Encontrar una fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la media poblacional \(\mu\).
Desarrollo
El intervalo de confianza se expresa como:
\[ P(\bar X - E < \mu < \bar X + E) = 1 - \alpha, \]
lo cual equivale a:
\[ P\big(|\bar X - \mu| \le E\big) = 1 - \alpha, \]
donde \(E\) es el margen de error.
Si \(\sigma^2\) es conocida, entonces:
\[ Z = \frac{\bar X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1). \]
De aquí:
\[ P\!\left(\left|\frac{\bar X - \mu}{\sigma / \sqrt{n}}\right| \le z_{1-\alpha/2}\right) = 1 - \alpha, \]
por lo tanto:
\[ E = z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}. \]
Entonces:
\[ \boxed{\,n = \left(\frac{z_{1-\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2 }. \]
Si \(\sigma\) es desconocida, se reemplaza por \(s\) (desviación estándar muestral) y se usa la distribución \(t\) con \(n - 1\) grados de libertad:
\[ E = t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}. \]
Despejando:
\[ \boxed{\,n = \left(\frac{t_{1-\alpha/2,\,n-1}\,s}{E}\right)^2}. \]
Encontrar una fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la proporción poblacional \(p\).
Desarrollo
Sea \(\hat p\) la proporción muestral. Para un intervalo y nivel de confianza \(1-\alpha\), usando la aproximación normal, el intervalo de confianza es:
\[ \hat{p} - z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} < p < \hat{p} + z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}. \]
De aquí, el margen de error \(E\) es:
\[ E = z_{1-\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}. \]
Entonces:
\[ \boxed{\,n = \frac{z_{1-\alpha/2}^{\,2}\,\hat{p}(1-\hat{p})}{E^{2}}\,}. \]
En caso de no contar con una proporción estimada previa, se utiliza
el valor más conservador \(\hat{p}=0.5\),
pues maximiza el producto \(\hat{p}(1-\hat{p})\) y asegura un tamaño
muestral suficiente.