El intervalo de confianza para la media (con desviación estándar poblacional conocida) es:
\[ \bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
El margen de error \(E\) corresponde a:
\[ E = z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
Despejamos \(n\):
\[ E\sqrt{n} = z_{\alpha/2}\sigma \]
Dividimos ambos lados de la ecuación por \(E\):
\[ \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E} \]
Finalmente elevamos al cuadrado ambos lados para obtener una fórmula explícita de \(n\):
\[ \boxed{n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2} \]
La fórmula del intervalo de confianza para una proporción poblacional \(p\) es:
\[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]
El margen de error \(E\) corresponde a:
\[ E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]
Inicialmente dividimos ambos lados entre \(z_{\alpha/2}\):
\[ \frac{E}{z_{\alpha/2}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \]
Elevamos ambos lados al cuadrado:
\[ \left( \frac{E}{z_{\alpha/2}} \right)^2 = \frac{p(1-p)}{n} \]
Finalmente despejamos \(n\):
\[ n = \frac{p(1-p)}{\left( \frac{E}{z_{\alpha/2}} \right)^2} \]
Entonces se obtiene una fórmula explícita para el cálculo de \(n\):
\[ \boxed{n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \, p(1-p)}{E^2}} \]