aes(y = F_open), shape = 1, size = 3, color = "black", stroke = 1.2) +
  labs(title = "Función de distribución acumulativa F(x)",
       x = "Número de imperfecciones (X)",
       y = "F(x)") +
  theme_minimal() +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

3.21

Considere la función de densidad: \[ f(x) = \begin{cases} k \sqrt{x} & 0 < x < 1, \\ 0 & \textit{ en otro caso} \end{cases} \]

a) Evalué k

Como sabemos que para una función de dsitribución se tiene que: \[ \begin{align} 1. & \quad f(x) \ge 0\\ 2. & \quad \int_{-\infty}^{\infty}f(x)=1\\ \end{align} \] Procedemos a calcular la siguiente integral de nuestra función: \[ \int_{0}^{1}k \sqrt{x} \ dx=1 \] \[ \rightarrow k \int_{0}^{1} x^{1/2} \, dx = 1 \] \[ \rightarrow k \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{0}^{1} = 1 \] Al evaluar en los límites de integración y resolver para \(k\) se obtiene: \[ k = \frac{3}{2} \] ### Gráfica de Densidad

fx <- function(x){3/2*(sqrt(x))}
x <- seq(0,1,by=0.0001)
y <- sapply(x, fx)
Sys.setlocale("LC_ALL", "es_ES.UTF-8")

## [1] "LC_COLLATE=es_ES.UTF-8;LC_CTYPE=es_ES.UTF-8;LC_MONETARY=es_ES.UTF-8;LC_NUMERIC=C;LC_TIME=es_ES.UTF-8"

plot(x,y,main = "Gráfica de Densidad", col="darkblue",type = "l")

b) Calcule F(x) y utilice el resultado para evaluar \(P(0.3<x<0.6)\)

Primero se debe obtener la función de distribución acumulativa \(F(X)\), la cuál teniendo en cuenta las condiciones que debe cumplir para ser una función de probabilidad y el cálculo de la integral anterior, se tiene: \[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x \leq 0 \\ x^{3/2} & \text{si } 0 < x < 1 \\ 1 & \text{si } x \geq 1 \end{cases} \] Gráfica de Distribución Acumulativa:

Fx <- function(x){
  ifelse(x <= 0,0,
             ifelse(0 < x & x < 1,(x^{3/2}),1))
} 
x. <- seq(-2,3,by=0.0001)
y. <- sapply(x.,Fx)
tb <- data.frame(x.,y.)
g <- ggplot(tb,aes(x=x.,y=y.))+geom_line(col="darkblue")+labs(title = "Gráfica de F(x)")
g

Ahora para calcular la probabilidad \(P(0.3<x<0.6)\) se integra la función entre dichos valores:

F.x <- function(x){x^(3/2)}
P <- integrate(F.x,lower = 0.3, upper = 0.6)$value
cat("La probabilidad entre 0.3 y 0.6 es igual a:",P)

## La probabilidad entre 0.3 y 0.6 es igual a: 0.09182391

Gráfica de la Probabilidad

tb0 <- data.frame(x,y)
tb1 <- subset(tb0,0.3<x & x<0.6)
gr <- ggplot(tb0,aes(x = x,y = y))+
  geom_line(col="darkblue")+
  geom_area(data = tb1, aes(x =x, y =y), fill="cyan",alpha=0.5)+
  labs(title = "Área bajo la curva entre 0.3 < x < 0.6")+
  theme_bw() +
    theme(plot.title = element_text(hjust=0.5))
gr

3.27

El tiempo que pasa, en horas, antes de que una parte importante de un equipo electrónico que se utiliza para fabricar un reproductor de DVD empiece a fallar tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x) = \begin{cases} \frac {1}{2000} exp(-x/2000) & , X \ge 0 \\ 0 & ,\textit{ X < 0.} \end{cases} \]

Calcule \(F(x)\).
Determine la probabilidad de que el componente (y, por lo tanto, el reproductor de DVD) funcione durante más de 1000 horas antes de que sea necesario reemplazar el componente.
Determine la probabilidad de que el componente falle antes de 2000 horas.

f <- function(x) {
  ifelse(x >= 0, (1/2000) * exp(-x/2000), 0)
}

F <- function(x) {
  ifelse(x < 0, 0, 1 - exp(-x/2000))
}

(a) Calcule F(x).

df <- data.frame(
  x = c(-500, 0, 500, 1000, 2000, 4000),
  F_x = c(0, 0, 0.2211992, 0.3934693, 0.6321206, 0.8646647)
)

ggplot(df, aes(x = x, y = F_x)) +
  geom_line(color = "deeppink2", fill = 1) +
  labs(
    title = "Punto a) Función de Distribución Acumulada F(x)",
    subtitle = "F(x) = 1 - exp(-x/2000)",
    x = "Horas (x)",
    y = "F(x)"
  ) +
  theme_minimal() +
    theme(plot.title = element_text(hjust=0.5))

## Warning in geom_line(color = "deeppink2", fill = 1): Ignoring unknown
## parameters: `fill`

(b) Probabilidad de que el componente funcione más de 1000 horas

P_mas_1000 <- exp(-1000/2000)
cat("Probabilidad de que funcione más de 1000 horas:", P_mas_1000, "\n")

## Probabilidad de que funcione más de 1000 horas: 0.6065307

x <- seq(0, 8000, 1)
df <- data.frame(x, dens = f(x))

ggplot(df, aes(x, dens)) +
  geom_line(color = "blue", size = 1) +
  geom_area(data = subset(df, x >= 1000), fill = "skyblue", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = 1000, linetype = "dashed", color = "red") +
  annotate("text", x = 3500, y = 0.00035,
           label = sprintf("P(X > 1000) = %.4f",P_mas_1000 ),
           color = "red", size = 4) +
  labs(title = "Punto b) Función de Densidad f(x)",
       subtitle = "Área sombreada: P(X > 1000)",
       x = "Horas (x)", y = "f(x)") +
  theme_minimal() +
    theme(plot.title = element_text(hjust=0.5))

## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

(c) Probabilidad de que falle antes de 2000 horas

P_menos_2000 <- 1 - exp(-2000/2000)
cat("Probabilidad de que falle antes de 2000 horas:", P_menos_2000, "\n")

## Probabilidad de que falle antes de 2000 horas: 0.6321206

x <- seq(0, 8000, 1)
df <- data.frame(x, cdf = F(x))


ggplot(df, aes(x, cdf)) +
  geom_line(color = "darkgreen", size = 1) +
  geom_area(data = subset(df, x <= 2000), fill = "lightgreen", alpha = 0.5) +
  geom_vline(xintercept = 2000, linetype = "dashed", color = "red") +
  annotate("text", x = 3500, y = 0.4,
           label = sprintf("P(X < 2000) = %.4f",P_menos_2000 ),
           color = "red", size = 4) +
  labs(title = "Punto c) Función de Distribución F(x)",
       subtitle = "Área sombreada: P(X < 2000)",
       x = "Horas (x)", y = "F(x)") +
  theme_minimal() +
    theme(plot.title = element_text(hjust=0.5))

EJERCICIOS - CAPITULO 3

GRUPO 5

2025-10-21

3.7

3.9