En distribuciones de números positivos que tienen distribución no simétrica se puede demostrar que la asimetría es iguales a dos veces el coeficiente de variación.
library(MASS)
library(moments)
a=1
x=rgamma(15000,a,1)
Af=skewness(x)
cv=sd(x)/mean(x)
c1=c(a,Af,2*cv)
a=2
x=rgamma(15000,a,1)
Af=skewness(x)
cv=sd(x)/mean(x)
c2=c(a,Af,2*cv)
a=3
x=rgamma(15000,a,1)
Af=skewness(x)
cv=sd(x)/mean(x)
c3=c(a,Af,2*cv)
a=4
x=rgamma(15000,a,1)
Af=skewness(x)
cv=sd(x)/mean(x)
c4=c(a,Af,2*cv)
a=5
x=rgamma(15000,a,1)
Af=skewness(x)
cv=sd(x)/mean(x)
c5=c(a,Af,2*cv)
a=10
x=rgamma(15000,a,1)
Af=skewness(x)
cv=sd(x)/mean(x)
c6=c(a,Af,2*cv)
a=20
x=rgamma(15000,a,1)
Af=skewness(x)
cv=sd(x)/mean(x)
c7=c(a,Af,2*cv)
a=50
x=rgamma(15000,a,1)
Af=skewness(x)
cv=sd(x)/mean(x)
c8=c(a,Af,2*cv)
a=100
x=rgamma(15000,a,1)
Af=skewness(x)
cv=sd(x)/mean(x)
c9=c(a,Af,2*cv)
a=200
x=rgamma(15000,a,1)
Af=skewness(x)
cv=sd(x)/mean(x)
c10=c(a,Af,2*cv)
rbind(c1,c2,c3,c4,c5,c6,c7,c8,c9,c10)## [,1] [,2] [,3]
## c1 1 2.1703150 2.0132334
## c2 2 1.4205210 1.4255438
## c3 3 1.1462113 1.1460650
## c4 4 0.9933112 0.9956977
## c5 5 0.9741590 0.9033443
## c6 10 0.6460715 0.6316419
## c7 20 0.4419018 0.4425756
## c8 50 0.3025739 0.2874610
## c9 100 0.1622677 0.1999390
## c10 200 0.1281722 0.1420627n=10
p=0.3
A=2*sqrt(n*p*(1-p))/(n*p)
Af=(1-2*p)/(sqrt(n*p*(1-p)))
c1=c(A,Af)
n=20
p=0.2
A=2*sqrt(n*p*(1-p))/(n*p)
Af=(1-2*p)/(sqrt(n*p*(1-p)))
c2=c(A,Af)
cbind(c1,c2)## c1 c2
## [1,] 0.9660918 0.8944272
## [2,] 0.2760262 0.3354102Este patrón lo cumple una binomial con \(p<0.5\). En general, se puede extender a distribuciones con asimetría positiva tanto discretas como continuas que se pueden aproximar al modelo Gamma Estándar.