Ejercicio 4.43

El tiempo que transcurre, en minutos, para que un avión obtenga vía libre para despegar en cierto aeropuerto es una variable aleatoria \(Y = 3X – 2\), donde \(\small X\) tiene la siguiente función de densidad:

\[ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{4}e^{-x/4}, & x > 0 \\ \small 0, & \textit{en otro caso} \end{cases} \]

Solucion:

library(ggplot2)
library(flextable)

lambda <- 4

m.x <- 1/lambda
v.x <- 1/(lambda^2)
m.y <- 3*m.x - 2
v.y <- 9*v.x

y.vals <- seq(-2, 50, length.out = 100)

f.y <- dexp((y.vals + 2)/3, rate = lambda/3)

plot(y.vals, f.y, type = "l", col = "red",
     main = "Función de densidad de Y = 3X - 2",
     xlab = "y", ylab = "f(y)")

Ejercicio 4.49

Considere la situación del ejercicio 4.32 de la página 119. La distribución del número de imperfecciones por cada 10 metros de tela sintética está dada por:

x <- 0:4
f.x <- c(0.41, 0.37, 0.16, 0.05, 0.01)
p.df <- data.frame(x = x, fx = f.x)

Calcule la varianza y la desviación estándar del número de imperfecciones.

Solucion:

m.x <- sum(x * f.x)
v.x <- sum((x - m.x)^2 * f.x)
d.x <- sqrt(v.x)

cat("La varianza y la desviación estándar del número de imperfecciones son respectivamente:", v.x ,"y", d.x)

## La varianza y la desviación estándar del número de imperfecciones son respectivamente: 0.8456 y 0.9195651

ggplot(p.df, aes(x = factor(x), y = fx)) +
  geom_point(col = "darkgreen", size = 3) +
  geom_segment(aes(x = factor(x), xend = factor(x), y = 0, yend = fx),col = "darkgreen", linetype = "dashed") +
  labs(title = "Función de probabilidad del número de imperfecciones", x = "Número de imperfecciones", y = "f(x)") +
  theme_bw()

Ejercicio 4.50

En una tarea de laboratorio, si el equipo está funcionando, la función de densidad del resultado observado \(X\) es:

\[ f(x) = \begin{cases} 2(1 - x), & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{en otro caso} \end{cases} \] Calcule la varianza y la desviación estándar de \(X\).

Solucion

#Calulando la media o valor esperado μ
f.n <- function(x){x*2*(1-x)}
v.e <- integrate(f.n,lower = 0,upper = 1)$value

#Calcuando la Varianza σ
f.x <- function(x){((x-v.e)^2)*(2*(1-x))}
varianza <- integrate(f.x,lower = 0,upper = 1)$value
cat("El valor de la Varianza es,", varianza)

## El valor de la Varianza es, 0.05555556

#Calcuando la destiacion estandar
cat("El valor de la desviacion estandar es,", sqrt(varianza))

## El valor de la desviacion estandar es, 0.2357023

#Grafica del valor esperado
f <- function(x){2*(1-x)}

df.n <-  data.frame(
  x <- seq(0,1,by=0.1),
  y <- f(x)
)

ggplot(df.n, aes(x , y)) +
  geom_point(color = "purple", size = 3) +
  geom_segment(aes(x, xend = x, y = 0, yend = y),
               linetype = "dashed") +
  labs(title = "Funcion de densidad f(x) = 2(1-x)",
       x = "Valores de X",
       y = "f(x)") +
  theme_bw()

Ejercisio 5.1

5.1 Una variable aleatoria X que toma los valores x1, x2,…, xk se denomina variable aleatoria discreta uniforme si su función de masa de probabilidad es f (x) = 1/k para todas las variables x1, x2,…, xk y 0 en cualquier otro caso. Calcule la media y la varianza de X.

Solucion

# Variable aleatoria discreta uniforme (se escogio un rango para evaluar la media y la varianza pedida)
x <- 1:5   # valores que toma x
k <- 5

# Función de probabilidad
f <- rep(1/k, k)

# Calculando la media
media <- sum(f * x)

# Calculando la varianza
varianza <- sum((x^2) * f)- media^2

cat("Media de X:", media)

## Media de X: 3

cat("Varianza de X:", varianza)

## Varianza de X: 2

Formula general de la media para este ejercisio \[ E[X] = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_i, \quad \text{para } i = 1, 2, \dots, k \]

Formula general de la varianza para este ejercisio \[ Var(X) = \frac{1}{k} \sum_{i=1}^{k} x_i^2 - \left( E[X] \right)^2 \]

Ejercisio 5.15

Se sabe que 60% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, calcule la probabilidad de que a) ninguno contraiga la enfermedad; b) menos de 2 contraigan la enfermedad; c) más de 3 contraigan la enfermedad.

Solucion

n <- 5
p <- 0.60
q <- 1 - p
x <- 0:5

#Punto a p(x = 0)
sol.a <- pbinom(q = 0, size = n, prob = q, lower.tail = TRUE)
cat("La solucion para a es:", sol.a)

## La solucion para a es: 0.07776

#Punto b p(x < 2)
sol.b <- sum(dbinom(x = 0:1, size = n, prob = q))
cat("La solucion para b es:", sol.b)

## La solucion para b es: 0.33696

#Punto c p(x > 3)
sol.c <- pbinom(q = 3, size = n, prob = q, lower.tail = FALSE)
cat("La solucion para c es:", sol.c)

## La solucion para c es: 0.08704

#Grafica
# Función de la distribución binomial
f.b <- function(x) { choose(n, x) * p^x * q^(n - x) }

tabla1 <- data.frame(x = x, fbx = f.b(x))

# Gráfico de la distribución binomial
ggplot(tabla1, aes(x = x, y = fbx)) +
  geom_point(col = "purple", size = 3) +
  geom_segment(aes(xend = x, yend = 0), col = "purple") +
  theme_bw() +
  labs(
    title = "Distribución Binomial",
    x = "Número de éxitos (x)",
    y = "P(X = x)"
  )

Ejercisio 5.16

Suponga que los motores de un avión operan de forma independiente y que tienen una probabilidad de falla de 0.4. Se supone que un avión tiene un vuelo seguro si funcionan al menos la mitad de sus motores. Si un avión tiene 4 motores y otro tiene 2,

¿cuál de los dos tiene la probabilidad más alta de un vuelo exitoso?

Solucion

#Para el avion de 4 motores
n <- 4 #Numero de ensayos (motores)
p <- 0.60 #Cuando el motor funciona prob
q <- 1 - p #Cuando el motor falla
x <- 0:4 #Numero de casos

#Grafica para el avion de cuatro motores
# Función de la distribución binomial
f.b <- function(x) { choose(n, x) * p^x * q^(n - x) }

tabla1 <- data.frame(x = x, fbx = f.b(x))

# Gráfico de la distribución binomial
ggplot(tabla1, aes(x = x, y = fbx)) +
  geom_point(col = "purple", size = 3) +
  geom_segment(aes(xend = x, yend = 0), col = "purple") +
  theme_bw() +
  labs(
    title = "Distribución Binomial avion de 4 motores",
    x = "Número de éxitos (x)",
    y = "P(X = x)"
  )

sol.motor1 <- 1- pbinom(q = 1, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)
cat("La solucion para el avion de un motor es:", sol.motor1)

## La solucion para el avion de un motor es: 0.8208

#Para el avion de 2 motores
n <- 2 #Numero de ensayos (motores)
p <- 0.60 #Cuando el motor funciona prob
q <- 1 - p #Cuando el motor falla
x <- 0:4 #Numero de casos

#Grafica para el avion de dos motores
# Función de la distribución binomial
f.b <- function(x) { choose(n, x) * p^x * q^(n - x) }

tabla1 <- data.frame(x = x, fbx = f.b(x))

# Gráfico de la distribución binomial
ggplot(tabla1, aes(x = x, y = fbx)) +
  geom_point(col = "purple", size = 3) +
  geom_segment(aes(xend = x, yend = 0), col = "purple") +
  theme_bw() +
  labs(
    title = "Distribución Binomial avion de dos motores",
    x = "Número de éxitos (x)",
    y = "P(X = x)"
  )

sol.motor2 <- 1 - pbinom(q = 0, size = n, prob = p, lower.tail = TRUE)
cat("La solucion para el avion de dos motores es:", sol.motor2)

## La solucion para el avion de dos motores es: 0.84

cat("Comparando las posibilidades que tienen ambos aviones, el avion 2 tiene mas probabilidades de un vuelo exitoso, es decir, el que cuenta con los dos motores. Con una probabilidad de", sol.motor2)

## Comparando las posibilidades que tienen ambos aviones, el avion 2 tiene mas probabilidades de un vuelo exitoso, es decir, el que cuenta con los dos motores. Con una probabilidad de 0.84

Ejercisio 5.32

De un lote de 10 misiles, se seleccionan 4 al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 misiles defectuosos que no pueden dispararse, ¿cuál es la probabilidad de que

los 4 puedan dispararse?
a lo sumo fallen 2?

Solucion

los 4 puedan dispararse?

D <- 3 #defectuosos
G <- 7 #buenos 
n <- 4 #intentos 

#P(x=4)

sol.a <- dhyper(x=4, G, D, n)
cat("la solucion del a es:", sol.a)

## la solucion del a es: 0.1666667

a lo sumo fallen 2?

#P(x>=2)

D <- 3 #defectuosos
G <- 7 #buenos 
n <- 4 #intentos 
solb <- sum(dhyper(2:4,G, D, n))
cat("la solucion del b es:", solb)

## la solucion del b es: 0.9666667

#gráfica

x.h <- 0:4
f.h <- dhyper(x.h,G, D, n)
df.1 <- data.frame(x.h,f.h)
ggplot(df.1,aes(x=x.h, y=f.h))+
  geom_point(col="blue")+
  geom_segment(aes(x=x.h,xend = x.h, y=0, yend = f.h))+
  labs(title = "Gráfico de la distribución hipergeométrica")

Ejercisio 5.34

¿Cuál es la probabilidad de que una camarera se rehúse a servir bebidas alcohólicas a sólo 2 menores si verifica al azar 5 identificaciones de 9 estudiantes, de los cuales 4 son menores de edad?

Solucion

#P(x=2)

n <- 5 #intentos de revisión 
D <- 4 #menores de edad 
G <- 5 #mayores de edad

sol.ctc <- dhyper(2,D,G,n)
cat("la solucion es:", sol.ctc)

## la solucion es: 0.4761905

#gráfico 

x.ctc <- 0:5
f.ctc <- dhyper(x.ctc,D, G, n)
df.2 <- data.frame(x.ctc,f.ctc)
ggplot(df.2,aes(x=x.ctc, y=f.ctc))+
  geom_point(col="green")+
  geom_segment(aes(x=x.ctc,xend = x.ctc, y=0, yend = f.ctc))+
  labs(title = "Gráfico de la distribución hipergeométrica")

Ejercisios Capítulos 4 y 5

Jose Martinez,Nicolas Bonilla,Santiago Cordoba

2025-10-20

Ejercicio 4.43

Solucion:

Ejercicio 4.49

Solucion:

Ejercicio 4.50

Solucion

Ejercisio 5.1

Solucion

Ejercisio 5.15

Solucion

Ejercisio 5.16

Solucion

Ejercisio 5.32

Solucion

Ejercisio 5.34

Solucion