Petunjuk Pengerjaan:

  1. Tugas ini dikerjakan secara berkelompok yang telah ditentukan.
  2. Diskusikan dan pahami setiap langkah penurunan.
  3. Tuliskan laporan dengan rapi, jelas, dan menggunakan bahasa Indonesia yang baik.
  4. Setiap anggota diharapkan dapat menjelaskan seluruh isi laporan.

Bagian 1: Penurunan Distribusi Chi-Kuadrat dari Distribusi Normal

Tujuan: Membuktikan bahwa jika \(Z_1, Z_2, \dots, Z_k\) adalah variabel random independen dan identik (i.i.d.) yang berdistribusi Normal Standar \(N(0, 1)\), maka jumlah kuadratnya \(Q = \sum_{i=1}^k Z_i^2\) mengikuti distribusi Chi-Kuadrat dengan \(k\) derajat bebas, ditulis \(Q \sim \chi^2(k)\).

Langkah-Langkah Pengerjaan:

  1. Fungsi Distribusi dan Densitas Awal:
    • Tuliskan fungsi densitas peluang (PDF) dari satu variabel \(Z \sim N(0,1)\).
    • Karena semua \(Z_i\) independen, tuliskan fungsi densitas peluang gabungan (joint PDF) dari \(Z_1, Z_2, \dots, Z_k\).
  2. Teknik Penurunan (Metode Transformasi atau Fungsi Pembangkit Momen - MGF):
    • Pilihan A (Metode Transformasi):
      • Tentukan variabel baru \(Q = \sum_{i=1}^k Z_i^2\).
      • Gunakan teknik transformasi multivariat untuk mencari PDF dari \(Q\). (Hint: Gunakan transformasi ke koordinat bola / polar dalam \(k\) dimensi). Ini akan melibatkan elemen volume \(dV = r^{k-1} dr d\Omega\) di mana \(d\Omega\) adalah elemen sudut solid.
      • Integralkan joint PDF terhadap semua variabel sudut untuk mendapatkan PDF dari \(r^2 = Q\).
    • Pilihan B (Metode Fungsi Pembangkit Momen - MGF):
      • Ingat kembali definisi MGF: \(M_X(t) = E[e^{tX}]\).
      • Hitung MGF untuk \(Z_i^2\), yaitu \(M_{Z_i^2}(t)\).
      • Karena \(Z_i\) independen, MGF dari \(Q\) adalah perkalian MGF dari masing-masing \(Z_i^2\): \(M_Q(t) = [M_{Z_i^2}(t)]^k\).
      • Tunjukkan bahwa \(M_Q(t) = (1 - 2t)^{-k/2}\) untuk \(t < \frac{1}{2}\).
      • Bandingkan MGF ini dengan MGF dari distribusi Gamma. Ingat bahwa distribusi Chi-Kuadrat adalah kasus khusus dari distribusi Gamma dengan parameter bentuk \(\alpha = k/2\) dan parameter skala \(\theta = 2\). Tuliskan MGF distribusi Gamma dan tunjukkan kesamaannya.

Bagian 2: Penurunan Distribusi Dirichlet dari Distribusi Gamma

Tujuan: Membuktikan bahwa jika \(Y_1, Y_2, \dots, Y_{K+1}\) adalah variabel random independen yang berdistribusi Gamma dengan parameter \(\alpha_i\) (bentuk) dan \(\beta = 1\) (skala), yaitu \(Y_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, 1)\), maka vektor \(\mathbf{X} = (X_1, \dots, X_K)\) yang didefinisikan oleh: \[ X_i = \frac{Y_i}{S}, \quad \text{untuk } i = 1, \dots, K \] di mana \(S = \sum_{i=1}^{K+1} Y_i\), mengikuti distribusi Dirichlet dengan parameter \(\boldsymbol{\alpha} = (\alpha_1, \dots, \alpha_K, \alpha_{K+1})\).

Langkah-Langkah Pengerjaan:

  1. Fungsi Distribusi dan Densitas Awal:
    • Tuliskan fungsi densitas peluang (PDF) dari satu variabel \(Y_i \sim \text{Gamma}(\alpha_i, 1)\).
    • Karena semua \(Y_i\) independen, tuliskan fungsi densitas peluang gabungan (joint PDF) dari \(Y_1, Y_2, \dots, Y_{K+1}\).
  2. Transformasi Variabel:
    • Definisikan transformasi variabel berikut: \[ \begin{aligned} X_1 &= \frac{Y_1}{S} \\ X_2 &= \frac{Y_2}{S} \\ &\vdots \\ X_K &= \frac{Y_K}{S} \\ S &= Y_1 + Y_2 + \dots + Y_K + Y_{K+1} \end{aligned} \] Variabel \(X_{K+1}\) tidak didefinisikan karena \(\sum_{i=1}^{K+1} X_i = 1\), sehingga \(X_{K+1} = 1 - \sum_{i=1}^K X_i\).
    • Tentukan invers dari transformasi ini, yaitu nyatakan \(Y_1, Y_2, \dots, Y_{K+1}\) dalam bentuk \(X_1, X_2, \dots, X_K, S\).
  3. Menghitung Jacobian:
    • Hitung matriks Jacobian \(J\) untuk transformasi dari \((y_1, \dots, y_{K+1})\) ke \((x_1, \dots, x_K, s)\).
    • Cari determinan dari matriks Jacobian ini, \(|J|\). (Hint: Determinan akan bernilai \(s^{K}\)).
  4. Mencari Joint PDF Baru:
    • Gunakan rumus transformasi variabel untuk multivariat: \[ f_{X_1, \dots, X_K, S}(x_1, \dots, x_K, s) = f_{Y_1, \dots, Y_{K+1}}(y_1, \dots, y_{K+1}) \cdot |J| \]
      • Substitusikan \(y_i\) dengan ekspresi dalam \(x_i\) dan \(s\).
      • Substitusikan juga joint PDF Gamma dan nilai determinan Jacobian yang telah ditemukan.
    • Sederhanakan persamaan tersebut.
  5. Mencari Distribusi Marginal (Distribusi Dirichlet):
    • Untuk mendapatkan joint PDF dari \((X_1, \dots, X_K)\) saja, yaitu \(f(x_1, \dots, x_K)\), kita perlu mengintegralkan joint PDF gabungan terhadap variabel \(s\) dari \(0\) hingga \(\infty\): \[ f(x_1, \dots, x_K) = \int_0^\infty f_{X_1, \dots, X_K, S}(x_1, \dots, x_K, s) ds \]
    • Tunjukkan bahwa hasil integral tersebut adalah: \[ f(\mathbf{x}; \boldsymbol{\alpha}) = \frac{\Gamma(\sum_{i=1}^{K+1} \alpha_i)}{\prod_{i=1}^{K+1} \Gamma(\alpha_i)} \prod_{i=1}^{K+1} x_i^{\alpha_i - 1} \] dengan \(x_{K+1} = 1 - \sum_{i=1}^K x_i\). Inilah PDF dari distribusi Dirichlet.
  6. Kesimpulan:
    • Nyatakan bahwa vektor \(\mathbf{X}\) berdistribusi Dirichlet dengan parameter \(\boldsymbol{\alpha}\).

Selamat Bekerja!