Objetivo. Elegir \(n\) tal que, con nivel de confianza \(1-\alpha\), el error de estimación no exceda un margen \(E>0\): \[ \Pr\!\big(|\overline X - \mu|\le E\big)\approx 1-\alpha. \]
Supuestos. - Muestra aleatoria simple de tamaño \(n\) de una población con media \(\mu\) y desviación estándar conocida \(\sigma\) (o bien \(n\) grande). - Por el Teorema Central del Límite, \[ \overline X \sim \text{aprox. } \mathcal N\!\left(\mu,\ \frac{\sigma^2}{n}\right). \]
Desarrollo. Estandarizando: \[ Z=\frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\ \sim\ \mathcal N(0,1). \] Entonces, \[ \Pr\!\left(-z_{\alpha/2}\le Z\le z_{\alpha/2}\right)=1-\alpha \ \Longleftrightarrow\ \Pr\!\left(|\overline X-\mu|\le z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}\right)=1-\alpha. \] Para garantizar que el margen de error no supere \(E\), imponemos \[ z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}=E. \] Despejando \(n\): \[ \boxed{\,n=\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2\,}. \]
Objetivo. Elegir \(n\) tal que el error al estimar \(p\) con \(\hat p\) no supere \(E\) con confianza \(1-\alpha\): \[ \Pr\!\big(|\hat p-p|\le E\big)\approx 1-\alpha. \]
Supuestos. - Muestra aleatoria simple de \(n\) ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito \(p\). - Para \(n\) suficientemente grande, \[ \hat p=\frac{X}{n}\ \text{es aprox. } \mathcal N\!\left(p,\ \frac{pq}{n}\right),\quad q=1-p. \]
Desarrollo. Estandarizando: \[ Z=\frac{\hat p-p}{\sqrt{\dfrac{pq}{n}}}\ \sim\ \mathcal N(0,1). \] Así, \[ \Pr\!\left(|\hat p-p|\le z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{pq}{n}}\right)=1-\alpha. \] Para garantizar un margen de error máximo \(E\), imponemos \[ z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{pq}{n}}=E. \] Despejando \(n\): \[ \boxed{\,n=\frac{z_{\alpha/2}^2\,p\,q}{E^2}\,}. \]