Ejercicio 29 — Tamaño muestral para estimar la media poblacional (μ)

Enunciado:
Encuentre una fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la media poblacional \(\mu\) con un error máximo tolerable \(E\) y un nivel de confianza \(1-\alpha\).

Derivación teórica

A partir del intervalo de confianza para la media con \(\sigma\) conocida: \[ \bar{X} \pm z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \] Queremos que el margen de error sea \(E\): \[ z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = E \] Despejando \(n\): \[ n = \left( z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{E} \right)^2 \] Si la población es finita (tamaño \(N\)), se aplica la corrección: \[ n = \frac{N n_0}{N + n_0 - 1}, \quad n_0 = \left( z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{E} \right)^2 \]

Función en R y ejemplos

n_mean <- function(conf.level = 0.95, sigma, E){
  alpha <- 1 - conf.level
  z <- qnorm(1 - alpha/2)
  n0 <- (z * sigma / E)^2
  return(ceiling(n0))
}

# Ejemplo base: sigma = 10, E = 2, 95% confianza
n_mean(conf.level = 0.95, sigma = 10, E = 2)
## [1] 97

Casos prácticos (supuestos reales)

# Caso 1: Conozco sigma = 8, quiero error máximo de 1.5 unidades
n_mean(conf.level = 0.95, sigma = 8, E = 1.5)
## [1] 110
# Caso 2: Nivel de confianza 99%
n_mean(conf.level = 0.99, sigma = 8, E = 1.5)
## [1] 189
# Caso 3: Aumento el margen de error a E = 3
n_mean(conf.level = 0.95, sigma = 8, E = 3)
## [1] 28

Interpretación:
Cuando aumento el nivel de confianza o disminuyo el margen de error, el tamaño muestral necesario crece.
Si el error permitido es mayor, el tamaño de muestra disminuye.
Esto concuerda con la intuición: más precisión requiere más datos.

Ejercicio 30 — Tamaño muestral para estimar la proporción poblacional (p)

Enunciado:
Encuentre una fórmula para el tamaño muestral que nos permita estimar la proporción poblacional \(p\) con margen de error \(E\) y nivel de confianza \(1-\alpha\).

Derivación teórica

Usando el intervalo para proporciones: \[ \hat{p} \pm z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} \] Imponiendo el error máximo \(E\): \[ z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = E \Rightarrow n = \frac{z_{\alpha/2}^2 p(1-p)}{E^2} \]

Si \(p\) es desconocida, usar \(p = 0.5\) para un tamaño conservador (máxima varianza).

Función en R y ejemplos

n_prop <- function(conf.level = 0.95, p = NULL, E){
  alpha <- 1 - conf.level
  z <- qnorm(1 - alpha/2)
  p_use <- ifelse(is.null(p), 0.5, p)
  n0 <- (z^2 * p_use * (1 - p_use)) / (E^2)
  return(ceiling(n0))
}

# Ejemplo base: p estimada 0.4, E = 0.05
n_prop(conf.level = 0.95, p = 0.4, E = 0.05)
## [1] 369

Casos prácticos (supuestos de estudiante)

# Caso 1: No tengo datos previos, uso p = 0.5 (conservador)
n_prop(conf.level = 0.95, p = NULL, E = 0.05)
## [1] 385
# Caso 2: Tengo una encuesta previa con p = 0.3
n_prop(conf.level = 0.95, p = 0.3, E = 0.05)
## [1] 323
# Caso 3: Quiero más precisión (E = 0.03)
n_prop(conf.level = 0.95, p = 0.3, E = 0.03)
## [1] 897

Interpretación:
- Cuando no conozco \(p\), uso 0.5 para asegurar una muestra suficiente.
- Al reducir el error máximo permitido (de 0.05 a 0.03), el tamaño muestral aumenta notablemente.
- Este análisis muestra cómo los supuestos cambian el resultado final, igual que en los trabajos de mis compañeros.

Conclusión general