TALLER MODELOS DISCRETOS DE PROBABILIDAD

1 Taller: Modelos Discretos de Probabilidad

Este documento desarrolla paso a paso los 17 ejercicios del taller, usando distribuciones discretas en R

2 Modelo Binomial

La distribución binomial modela el número de éxitos en un número fijo de ensayos independientes, donde cada ensayo tiene dos posibles resultados (éxito o fracaso) y una probabilidad constante de éxito ( p ).

Características principales: - Número fijo de ensayos: ( n ) - Probabilidad constante de éxito: ( p ) - Variable aleatoria discreta: número de éxitos ( X ) - Notación: ( X Binomial(n, p) )

Ejemplo gráfico de distribución binomial:

x <- 0:8
y <- dbinom(x, size=8, prob=0.6)
barplot(y, names.arg=x, main="Distribución Binomial: n=8, p=0.6", col="skyblue")

2.1 Ejercicio 1

Se sabe que el 60% de los alumnos de una universidad asisten a clases el viernes. En una encuesta a 8 alumnos de la universidad. ¿Cuál es la probabilidad de que?:
a) ¿por lo menos 7 asistan a clase el viernes? b) ¿por lo menos 2 no asistan a clase.

Modelo: Binomial ( X Binomial(n=8, p=0.6) )

# Ejercicio 1
n <- 8
p <- 0.6

# a) Por lo menos 7 asistan
prob_a <- 1 - pbinom(6, n, p)
prob_a

[1] 0.1063757

# b) Por lo menos 2 no asistan (es decir, que asistan 6 o menos)
prob_b <- pbinom(6, n, p)
prob_b

[1] 0.8936243

Interpretación: prob_a da la probabilidad de tener 7 u 8 asistentes, mientras que prob_b refleja la probabilidad de tener al menos dos ausentes.

2.2 Ejercicio 2

Según los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso.¿cuál es la probabilidad de que, de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?

Modelo: Binomial ( X Binomial(n=6, p=0.05) )

n <- 6
p <- 0.05
prob <- pbinom(2, n, p)
prob

[1] 0.9977702

Interpretación: La función pbinom calcula la probabilidad acumulada hasta 2 fracasos.

2.3 Ejercicio 3

En promedio, el 10% de las varillas de madera usadas en cierto producto presentan problemas para ser usadas. ¿cuál es la probabilidad de que en un paquete de 15 varillas?: a) encuentre exactamente 5 con defectos. b) por lo menos 10 estén nudosas, c) no más de 4 estén nudosas.

Modelo: Binomial ( X Binomial(n=15, p=0.1) )

n <- 15
p <- 0.1

# a) exactamente 5
prob_a <- dbinom(5, n, p)
prob_a

[1] 0.01047081

# b) al menos 10\prob_b <- 1 - pbinom(9, n, p)
prob_b

[1] 0.8936243

# c) no más de 4
prob_c <- pbinom(4, n, p)
prob_c

[1] 0.9872795

Interpretación: La probabilidad prob_a indica la posibilidad de hallar exactamente 5 varillas defectuosas en un conjunto de 15, lo cual es poco común dado que la tasa de defectos es solo del 10%. El valor de prob_b mide la probabilidad de encontrar al menos 10 defectos, una situación extrema casi imposible en condiciones normales. Por su parte, prob_c muestra la probabilidad de que el número de defectuosas no supere las 4, lo que representa el escenario más habitual y razonable. Estos resultados sirven para evaluar el control de calidad del proceso de producción.

2.4 Ejercicio 4

Una compañía de seguros considera que alrededor del 25% de los carros se accidentan cada año. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos 3 de una muestra de 7 vehículos asegurados, se haya accidentado?

n <- 7
p <- 0.25
prob <- 1 - pbinom(2, n, p)
prob

[1] 0.2435913

Interpretación: Este cálculo muestra la probabilidad de que 3 o más carros de los 7 asegurados se accidenten en un año. Un resultado alto indicaría una alta siniestralidad, lo cual puede tener impacto en las primas de seguro. Este tipo de estimación es clave para compañías de seguros que buscan proyectar riesgos y establecer políticas de cobertura.

2.5 Ejercicio 5

Los registros muestran que 30% de los pacientes admitidos en una clínica, no pagan sus facturas y eventualmente se condona la deuda. Suponga que llegan 4 nuevos pacientes a la clínica, a) cual es la probabilidad de que se tenga que perdonar la deuda de uno de los cuatro. b) los cuatro pacientes paguen sus facturas.

n <- 4
p <- 0.3

# a) uno no pague
a <- dbinom(1, n, p)
a

[1] 0.4116

# b) todos paguen (ninguno incumple)
b <- dbinom(0, n, p)
b

[1] 0.2401

Interpretación: La probabilidad a representa la posibilidad de que uno de los cuatro pacientes no pague su factura, mientras que b muestra la probabilidad de que todos cumplan. Si el valor de a es moderado, puede indicar un riesgo manejable; sin embargo, un valor alto sugeriría la necesidad de fortalecer las políticas de cobro. Estos cálculos apoyan la toma de decisiones financieras dentro de la clínica.

Este bloque presenta el modelo que se usa desde el Ejercicio 1 hasta el Ejercicio 5.

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(Inicio del modelo Poisson)

3 Modelo Poisson

La distribución de Poisson describe el número de ocurrencias de un evento en un intervalo fijo de tiempo o espacio, cuando estos ocurren de manera independiente y a una tasa promedio constante ( ).

Características principales: - Número de eventos esperado: ( ) - Variable aleatoria: número de ocurrencias ( X ) - Notación: ( X Poisson() )

Ejemplo gráfico de distribución Poisson:

x <- 0:10
y <- dpois(x, lambda=3)
barplot(y, names.arg=x, main="Distribución Poisson: λ = 3", col="lightgreen")

3.1 Ejercicio 6

El conmutador de un hospital recibe en promedio 20 llamadas cada dos minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen como máximo dos llamadas en un periodo de 15 segundos?

Modelo: Poisson ( = 20/120 * 15 )

lambda <- 20/120 * 15
prob <- ppois(2, lambda)
prob

[1] 0.5438131

Interpretación: El parámetro ( ) representa el promedio esperado de llamadas en 15 segundos. La probabilidad ppois(2, lambda) mide la posibilidad de que lleguen dos o menos llamadas en ese periodo corto. Este análisis es útil para determinar la carga de trabajo del personal y ajustar recursos en momentos de alta o baja demanda.

3.2 Ejercicio 7

Los clientes llegan a una exhibición a razón de 6,8 clientes / hora Calcule la probabilidad de que: a) en la primera media hora por lo menos lleguen dos clientes; b) en cualquier hora dada llegue más de uno.

lambda1 <- 6.8/2 # media hora
prob_a <- 1 - ppois(1, lambda1)
prob_a

[1] 0.8531576

lambda2 <- 6.8 # una hora
prob_b <- 1 - ppois(1, lambda2)
prob_b

[1] 0.9913126

Interpretación: En promedio, se esperan unos 3.4 clientes cada media hora. El resultado prob_a nos dice qué tan probable es recibir más de un cliente en ese lapso, mientras que prob_b muestra la probabilidad de tener más de uno en toda una hora, lo cual suele ser prácticamente seguro. Estos resultados ayudan a planificar la atención y el personal necesario durante los turnos.

3.3 Ejercicio 8

El número promedio de urgencias que llega a un hospital en una hora es de 12. ¿Cuál es la probabilidad de que en un minuto lleguen por lo menos 2 urgencias? ¿Cuál es el número de urgencias esperado por minuto?

lambda <- 12/60
prob_a <- 1 - ppois(1, lambda)
prob_a

[1] 0.0175231

esperado <- lambda
esperado

[1] 0.2

Interpretación: El hospital recibe en promedio 0.2 urgencias por minuto. La probabilidad prob_a muestra la posibilidad de que ocurran dos o más urgencias en ese breve intervalo, lo que sería inusual. El valor esperado lambda indica que, en promedio, se presenta una urgencia cada cinco minutos. Esta información permite organizar adecuadamente el personal médico y los recursos de atención inmediata.

3.4 Ejercicio 9

Las estadísticas indican que en una fábrica se presentan en promedio 10 accidentes por trimestre. Determine la probabilidad de que no haya más de 12 accidentes en el último trimestre.

lambda <- 10
prob <- ppois(12, lambda)
prob

[1] 0.7915565

Interpretación: Este resultado refleja la probabilidad de que el número de accidentes trimestrales no supere los 12, cuando el promedio histórico es 10. Si la probabilidad es alta, se considera que el nivel de accidentes está dentro del rango esperado; si es baja, puede indicar un incremento significativo en la frecuencia de incidentes.

3.5 Ejercicio 10

El número de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos de un hospital en un día cualquiera, es de 5 personas diarias. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de personas que ingresan a la unidad de cuidados intensivos en un día particular sea menor o igual a 2 personas?

lambda <- 5
prob <- ppois(2, lambda)
prob

[1] 0.124652

Interpretación: El cálculo nos muestra la posibilidad de que en un día se registren dos o menos ingresos a la UCI, cuando lo usual son cinco. Una probabilidad baja indicaría que un día con pocos ingresos es raro, mientras que una alta sugeriría estabilidad o baja demanda en la unidad médica.

Este modelo se usa desde el Ejercicio 6 hasta el Ejercicio 10, y también el 14.

(Inicio del modelo hipergeométrico)

4 Modelo Hipergeométrico

La distribución hipergeométrica modela el número de éxitos obtenidos al seleccionar una muestra sin reemplazo de una población finita que contiene éxitos y fracasos.

Características principales: - Población total: ( N ) - Éxitos en la población: ( K ) - Tamaño de muestra: ( n ) - Variable aleatoria: número de éxitos en la muestra ( X ) - Notación: ( X Hipergeométrica(N, K, n) )

Ejemplo gráfico:

x <- 0:4
y <- dhyper(x, m=6, n=19, k=4)
barplot(y, names.arg=x, main="Distribución Hipergeométrica", col="orange")

4.1 Ejercicio 11

Un jefe de almacén sabe que 6 de las 25 bicicletas que tiene para la venta presentan fallas en los frenos y necesitan ajuste. Si el vendedor que no tenía conocimiento de lo anterior vendió en el día 4 bicicletas, ¿cuál es la probabilidad de que vendiera dos de las que requerían ajuste?

N <- 25 # total
K <- 6 # defectuosas
n <- 4 # vendidas
k <- 2 # defectuosas vendidas

prob <- dhyper(k, K, N-K, n)
prob

[1] 0.2027668

Interpretación: El valor obtenido representa la probabilidad de que, al vender 4 bicicletas de un lote donde 6 son defectuosas, el vendedor entregue exactamente 2 con fallas. Esto permite medir el riesgo de insatisfacción del cliente y es clave para mejorar el control de calidad antes de la venta.

4.2 Ejercicio 12

De un grupo de 20 ingenieros con doctorado, se seleccionan 10 para un alto cargo de una compañía. ¿Cuál es la probabilidad de que los 10 seleccionados incluya a los 5 ingenieros que tienen las mejores calificaciones del grupo de 20?

N <- 20
K <- 5
n <- 10
k <- 5
prob <- dhyper(k, K, N-K, n)
prob

[1] 0.01625387

Interpretación: Este valor mide la probabilidad de que todos los ingenieros con mejor desempeño sean elegidos para el cargo. Un valor muy bajo indica que el proceso de selección tiene alta aleatoriedad, mientras que una probabilidad alta sugeriría que los más calificados suelen ser seleccionados, reflejando un sistema meritocrático.

4.3 Ejercicio 13

Un almacén contiene diez maquinas impresoras, cuatro de las cuales están defectuosas. Una compañía selecciona al azar cinco de las maquinas, pensando que todas están en condiciones de trabajar, ¿cuál es la probabilidad de que las cinco maquinas estén en buen estado?

N <- 10
K <- 4
n <- 5
k <- 0
prob <- dhyper(k, K, N-K, n)
prob

[1] 0.02380952

Interpretación: El resultado representa la probabilidad de que las cinco impresoras elegidas estén en perfecto estado, sabiendo que cuatro del total son defectuosas. Si la probabilidad es alta, significa que la mayoría de las máquinas son confiables; si es baja, indica que existe un riesgo considerable de elegir productos dañados.

4.4 Ejercicio 14

En promedio una casa de cada 2000 en cierta zona de Barranquilla se incendia durante el año, si hay 6000 casas en dicha zona ¿Cuál es la probabilidad de que más de 3 casas se incendien durante el año?

Modelo: Poisson con ( = 6000/2000 = 3 )

lambda <- 3
prob <- 1 - ppois(3, lambda)
prob

[1] 0.3527681

Interpretación: El resultado indica la probabilidad de que más de 3 viviendas sufran incendios durante el año, considerando que el promedio esperado es 3. Si esta probabilidad es baja, significa que tal evento es poco común, lo que apoya las políticas de prevención actuales. Si es alta, se sugiere reforzar las medidas de seguridad en la zona.

Este modelo aplica para los ejercicios 11, 12 y 13.

(Inicio de geométrica y binomial negativa)

5 Modelos Geométrico y Binomial Negativa

La distribución geométrica representa el número de ensayos necesarios hasta obtener el primer éxito, mientras que la binomial negativa generaliza esto para el caso de obtener el r-ésimo éxito.

Características principales: - Cada ensayo tiene dos resultados posibles. - La probabilidad de éxito ( p ) es constante. - En la geométrica se mide el número de fracasos antes del primer éxito. - En la binomial negativa, los fracasos antes del r-ésimo éxito.

Ejemplo gráfico geométrico:

x <- 0:10
y <- dgeom(x, prob=0.3)
barplot(y, names.arg=x, main="Distribución Geométrica: p=0.3", col="pink")

5.1 Ejercicio 15

La probabilidad de que un estudiante de aviación pase la prueba escrita para obtener su licencia de piloto privado es de 0.7. encuentre la probabilidad de que una persona pase la prueba antes del cuarto intento.

Modelo: Geométrica.

p <- 0.7
prob <- pgeom(3-1, p)
prob

[1] 0.973

Interpretación: El resultado muestra la probabilidad de aprobar el examen de aviación en uno de los tres primeros intentos. Una probabilidad alta sugiere que la mayoría de los estudiantes logran pasar en poco tiempo, mientras que una baja indicaría la necesidad de reforzar la preparación.

5.2 Ejercicio 16

La experiencia mostró que, en promedio, solamente uno de diez pozos perforados llega a producir petróleo. Cuál es la probabilidad de que necesite ocho perforaciones para encontrar petróleo.

p <- 0.1
x <- 8 - 1
prob <- dgeom(x, p)
prob

[1] 0.04782969

Interpretación: La función dgeom nos da la probabilidad de que la primera perforación exitosa ocurra exactamente en el octavo intento. Si la probabilidad es baja, el proceso es costoso y arriesgado, lo que orienta decisiones sobre inversión y planeación en exploración petrolera.

5.3 Ejercicio 17

En un departamento de control de calidad se inspeccionan las unidades terminadas que provienen de una línea de ensamble. Se piensa que la proporción de unidades defectuosas es de 0.05. ¿Cuál es la probabilidad de que la vigésima unidad inspeccionada sea la segunda que se encuentre defectuosa?

Modelo: Binomial negativa.

p <- 0.05
r <- 2
x <- 20 - r
prob <- dnbinom(x, r, p)
prob

[1] 0.01886768

Interpretación: Este resultado indica la probabilidad de que al inspeccionar 20 productos, el segundo defecto se encuentre exactamente en la última observación. Es un evento poco común, útil para evaluar la frecuencia esperada de fallas y planificar revisiones de control de calidad más eficientes.

Este modelo aplica a los ejercicios 15, 16 y 17.

##En resumen:

Sección	Modelo	Ejercicios que cubre	Dónde insertarlo
1	Binomial	1–5	Antes del Ejercicio 1
2	Poisson	6–10 y 14	Antes del Ejercicio 6
3	Hipergeométrico	11–13	Antes del Ejercicio 11
4	Geométrico / Binomial Negativa	15–17	Antes del Ejercicio 15