Cuando la desviación estándar poblacional \(\sigma\) es conocida, el intervalo de confianza para la media es:
\[ \bar{X} - Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{X} + Z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
El margen de error \(E\) es:
\[ E = z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
\[ E = z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
Multiplicamos \(\sqrt{n}\) por E:
\[ E\sqrt{n} = z_{\alpha/2}\sigma \]
Despejamos \(\sqrt{n}\):
\[ \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E} \]
Elevamos al cuadrado:
\[ n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2 \]
La fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la media poblacional μ es:
\[ \boxed{n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\sigma}{E}\right)^2} \]
El intervalo de confianza para una proporción poblacional es:
\[ \hat{p} - Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} < p < \hat{p} + Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}} \]
El margen de error \(E\) se expresa como:
\[ E = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \]
Partimos de la ecuación:
\[ E = Z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \]
Dividimos \(Z_{\alpha/2}\) entre E:
\[ \frac{E}{Z_{\alpha/2}} = \sqrt{\frac{p(1 - p)}{n}} \]
Elevamos ambos terminos al cuadrado:
\[ \left(\frac{E}{Z_{\alpha/2}}\right)^2 = \frac{p(1 - p)}{n} \]
Despejamos \(n\):
\[ n = \frac{p(1 - p)}{\left(\frac{E}{Z_{\alpha/2}}\right)^2} \]
Multiplicamos \(Z_{\alpha/2}^2\) por \(p(1 - p)\): \[ n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \, p(1 - p)}{E^2} \]
La fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la proporción poblacional \(p\) es:
\[ \boxed{n = \frac{Z_{\alpha/2}^2 \, p(1 - p)}{E^2}} \]